5 . 3 The Basic Theorems of Differential Calculus
5.3.1 Fermats Lemma and Rolles Theorem
Definition 1.
A point xo euro; E C lR is called a local maximum (resp. local minimum) and the value of a function f : E →R at that point a local maximum value (resp. local minimum value) if there exists a neighborhod UE(xo) of xo in E suchthat at an pointxeuro;UE(xo)we have :
Definition 2
If the strict inequality f(x)0 lt; f(xo) (resp. f(x) gt; f(xo))
holds at every point x euro; UE (xo) xo = UE(xo), the point xo is called strict local maximum (resp. strict local minimum) and the value of the function f : E →R a strict local maximum value (resp. strict local minimum value).
Definition 3.
The local maxima and minima are called local extrema and the values of the function at these points local extreme values of the function.
EXAMPLE 1.
.
(see Fig. 5.8). For this function
x = - 1 is a strict local maximum; x = 0 is a strict local minimum;
x = 2 is a local maximum;
the points x gt; 2 are all local extrema, being simultaneously maxima and minima, since the function is locally constant at these points.
1 2 3 X
Fig. 5.8.
Example 2. Let f(x) = sin on the set E = R 0.
Definition 4. An extremum X0 euro; E of the function f : E → R is called an
interior extremum if x0 is a limit point of both sets E_ = { x E El x lt; x0}
and E ={x euro; El x rsaquo;xo}.
In Example 2, all the extrema are interior extrema, while in Example 1 the point x = -1 is not an interior extremum.
Lemma 1. (Fermat). If a function f : E→R is differentiable at an interior
extremum, xo euro; E, then its derivative at xo is 0 : f(xo) =0.
Proof . By definition of differentiability at x0 we have
|
Where a(x0)→0 as h→x,x0 heuro;E Let us rewrite this relation as follows: |
||
|
f(xo h) - f(xo) = [f (xo) a(xo; h)] h |
(5.45) |
|
Since x0 is an extremum, the left-hand side of Eq. (5.45) is either nonshy; negative or nonpositive for all values of h sufficiently close to 0 and for which
xo h euro;E.
If f(x0) ne;0, then for h sufficiently close to 0 the quantity f(x0) a(x0; h) would have the same sign as f(x0), since a(xo; h) →0 as h→0,xo h euro; E.
But the value of h can be both positive or negative, given that x0 is an interior extremum.
Thus, assuming that f (x0) =f. 0, we find that the right-hand side of (5.45) changes sign when h does (for h sufficiently close to 0), while the left -hand
side cannot change sign when h is sufficiently close to 0. This contradiction completes the proof.
Remarks on Fermats Lemma 1° . Fermats lemma thus gives a necessary condition for an interior extremum of a differentiable function. For noninterior extrema ( such as the point x =-1 in Example 1) it is generally not true that f(xo) = 0.
2° . Geometrically this lemma is obvious, since it asserts that at an extremum of a differentiable function the tangent to its graph is horizontal. (After all, f(x0) is the tangent of the angle the tangent line makes with the x-axis.)
3°. Physically this lemma means that in motion along a line the velocity must be zero at the instant when the direction reverses (which is an extremum!).
This lemma and the theorem on the maximum (or minimum ) of a continshy; uous function on a closed interval together imply the following proposition.
Proposition 1. (Rolles10 theorem). If a function f : [a, b]→R is continshy;
uous on a closed interval [a, b] and differentiable on the open interval[a, b]
and f(a) = f(b), then there exists a point theta; euro;[a, b] such that f(theta;) =0.
Proof. Since the function f is continuous on [a, b], there exist points Xm, XM euro; [a, b] at which it assumes its minimal and maximal values respectively. If f(xm) = f(xM), then the function is constant on [a, b]; and since in that case f (x) =0, the assertion is obviously true. If f(xm ) lt; f(xM), then, since f(a) = f(b), one of the points Xm and XM must lie in the open interval [a, b]. We denote it by theta; Fermats lemma now implies that f(theta;) = 0.
5.3.2 The theorems of Lagrange and Cauchy on finite increments
The following proposition is one of the most frequently used and important methods of studying numerical-valued functions.
Theorem 1. (Lagranges finite-increment theorem) . If a function f : [a, b]
→R is continuous on a closed interval [a, b] and differentiable on the open interval [a, b], there exists a point theta; euro; [a, b] such that
(5.46)
,
which is obviously continuous on the closed interval [a, b] and differentiable on the open interval ]a, b[ and has equal values at the endpoints: F(a) =F(b) =
f(a). Applying Rolles theorem to F(x), we find a point theta; euro;[a, b]at which
|
F(theta;) = f(theta;) - |
f(b) - f(a) |
= 0 . |
|
|
b - a |
|||
Remarks on Lagranges Theorem 1° In geometric language Lagranges theorem means (see Fig. 5.9) that at some point (theta;, f(theta;)), where theta; euro;[a, b],
the tangent to the graph of the function is parallel to the chord joining the points (a, f(a)) and (b, f(b)), since the slope of the chord equals
2°. If x is interpreted as time and f(b) - f(a) as the amount of displacement over the time b - a of a particle moving along a line, Lagranges theorem says that the velocity f(x) of the particle at some time theta; euro;[a, b] is such that if the particle had moved with the constant velocity f(theta;) over the whole time interval, it would have been displaced by the same amount f(b) - f(a). It is natural to call f(theta;) the average velocity over the time interval [a, b] .
3°. We note nevertheless that for moti
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5.3微分学的基本定理
- 费马引理和罗尔定理
定义1 如果点Xo在集E中有一个邻域UE(Xo)使得函数f：E→R在任一点xeuro;UE(Xo)处都满足f(x)le;f(Xo)(或者f(x)ge;f(Xo))，那么就称点Xoeuro;E为函数f的局部极大（或极小）值点，而称函数在这点处的值为它的局部极大（或极小）值。
定义2 如果在任意点xeuro;UE(Xo)Xo=UE(Xo)处都成立严格的不等式f(x)lt;f(Xo)(f(x)gt;f(Xo)),那么点Xoeuro;E称为函数f:E→R的严格局部极大（或极小）值点，而函数在这点处的值称为它的严格局部极大（或极小）值。
定义3 局部极大值点和局部极小值点都叫做局部极值点，而函数在这种点出的值叫做函数的局部极值。
例1 设
图20对于这个函数，
X=-1是严格局部极大值点；
X=0是严格局部极小值点； 图20
X=2是局部极大值点；
Xrsaquo;2是极值点，既是局部极大值点也是局部极小值点，因为在这里函数局部为常数。
例2 设f(x)=sin 1/x在集合E=R�上。
定义4 函数f：E→R的极值点Xoeuro;E叫做内极大值点，如果Xo既是集的极限点也是集的极限点。
在例2中所有的极值点都是内极值点，而在例1中点X= -1不是内极值点。
引理1（费马）如果函数f：E→R在内极值点Xoeuro;E处可微，则它在这点处的导数等于零。f(xo) =0。
根据函数在点Xo处可微的定义
f(xo h) - f(xo) = [f (xo) a(xo; h)] h，其中，当h→0，Xo heuro;E时，alpha;（xo; h）→0。
把这个关系式改写成f(xo h) - f(xo) =f (xo)h a(xo; h) h
由于Xo是极值点，对于一切足够接近于零且使Xo heuro;E的值，等于其左边或者同时是非负的或者同时是非正的。
倘若f(xo)ne;0，那么当h充分接近零时，量f (xo)h a(xo; h) h与f(xo)同号，这是因为当h→0，Xo h→0。
至于说h本身的值，则它既可以是正的也可以是负的，因为Xo是内极值点。
这样一来，如果f(xo)ne;0，我们就得到这样的情景：刚h的符号变化时（如果h足够接近于零），上式的右边要改变符号，同时上式的左边不能不能变号（如果h足够接近于零）。这个矛盾就完成了证明。
对费马引理的注
1 费马引理给出了可微函数的内极值点的必要条件，对于非内极值点（像例1中的点X=-1），结论f(xo)=0一般来说是不成立的。
2 引理在几何上是十分明显的，因为他断定在可微函数的极值点处，函数图像的切线是水平的（须知f(xo)是切线对Ox轴的倾角的正切）
3 引理在物理上表示，沿直线运动的物体，在开始返回是（极值）的瞬间速度等于零。
从刚才证明的引理和关于闭区间上连续函数的最大（小）值的定理，推出下面的命题。
命题 1 （罗尔定理） 若函数f:[a,b]→R在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）中可微，并且f(a)=f(b)，则存在点theta;euro;（a,b），使得f(theta;)=0.
因为函数f在闭区间[a,b]上连续，所以存在点Xm，XMeuro;（a,b),在这两点函数分别取它在这个区间上的最小值和最大值。如果f（Xm）=f(XM),那么函数在（a,b)上是常数，而此时f(xo)=0，故结论显然成立。若f（Xm）lt;f(XM)，则因f（a）=f(b)，点Xm和XM中必有一个落在开区间（a,b)中，我们把它记为theta;。根据费马引理，f(theta;)=0.
2拉格朗日和柯西的有限增量定理
下述命题是研究数值函数的一个最常用的重要工具。
定理 1 （关于有限增量的拉格朗日定理） 如果函数f：[a,b]→R在闭区间[a,b]上连续，且在开区间（a,b）上可微，那么存在点theta;euro;（a,b），使得
f(b)-f(a)=f(theta;)(b-a) (2)
为证定理，考察辅助函数 F(X)=f(x)-(f(b)-f(a)(x-a)(/(b-a).它显然在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）中可微，且在它的端点处取相等的值F(a)=F(b)=f(a)对F（x）用罗尔定理，得到点theta;euro;（a,b），使
=f(theta;)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0
对拉格朗日定理的注
1 拉格朗日定理在集合上表示（图21）在某一点（theta;,f(theta;)）处，其中theta;euro;（a,b），函数图像的切线平行于联结点(a,f(a)),(b,,f(b))的弦，因为后者的斜率等于(f(b)-f(a))/(b-a).
2 若把X看作时间，而把f(b)-f(a)沿直线运动的质点在时间b-a内的位移，拉格朗日定理表示为，质点的速度f(x)在某一时刻theta;euro;（a,b），具有这样的特点，倘若在整个时间的进程[a,b]中质点以常速度f(theta;)运动的话，它就会得到同一位移的值f(b)-f(a).量f(theta;)自然被当作是在时间间隔[a,b]中运动的平均速度。
3 但是必须指出，当运动不是沿直线进行的时候，注 2意义下的平均速度可能不存在。实际上，例如设质点沿半径为1的圆周以常角速度w=1运动。我们知道，它的运动规律可以写成
r(t) = (cost,sint) .
那么
r(t) = v(t) = (- sint,cost)
于是
在时刻t = 0和t=2pi;，质点位于平面的同一点r(0) = r(2pi;) = (1,0)处，于是等式
r(2pi;) - r(o) = v(theta;)(2pi; - 0)
应该表明v（theta;）=0，但是这是不可能的。
不过我们明白，在某一段时间内发生的位移与速度之间当然是有联系的。这种联系是，通过的路程不可能超过速度的最大值与路上所花时间的乘积。此话可写成下面更确切的形式：
（3）
在适当的时候将证明，这个很自然的不等式实际上是永远成立的。这个不等式也叫做关于有限增量的拉格朗日定理。而只对于数值函数成立的公式（2）常常叫做拉格朗日中值定理（中间值一词在这种情况下既指速度值f(theta;)是中间值，也指点theta;位于a，b之间）。
4 拉格朗日定理之所以重要，在于它把函数在有限闭区间上的增量同函数在这个区间上的导数联系起来了。在此之前我们还不曾有过这种关于有限增量定位定理，而只是通过在固定点处的导数或者微分来刻画函数的局部（无穷小的）增量。
拉格朗日定理的推论：
推论1 （函数单调性检验法） 如果在开区间的每一点函数的导数都是非负的（或者总是正的）那么，函数在开区间上不减（或者是递增）。
实际上，若X1，X2是区间中的两个点，且X1lt;X2，即X1-X2lt;0,则根据公式（2）有
f(X2)-f(X1)=f(theta;)(X2-X1) ，其中X1lt;theta;lt;X2，
于是等式左边的差与f(theta;)同号。
当然，可以对具有非正（或者负的）导数的函数的非增或者递减性质叙述类似的命题。
注 根据关于反函数的定理和推论1，特别得，可以断定，如果在某一区间I上函数f(x)有正的或者有负的导数的话，那么，函数f在I上连续，在I上单调，有反函数I ，且I定义在区间I = f(I)上并在I上可微。
推论 2 （常值函数判别法）在闭区间[a,b]上连续的函数在此区间上为常熟当且仅当它的导数在闭区间[a,b]（或者甚至只要开区间（a,b））的任一点都等于零。
注 由此显然可以做出下面的结论：若两个函数F1 (x)，F2 (x) 的导数F1(x),F2(x) 在某区间上重合，即F1(x) = F2(x)，则在此区间上差F1 (x) - F2(x) 是常值函数。（我们将会看到，这个结论对于积分学是很重要的）。
以下是拉格朗日定理的有意义的推广，它也基于罗尔定理。
命题 2 （柯西有限增量定理） 设x=x(t)及y=y(t)是在闭区间 [a,b]上连续且在开区间（a,b）中可微的函数。那么存在点teuro;（a,b）,使得
如果对于任意teuro;（a,b）有x（t）ne;0，则x(a)ne;x（b）且成立等式
函数F(t) = x(t)(y(b) - y( a)) - y(t)(x(b) -x(a))在闭区间[a,b]上满足罗尔定理的条件，因此，存在点teuro;（a,b），使F( T) = 0,它等价于要证的等式，为了从他推出上面关系式，只要再注意，如果在（a,b）上有x（t）ne;0，则罗尔定理得x(a)ne;x（b）。
柯西定理的注 1 如果把一对函数x(t), y(t)看作质点运动的规律，那么( x ( t), y ( t))是它在时刻t的速度向量，而 ( x(b) - x(a), y(b) - y(a) )是它在时间间隔[a,b]内的位移向量，从而定理断定，在某一时刻teuro;（a,b），这两个向量共线。但是这个关于平面运动的事实，同直线运动中关于平均速度的定理一样，只不过是一种令人喜欢的特殊现象。事实上，请想象一下沿着螺旋线均匀上升的质点吧。它的速度与铅垂线构成不变的非零的夹角，可是，位移向量却可能是竖直的（绕一圈所作的位移）。
2 拉格朗日公式可从柯西公式得到，如果在柯西公式中令x(t) = t, y(t) = y(x) = f(x), a = a, ,B = b.
3 泰勒公式 从目前已经讲过的微分学这部分内容可以产生一个正确的观念，两个函数在某一点处越是有更多的（包括零阶导数）相同，它们在这点的邻域内就越近似。我们大体上已经注意过函数在某一点的邻域内用多项式：
来近似的问题，现在我们再来研究这个问题。我们知道代数的多项式可以写成
即此事容易直接验证。
于是，如果我们给定了一个在点Xo处有n阶导数的函数f(x)，那么我们可以随即写出多项式
它在点Xo处有不超过n阶的导数与函数f（x）在点Xo处的同阶导数相同。
定义 5
有关系式(5)给出的多项式叫做函数f（x）在点Xo处的n阶泰勒多项式
我们感兴趣的是量
即多项式Pn(x)与函数f(x)的偏差。此量常被称为泰勒公式
的余式，或更确切地称为余式或者n阶泰勒公式余项。如果对于函数rn(Xo;x)除了它的定义（6）外毫无所知，那么等式（7）本身当然是毫无用处的。
现在我们使用技巧性相当强的方法来求关于余项的信息，更自然的办法将在积分学中给出。
定理 2 如果在以x，Xo为端点的闭区间上函数f连同它的前n阶导数连续，而在这个区间的内点它有n 1阶导数，那么对于任意一个在这个闭区间上连续且在它的内点处有异于零的导数的函数psi;，都存在位于x，Xo之间的点xi;使得
在以x，Xo为端点的闭区间I上考虑辅助函数
F(t)=f(x)-Pn(t;x)
它是自变量t的函数，详细写出F(t)的定义：
从函数F(t)的定义和定理的条件可以看出，F在闭区间I上连续且在他的内点处可微，同时
对于闭区间I上的函数对F(t),psi;(t)用柯西定理求得介于Xo和x之间的点xi;，在这点处，有
把F(xi;)的表达式代入进来，并注意可以从上面的结论可以推出F(x)-F(Xo)=0-F(x)=-rn（Xo;x）就得到公式得到：推论1 （余项柯西公式）
推论2 （余项拉格朗日公式）
我们指出，泰勒公式当，Xo=x时候叫做麦克劳林公式
定义 如果函数f(x)在点Xo处有任意阶导数，那么级数
叫做函数f在点Xo处的泰勒级数。不应该认为每个无穷可微的函数的泰勒级数都在点Xo的某一个领域内收敛，因为对于任何一个数列Co.C1....Cn....都可以构造（这并不是很简单的）一个函数f（x）使得f（n）(Xo)=Cn,neuro;N。
也不应该认为，如果泰勒级数收敛，它就一定收敛到产生它的函数。泰勒级数收敛到产生它的函数，此事只对于所谓解析函数成立。下面就是一个柯西给出的非解析函数的例子：
从导数的定义出发，由于x→0时，不管k值如何总有xke-1/x2→0,可以验证对于n=0,1,2.....f（n）(0)=0，于是，在这种情况下泰勒级数的每一项都是零，从而它的和恒等于零，同时，当xne;0时，f(X)ne;0.最后我们来详细研究一下泰勒级数的局部形式。重新回到用多项式局部逼近函数，f:E→R的问题。我们在第三段中开始讨论这个问题的。我们试图选择一个多项式Pn(Xo;x)=co c1(x-Xo) ... Cn(x-Xo)n,使得f(x)=Pn(Xo;x) o(x-Xo)n),当x→xo，xeuro;E，或者细写出来我们就叙述一个实质上已经证明了命题3
如果满足多项式
存在，那么它是唯一的。
实际上多项式的系数可以从条件顺次完全单值地求出来：
现在证明命题4 （局部泰勒公式），设E是以Xoeuro;R为端点的闭区间。如
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