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数学思维：数学方法
前一章列出了与方法有关的数学思维类型，但这具体来说意味着什么呢？本章探讨了每种类型的含义。
归纳性思维
含义
归纳思维是一种如下所示的思维方法。
什么是归纳思维（推理）？
（1）试图收集一定数量的数据；
（2）努力发现这些数据共同的规则或特性；
（3）推断包括这些数据（整个变量域）的集合包括所发现的规则和属性；
（4）用新的数据证实了推断出的普遍性的正确性。
例子
实例1、创建一个乘法法表。
乘法的含义是“一个种将相同数字多次相加的操作”。“使用这个含义，创建乘法表，如下所示。例如，前4行将具有以下内容：
4 2 4 4 8
4 3 4 4 4 12
4 4 4 4 4 4 16
4 5 4 4 4 4 4 20
这是一个收集数据，然后重新检查数据以生成规则的示例。
实例2、把一张纸从左到右，完美地折成两半。当你继续折叠时，让所有的矩形每次都折叠成两半，在第十次之后会有多少折痕？
如果一个人实际尝试进行这个实验，很明显，折叠10次是不可能的（这种经验很重要；见图4）。
然而，从一开始就折叠，当折叠的数量仍然很小，折叠仍然很容易（认为这可以简化），
第一个可折叠的文件 第二个可折叠的文件
图4。
允许人们尝试发现描述折叠数和折痕数之间关系的规则。两次折叠的结果见表2，这表明折痕数为1，然后为3。这可能会导致人们诱导折痕的数量然后会增加到5,7，等等，从1开始，然后以奇数上升。
表2
|
折数 |
折痕的数量 |
|
1 |
1 |
|
2 |
3 |
若要验证这一点，请尝试再折叠一次。该结果如下，显示了上次归纳法的误差（见表3）。
表3
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3 |
7 |
|
4 |
15 |
此外，该数据表明，折痕的数量增加了2、4和8，从而导致折痕的数量在模式2、4、8、16等等中增加，或者通过每次迭代将之前的数量翻倍。
使用新数据（第五次)验证诱导规则。
这种思维是归纳思维。此示例显示了如何在收集数据时尝试寻找规则。
归纳思维教学的重要方面
在有效的情况下使用归纳思维是很重要的。换句话说，有必要教孩子们归纳思维的好处。其中之一是演绎思维无法妥善解决的问题的经验。
此外，由于归纳规则并不总是正确的，孩子们必须学会用新数据来验证规则的必要性。
教导孩子们归纳法包括以下内容也是一个好主意：
- 收集一定数量的数据并重新检查数据以发现规则的情况；
- 在收集数据时发现规则的情况；
- 在预测规则时收集数据，并验证相同规则的情况。
类比思维
含义
类比思维是建立观点和发现解决方案的一种极其重要的思维方法。
什么是类比思维（推理）？
给定命题A，我们想知道它的性质、规则或解方法。
然而，当一个人不知道这些事情时，他可以想起一个类似A的已知的命题，(假设关于A你已经知道属性、规则、解决方法等等，它们被称为P)。然后我们会考虑人们对关于A的P和A的看法。
例子
实例1、在前面的归纳思维示例中，我们为4行创建了一个乘法表。让我们继续创建6行的乘法表。这是按照从6times;1开始的顺序创建的，并且类似于4行。在这一点上的想法是：“如果能找到一个相同的规则，与应用于创建4行的规则，那么我可以很容易地完成整个行。此外，在创建4行的过程中已经发现了一个规则。有人认为：“如果6行有类似的规则，找到了同样的方式，那么这应该是可能的。”接下来，以与4行相同的方式进行。这就是一种类比思维。
所执行的步骤如下：
对于4行，先写以下内容，同时记住“每次数字乘以1，答案也必须增加一定的固定的数量。”
6 1 6
6 2 6 6 12
6 3 6 6 6 18
通过检查基于这种想法的情况，会发现“每次乘以数增加1，答案就会增加6。”发现这个规则完很容易完成6行。
此外，还可以以同样的方式轻松地创建其他行。这是类比思维的好处。
实例2、宽度和重量的比较和测量与长度的比较和测量相似。在你学习了如何比较和测量长度之后，你就可以学习如何比较和测量体重了。
虽然长度和重量不一样，但它们很相似，因为两者都涉及到大小的比较。由于这个原因，人们会想起一个人是如何使用长度的。当比较长度时，直接进行比较，如果不可能，一个或两个长度被复制到容易比较的东西，比如字符串，然后再直接进行比较。
此外，为了清楚地说明比较长度的差异，选择适当的单位，并用于指示数值测量。为了给出测量结果的普遍性，使用了法定单位。
当讨论重量的时候，人们首先考虑它可能可以以与长度相同的方式来处理，因此考虑如何直接比较权重。接下来，我们也考虑间接比较的方法，而且考虑以一日元硬币的重量作为单位。最后，我们认为必须有合法的单位来进行具有普遍性的测量。
重量的比较和测量将以这种方式独立学习，同时欣赏每个阶段的好处。这里的重点是类比思维，用来从比较和测量长度中进行类比。
即使在宽度的比较和测量的情况下，也可以通过上述的类比来表明，类比思维具有重要而有效的功能。
这样，类比思维就是建立视角和发现解决方案的有效思维方法。
类比思维教学的重要方面
在考虑解决方法和结果的观点时，关键是让孩子们认为“我已经学到了类似的东西吗？”或者“我可以用同样的方式对待吗？”或者“这个问题也能说出来吗？”。然而，类比思维依赖于相似性，并考虑是否可以表述同样的东西。因此，它并不总是提供正确的结果。例如，关于小进制分数2.75 43.8的添加，学生已经学习了如何添加237 45或13.6 5.8。尝试基于之前的情况创建一个类比知识。
对于之前的添加，子节点将写入添加问题，如下所示，并使用右侧对齐的数字进行添加。
237 13.6
45 5.8
如果子级为新问题模拟此表单，并尝试用右侧对齐的数字写下问题，则它将是这样的：
2.75
43.8
当然，这是一个错误。相反，子级现在在添加之前写入问题时通过调整一个列中的位置值进行类比：
2.75
43.8
然后阐明一个类比是否正确是很重要的。
演绎性思维
含义
什么是演绎思维（推理）？
这种思维方法使用了已经被称为基础的东西，并试图解释一个命题的正确性，以断言某种东西总是可以被陈述的。
例子
实例1、考虑表4中4或8的倍数（每4个数字或每8个数字的排列不用说——寻找其他特征排列）。
首先，写下表4中4的倍数和8的倍数。粗体和哥特式数字是4的倍数，其他每个哥特式数字都是8的倍数。
表4
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0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
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10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
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20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
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30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
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40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
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50 |
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53 |
54 |
55 |
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57 |
58 |
59 |
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60 |
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74 |
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76 |
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84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
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90 |
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
一旦孩子写了数字表的一部分，他或她可以诱导：“可以从一个8的倍数移动到另一个，然后留下两列。”如果对4的倍数用同样的方式表示，也可以诱导：“可以从一个倍数移动到另一个4的一行，然后留下两列。”
然后，考虑到“为什么可以做出这个简单的陈述”，以及“是否仍然可以陈述99以上的数字，以及为什么会这样”是演绎思考。
接下来，考虑一下对此的解释。在这一点上，人们将意识到，这可以基于创建数字表的方式。这也是演绎思维，并基于以下几点。
由于这个数字表每行有10个数字，“向右向一个位置增加1，向下一个位置使数字增加10。”
基于此，很明显，向下走一个位置总是增加10，而离开两个位置总是减去2。结合这两个动作总是会增加8（10-2=8）。因此，如果将8添加到4的倍数（或8的倍数），则结果将始终是4（8）的倍数。这就解释了现在发生了什么。
通过这种方式以自己的能力实现自己的结果，就有可能对结论的正确性产生信心，并有力地断言这个结论。总是试着解释你所诱导的真相，你会有这样的感觉。同时，请考虑基于明确证据（创建数字表）的一般解释。这是一种演绎思维。
实例2。教育思维不仅适用于高中，也适用于初中。
假设在三年级单位数乘法开始时，提出了“每人给8张孩子分发16张纸？”的问题。当孩子们回答“816（日语16times;8）”时，老师可以回答说：“好吧，让我们考虑如何找到答
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