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半正定矩阵的混合行列式
摘要
如果，是阶矩阵，则它们的混合行列式可写成
，
其中是n维对称群，其中｜｜表示行列式。我们给出了定义混合行列式的一些替代方法，并陈述了基本性质。指出了混合行列式的Ryser型公式存在并有个简单的证明。混合行列式还可表示为内积。证明了Konig定理在0-1矩阵上的推广。集合被定义为的双重随机矩阵：
= ：是的半正定矩阵，
1.介绍
如果，是矩阵，则混合行列式被定义为
， (1)
其中是n次对称群，其中| |是行列式。显然，如果对所有的k成立，那么
，
而如果每个都是一个对角矩阵，则
=每。
因此，混合行列式提供了行列式和永久性的一个有趣概括，这也许可以证明对函数的研究。本文的目的是介绍混合行列式的许多特性，这些特性可以通过使用熟悉的工具获得，例如，Hall定理在不同代表系统上的变型，柯西-施瓦兹不等式和舒尔补数等。有关混合行列式的早期工作，请参考Panov [8，9]的论文及其中的参考文献。
如果是一个埃尔米特正定（正半定）矩阵，我们写成(ge;0)。对于任何正整数n定义类会很方便，如下所示：
={ge;0，}。
注意，非负矩阵的集合与每个是对角的组成的的子类同构，本文的主要研究对象是类的混合判别函数，虽然我们也考虑了一些情况的任意的。
我们将通过表示，如果，那么我们就通过来表示。
本文的结构如下。在第2节中，我们提供了定义混合行列式并陈述许多基本属性的某些替代方法。需要指出的是，混合行列式的Ryser型公式已经存在，并给出了更简单的证明。在第3节中，表明混合行列式将一个表示作为内积，并与柯西施瓦茨不等式相结合，得到了一个确定的不等式。在第4节中，证明了Konig 定理的一个版本。该证明利用了拉多对不同代表系统的霍尔定理的推广。在第5节中，对的一个子类进行了识别和研究。这个子类的结构类似于双随机矩阵的多面体。
2.基本特性
我们现在给出了混合行列式的一些等价定义。
令，则（如果sigma;是偶数或奇数）定义。则可以看出
. （2）
为了看到(2)式，我们进行如下处理：
这式子和（1）式等号右边相等。
下面两个表达式可以由同样基本的相似参数得到：
(3)
和
的...的系数。 (4)
拓展公式(4)， 的混合行列式可以被定义为的的 的系数。但是，在这篇论文中，我们只详细考虑了混合行列式。
下面展示了一般化的公式(4)。证明不难，因此省略。
引理4.1.1
令,是阶矩阵，令是的非负整数。那么的的系数就等于
。
令表示从｛1,2,...,n｝到它本身的所有函数集。那么的基数是，由阶函数组成的的子集是。我们将始终假设的元素是按字典顺序排列的。的元素得到一个归纳排序。Kronecker乘积是一个阶矩阵，其行和列由的元素索引，并且如果，那么的()项由下式给出：
。
用表示长度为n!的列向量将很方便，其他元素等于，。令表示阶数为的列向量，其分量由的元素索引，并且
=｛
如果=()是ntimes;n矩阵,k=1,2,...,n,那么我们把阶矩阵定义为如下（参照（1）式）。Pi;()的行和列由索引，如果则可写成
.
我们能够看出Pi;()是的主子矩阵并且
= (5)
=.
在下一个结果中，我们列出了混合行列式的几个基本性质。
引理2.
下列说法成立：
（2）对所有的成立。
（3）。
（4）对alpha;，beta;的任一线性组合成立。
（5）如果R,S是阶矩阵，那么我们能得到
=|R|，
=|S|。
（6）如果，那么。
（7）令是阶矩阵，1le;ile;n,1le;kle;m。令表示为从1,2,...,m中选择的一组n序列。在中对Tau;中的每个定义为。然后就有恒等式，
“j”表示常数序列。特别的，如果所有的，那么。
（8）如果，那么。
（9）当表示的列的欧几里得范数时，每个的，.
证明：（i）-（v）可以很容易地从定义（1）中得出。
为了证明（6），请注意，如果则是正半定的，那么可以通过（5）来得到。
- 的恒等式似乎比（6）更普遍，但可以通过重复（6）的操作来获得。现在，那么在等式右边的所有项和（6）的和都是非负的，因此，仅保留一个项，我们得到
。
为了证明（8），我们首先增加说明，通过引理1
，。
通过（6），上述求和右边的各项混合行列式都是非负的，因此我们得出结论：.
为了证明（9），我们首先回想一下Hadamard不等式的一个版本，该版本断言，如果A是一个ntimes;n阶矩阵，则，其中是A的第i列的范数，。现在，通过将Hadamard不等式应用于（1）右侧的每个行列式，得出结果。
Lomont和Cheema介绍并研究了ntimes;n阶矩阵的n元函数。事实证明函数是n!次乘以混合行列式。其中一个主要的结果（定理2.1在〖2〗中）实际上给出了混合行列式的Ryser型公式。我们将假定读者熟悉Ryser的永久公式（例如，参见[5，p。122]）。现在，我们在[2]中给出定理2.1的简短证明。需要以下结果，这个证明被省略了，因为它只是一个特列。
引理3.
令为n阶多项式，并用表示通过在每个可能的组合中用零代替p中的变量k所得的多项式，然后对所得的多项式求和。那么，
其中c是的系数。
下一个结果等效于[2]中的定理2.1。可以注意到，（6）的右边已用于定义[2]中研究的函数，然后表明（1）产生了等价的定义。
定理4.
有一个ntimes;n阶矩阵，，那么
， （6）
其中是的基。
证明：令
。
然后通过令来获得结果。在引理3中，是中的系数。
在引理4中，如果每个都是对角的，那么结论对Ryser永久成立。
3.Cauchy-binet公式
Marcus和Newman展示了如何用固定方法表达内积。相似的，混合行列式也可以表示为内积，从而得到Cauchy-binet公式。这将在下面说明。
引理5.
是阶矩阵，其中。那么我们有。
下一个结果是引理5和Cauchy-Schwarz不等式的直接结果。
引理6.
是阶矩阵，其中。那么我们有。
推论7.
如果，，是正定的阶矩阵，那么。
证明：令，i=1,2,...,n,然后通过令，i=1,2,...,n,在引理6中得到结果。
在[1]中表明，一组正定矩阵的混合行列式超过或等于其行列式的几何平均值。现在，我们使用Schur补充得到了一个细化的结果。
令，矩阵表示如下：
.
众所周知，C的列空间包含在B的列空间中，因此存在矩阵R使得C=BR。
定义：
当B为满秩时，B等于，这称为A中B的舒尔补数。因此，我们将上面定义的视为当A ge;0时A中B的舒尔补数。而且，如果,
那么我们就有=。
定理8.
令为一个半正定矩阵，k=1,2,...,n,其中半正定矩阵的分块为
那么，当，k=1,2,...,n时。
证明：令，k=1,2,...,n,并在引理6 中代入，k=1,2,...,n.定理的第一个不等式如下，并且当，k=1,2,...n时。
定理的第二个不等式是在推论7之后引用[1]的结果。
4.柯尼格定理的广义化
Frobenius-Konig定理指出，如果A是一个非负的ntimes;n阶矩阵，则当且仅当A有一个零阶子矩阵（其中r s=n 1）时，A的永久性为零。Panov [9，定理1]最近对此结论进行了以下概括。
定理9.
如果ge;0，，是阶矩阵.那么以下条件是等价的：
- ；
- 对于任何的，都有≦n；
- 对于任何的，都有|beta;|≦Rank()。
我们可以从中看出Panov[9]只提及了（1），（2）并没有提及（3）；但是考虑到这种关系
=，
也可以很容易验证（2）和（3）是等价的。
本节的目的是证明定理9可以通过Rado对霍尔定理在不同代表系统上的推广而得到，我们这里包括了霍尔定理（请参见[6，第95页]）。
引理10.
假定0≦m≦n，并且是向量空间V上的子集。下面的表述是等价的：
- 无论何时（1≦i≦n），向量的子空间的跨度不超过m；
- 存在一个整数h，0≦h≦m，使里的集合h n-m包含在h维的子空间中。
如果为一个的矩阵，k=1,2,...,m，并且mlt;n，那么我们定义为，
其中单位矩阵是阶，并且出现了n-m次。
下一个结论是定理9的推广，并且还包括在0 -1矩阵上的Konig定理作为特例。
定理11.
令ge;0为一个的矩阵，k=1,2,...,n，并且令m为一个定值，1≦m≦n。那么以下的条件都是互相等价的：
- 对于任意的且有，；
- 存在，。
证明：
令=，k=1,2,...,n，其中是阶矩阵，并且令X=[]。
通过引理5 ，可以看出条件（1）和以下是等价的：
（1rsquo;）对于任意的，且有，如果一个列向量是从每个矩阵里选出的，那么结论集合是线性相关的 。
条件（2）也和以下是等价的
（2rsquo;）存在，使得增广矩阵的秩不超过。
现在，如果让为，其中i=1,2,...,n的列集合，则（1）和（2）的等价关系从引理10开始，证明是完整的。
我们说矩阵的直线表示行或列。如果矩阵的两个元素不在同一条线上，那么这个矩阵的一个元素集合就被称为一个分散的集合。下面阐述注明的科尼尔关于0-1矩阵的定理。[6,p.188]。
定理12.
如果A是一个非负的矩阵，一个离散的正元素的最大数目等于包含所有正元素的最小行数。
证明：
令。那么注意当且仅当由A中的索引表示的A的列包含一组分散的大小为的正元素时。因此，如果m是A中一个离散集合的正元素的最大个数，那么对于任意一个当时，我们必须有。
因此，根据定理11中的（1）推到（2），存在，且。考虑子矩阵A构成了beta;中的列。我们要注意就是n减去该子矩阵的零行数。因此，我们得出了结论，A有一个包含beta;列的零子矩阵，并且至少有行。换句话说，重新派六行和列之后，可以写成
因此，A的前行和前列包含A的所有正元素。因此，如果q表示包含A的所有正元素的最小行数，那么。同样的，利用定理11的（2）→（1），我们可以证明，因此。
5.寻找一个Birkhoff-vonNeumann型的结果
在本节中，我们识别并研究了一类与阶双重随机矩阵的多面体相似的子矩阵。下面是这个子矩阵如何定义的。对于任意的n我们把定义为
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