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Reuleaux多边形的对称性
摘要
这篇综述包含了对欧氏空间中凸体以及Reuleaux多边形对称性的相关内容，介绍了关于凸体的一些知识点以及为论文研究Reuleaux多边形对称性奠定了一定基础。
1、介绍
凸性是古典数学的一个小分支，来源于几何、分析和组合学的影响。 它的起源可以追溯到阿基米德。 在他关于球体、圆柱体和平面平衡的著作中，他定义了我们今天称之为曲线和凸面的概念。后来推广证明了柯西著名的计算公式，使用曲线和凸表面投影的长度和面积计算曲线和凸表面的周长和面积。第一位研究集合、曲线和曲面的唯一特征是它们的凸性的数学家是H.Brunn， 正是H.Minkowski欣赏了Brunn的研究成果的独创性和深刻性，将其提炼出来，并将其塑造成今天所称的BM理论。
自那以后，凸性有了很大的扩展，新的领域被开辟，其他“曾经被遗忘”的领域也被振兴；例如凸性的组合方面、凸多面体理论和Banach空间的局部理论。此外，凸性与优化和线性规划的关系对应用有很大的影响。
这篇文章可以可以由以下标题陈述：
- 介绍
- Reuleaux多边形
- 凸体
- 支持函数和加法
- 直径、双法线和直径弦
- 宽度特征
- 凸度及等宽体性质
- Reuleaux多边形的对称性
2、Reuleaux多边形
大多数关于凸性的书籍和解释文章都在一章或一节中提到等宽的体。本书讨论标准凸性的最经典和最有代表性的结果和技术，包括混合体积、球面积分、柯西公式和其他。将近一百年后的1875年，Reuleaux出版了一本关于运动学的书，他在书中提到了等宽曲线并举例说明。后来他提出了一种可以被认为是最简单的等宽曲线的构造方法，它不是一个圆，今天以他的名字命名。
我们从定义图phi;在给定方向上的宽度开始。选择一个方向和一对垂直于此方向的支撑线。这些线抓住phi;并紧紧抓住它。这两条平行支撑线之间的距离是所选方向上phi;的宽度（图1）。 在每个方向上都有相同宽度的图形称为等宽图形，它们和它们的一些特性在很长一段时间内都是已知的。
这幅图，今天以他的名字命名（即Reuleaux三角形），但Reuleaux是第一个关注其恒定宽度特性的人。这个图，著名的Reuleaux三角形，构造如下：让abcde是一个等边三角形，边为单位长度。画一个单位半径从b到c，中心在a的圆弧（图1）。
图1
现在画另一个单位半径从a到b，中心在c的圆弧，最后画一个单位半径从a到b，中心在c的圆弧。结果图，其凸面外壳也可以描述为半径1的三个圆盘在a、b和c的交点，被称为Reuleux三角。
我们通过选择一对平行支撑超平面来定义物体在给定方向上的宽度phi;，该支撑超平面保持phi;拧紧并向该方向重新调整。这两个超平面之间的距离是该方向上phi;的宽度。因此，等宽的物体是一个凸体，它的宽度在各个方向上都是相同的。 等宽的物体在每个方向上都有直径（最大长度的弦）。
3、凸集
我们说欧几里德n-空间En中的一个集合是凸的，如果集合中的每两点，连接它们的线段完全包含在集合中（图2）。具体来说，一个是给定的点，p和q之间的直线段，，属于集合phi;。凸集的例子有线段、平面、半空间和（现在总是指其内部点）椭圆、平行四边形、三角形、四面体、立方体和球。更多的例子可以通过交叉每个容器集并使合作伙伴成为所有这些容器的共同点来构建。也就是说，如果我们取公共区域中的任意两点，则连接它们的线段在所有点中（因为它们是凸的），因此在它们的相交处（图3）。
图2
图3
定理3.1凸集族的交是凸集。直觉上看，我们的身体并没有“凹陷”。图a“凹痕”平面图（图4），请注意，正是在凹痕处，线段可以位于图中，其末端位于图中，但不会完全包含在图中。在平面图的边界没有凹陷的情况下，可以在边界上绘制，这样所有的图形都完全在直线的一侧。线定义的两个半平面中的一个平面中包含的图形将被称为图的支撑线，见图5。忠实于这样一个图形没有凹痕的直观想法，如果通过边界的每一点都经过一条支撑线，我们会倾向于将图形定义为凸形。事实上，我们将在下面看到情况就是这样。
图4
图5
引理3.1在集合p的点p和不在p中的点q之间总是有一个边界点。也就是说，在p q段中总是有一个P的边界点。
引理3.2凸集phi;的两个内点p和q之间的所有点都是内点。
引理3.3闭凸集phi;的内点和富余点q之间的所有点都是内点。
引理3.4闭凸集phi;的两个边界点p和q之间严格，要么所有点都是边界点，要么所有点都是内点。
我们用和分别表示闭凸集phi;的边界和内部。回想一下，一个封闭的，有界的集合叫做紧集，一个紧的，凸的集合叫做凸体。最后，凸体也称为凸图形。
引理3.5如果一条线L穿过一个凸体phi;的内点p，则L正好在两点处与phi;的边界相交。
定理3.2当任意点p不在phi;内时，闭集phi;为闭集，存在一个将p与phi;分开的超平面。
定理3.3设phi;关闭所有关闭的间隔-包含phi;的空间正好是phi;。
定理3.4当且仅当支撑超平面通过其边界的每个点时，具有非空内部的闭集是凸的。
包含集合A的最小凸集称为A的凸包。当然，在凸集的情况下，集合与其凸包重合，见图6. A的凸壳，表示为cc（A）是通过对包含A的所有可能的凸集进行中间剖分得到的。作为凸集的交集，cc（A）也是凸的。此外，它自然包含A。事实上，cc（A）是包含A的最小凸集，如果B是包含A的凸集，则cc（A）显然包含在B中。请注意，cc（A）等于A如果且仅当A是凸集，并且如果A1包含在A2中，则cc（A1）包含在cc（A2）中。它直接从超平面是紧集的支撑超平面的定义出发，当且仅当它是其凸壳的支撑超平面。这个事实的第一个推论是紧集的凸包是包含它的所有闭半空间的交集。第二个推论是下面的定理，稍后将用来证明一个具有连通补的常宽闭集是凸的。
图6
定理3.5若运算的补集在一点上与超超等距平面的补集A的边接触，则A是凸体。
4、支持函数和加法
给定凸体phi;空间,支持功能phi;是一个连续实函数，使得对于每个单位向量，都有。其中max是所有A的最大值，单位为phi;，见图7。对于每个单位向量，u方向上的支持超平面定义为：
注意，是一个与u正交的支撑超平面，即与phi;相交，但它完全包含在由它决定的两个半空间中的一个。当然，对于某个单位向量uisin;Sn-1，phi;的每个支持超平面都是形式的。此外，我们有两个与u、正交的平行支撑超平面。它们定义了一个由表示的条带，其宽度精确地为。让我们定义，对于每个和每个凸体phi;，宽度函数为。
如果phi;在其边界中不包含线段，或者如果每个支撑超平面在一个点上与phi;相交，则闭凸集phi;是严格凸的。如果这是每个方向的情况，则支持超平面和分别在和处相交于phi;。线段被称为u方向上phi;的直径或直径弦。请注意，在平行于的所有phi;弦之间，直径是phi;的最大弦。对于的整数，我们可以将视为的最低点，最低点坐标等于零。设：为第一个n坐标上的正交投影。
引理4.1设为凸体。则。
引理4.2对于给定的集合和实数，我们有
- ,当S是一个凸集
- 如果,那么
定理4.1布拉什克选择定理
现在我们引入一个度量欧几里德空间，给定两个凸体，我们将距离定义为所有的最小值，使得。那么距离的概念满足了度量距离的公理。
引理4.2给定，我们有
- ，当且仅当；
- ；
- ；
5、直径、双法线和直径弦
等宽物体的一个基本特征是，它们像球一样，在每个方向上都有直径。直径是凸体中具有最大长度的弦，正是这些弦的行为赋予了等宽体其基本性质。与球的直径不同，等宽物体的直径并不总是在一个点上相交，但当它们相交时，那是因为物体确实是一个球。为了确定恒定宽度体的最大长度弦，必须通过确定两点之间的距离来开始。注意，在一个等宽的物体中，任何两点之间的距离h必须始终小于或等于h。这是因为如果有两点p和q，比物体的宽度远，也就是说，物体在方向上的宽度将大于h，这与物体的（恒定）宽度正好是h的事实相矛盾在这之前，像phi;这样的希腊字母通常表示凸体，在本书的其余部分，大写希腊字母通常表示等宽的体。
引理5.1等宽物体的每个支撑超平面H恰好在一个点上接触。
为了证明这一点，把H作为与H平行的支撑超平面。H在H和H分隔的条带中被固定，其宽度为H。超平面H在许多点上可能接触，但让我们只关注一个这样的点；称之为q。当H和H之间的距离为H时，H中存在一个点p，使得p和q是h，实际上p是h的点，具有段垂直于超平面h和h的性质。q与H中除p以外的任何点之间的距离必须严格大于H。因此，由于q位于，H中任何与p不同的点m都不能位于，如果m位于，则在段方向上的宽度将大于H。这证明H只能在一个点p处接触。
定理3.1.1将等宽物体与其两个平行支撑超平面之间的接触点连接起来的线段与其垂直。
这个定理有许多不同的结果。最重要的四点是：
- 每一个等宽物体都是严格凸的，因为它的任何一个支持超平面只在一个点上接触它
- 等宽物体的直径h是h，因为物体不能包含相距h远的两点。但是，它确实包含两个点，即与两个平行支撑超平面的接触点，这两个点正好相隔h。
- 如果H是具有恒定宽度H的物体的超平面，则H和之间接触点处与H相切的半径球包含，因为具有直径H，并且该球的中心是的点，因为它正是和平行于H的支撑超平面H 之间的接触点。
- 如果且仅当物体在每个方向上都有直径时，它具有恒定宽度。
如果在弦的一端垂直的超平面是phi;的支撑超平面，则体phi;的弦称为phi;的法线。如果一个弦的每一端和垂直于它的超平面是支持超平面，那么这个弦被称为phi;的二法线（或双法线），见图7。例如，不难看出一个物体的直径总是一个二正态分布，因为以这个直径为半径的两个球总是包含着这个物体。此外，根据定理3.1.1，在等宽物体中，二次法线和直径是相同的。
定理5.2当且仅当物体在每个方向上都有一个二法线时，它才具有恒定宽度。证明假设是一个等宽体，设为任意方向。以垂直于u的两个支撑超平面为例，根据定理3.1.1，连接这两个平行超平面之间的接触点的线段是平行于u的一个双正规线段。我们需要以下结构来继续证明。从任意一个体phi;，我们构造另一个体phi;*，如下所示。取固定点o，从o沿方向画一条射线。在这条射线上取一个点，使o和之间的距离精确地等于间接的，间接的，点描述物体phi;*的边界，其性质是：如果m是phi;*边界上的一个点，则线段om的长度是phi;在om方向上的宽度（图8）.
图7
图8
当然，物体phi;*与phi;不同。实际上，如果phi;是一个等宽的物体，那么phi;*是一个球，因为phi;的宽度在每个方向上都是相同的。相反，如果phi;*是一个中心为o的球，那么phi;的宽度在每个方向上都是相同的，因此phi;是一个常数体。
定理5.3当且仅当物体的每个法线都是二法线时，物体具有恒定宽度。
6、宽度特征
我们首先陈述第5节中给出的恒定宽度图的特征。
定理6.1任意两条等宽曲线的法线相交。此外，该特性还具有恒定宽度图的特征。
假设两个这样的法线，比如和，在等宽h的图的边界上的p点相交。然后，由于每个法线都是一个二法线，因此分别垂直于和p处pr的线和是的支撑线（见图9）。
图9
因此，点p是的顶点，因为通过p的和之间的每条线都是的支撑线。与这些支撑线相对应的的法线是双法线，因此直径为h，即它们都有长度h。这意味着q和r之间不包含p的边界部分是半径h的圆的弧。
现在，如果的边界包含半径为h的圆弧gamma;，那么根据定理3.1.1），h是最小的，如果，gamma;的每个半径是，gamma;的中心在的边界上的一个顶点之前。如果，则gamma;的半径包含在gamma;中的的法线中，因此，由于的每个法线都是直径，因此半径为的圆弧与gamma;同心，但与其相反的圆弧包含在的边界中。
定理6.2等宽图形顶点的内角总是大于或等于120度，只有当图形是Reuleaux三角形时，内角才等于120度。
推论6.1如果等宽图h包含一个等边三角形，边长为h，则它必须是一个Reuleaux三角形。
定理6.3凸图形具有恒定宽度，前提是且仅当给定穿过中间或中间的任何一条线L时，由L确定的一个面具有其和弦长度小于或等于和弦长度L的性质。
7、凸度及等宽体性质
设h为正实数，p和q为欧几里德n-空间中的两点，相距不超过2h。由这对点确定的h-区间是包含p和q的所有h半径球的交点。我们说，直径小于或等于2h的一组phi;是轴h-凸的，如果给定p和q在phi;中的一对点，它们确定的h-区间也在phi;中。注意，对于轴，h轴凸集是h轴凸集。我们将看到，经典凸性可以解释为主轴h-凸性对的限制.
主轴h-凸体最简单的例子是半径h的球。事实上，半径h的球是直径2h的唯一主轴h-凸集。由于主轴h-凸体集合的交点也是主轴h-凸，因此半径h的球集合的交点是主轴h-凸集。注意，例如，h-区间是主轴h-凸体，并且每个主轴h-凸体都是严格凸的。在这一章中，除非另有说明，否则所有的空间都包含在一个维数小于或等于2h的空间中，我们从证明下列定理开始。
定理7.1等宽h的每一个集合是纺锤h凸体。
引理7.1设phi;是凸体，p为phi;的富余点，H为phi;在p处的超平面，则phi;包含在半径H与H在p处相切的球中，即的边界是phi;在p处的H支撑球。
定理7.2主轴h-凸体是半径h的球族的交集，实际上是其所有h-支承球的凸壳的交集。
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