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关于实数的beta;-展开
介绍
A.RENYI已经证明[1]：
a）如果beta;gt;1，则每一个非负数x有一个beta;-展开：
(1)
这里等。（这里以及接下来的[x]和（x）表示的是实数x的整数部分和小数部分。）
b）是一个从[0,1)到自身的反身变换，并且对于任意的，我们都有几乎所有的x满足：
(2)
这里的M(g)是一个常数仅仅取决于g(x)。进一步说这里存在一个独特的标准化测度v等同于T下的勒贝格测度和不变量，例如对于任意[0,1)下的可测子集E满足：
(3)
这里h(x)是一个可测函数，并且
且
c）如果beta;是方程 的正数解，则对应于beta;的唯一归一化不变测度可以表示为：
这里
我们称那些有递归“尾”（例如：）的beta;为beta;-展开，beta;-数。那些没有“尾”的数我们称之为平凡的beta;-数。(RENYI的案例c)就是一个平凡的beta;-数的例子。)
在第1节中，我们发现，对于每个beta;gt;1，在一个乘法的常数因子内，在变换T(x)=(beta;x)下的唯一测度不变的显式确定，等价于勒贝格测度。关于该测度的勒贝格测度的导数是一个纯跳函数([3]，第14页)，在beta;-数的情况下，它精确地简化为一个具有有限步数的阶跃函数。
beta;-展开中的数字不是随机(即独立)出现的，在第2节中，我们精确地确定了对beta;-展开中的数字序列的限制。我们通过展示每个beta;-数关于其“特征方程”的“共轭”必须都有小于2的绝对值来结束本节。
平凡的beta;-数到处都是(1,infin;)稠密的。第3节证明了这一点。
尽管我们有对应于每个beta;gt;1的不变测度的显式公式，但它一般不会产生标准化测度。因此，我们在第4节中的注意力集中在归一化因子作为beta;的函数的性质上。
我们证明了这个函数是从右连续的，并且从左开始的不连续点集与平凡的beta;-数集重合。而且，当beta;趋向于1时，规格化函数趋向于无穷，当beta;趋向于无穷时，规格化函数趋向于1。
感谢YAWL NAlM DOWKER和H. HALBERSTAM提供的许多有帮助的建议。
第1节 不变测度
对于每一个beta;gt;l，都有一个唯一的归一化测度v，它等价于勒贝格测度，且在T(x)=(beta;x)下不变。因此，通过Radon-Nikodym定理[4]，存在一个可测函数hv(x)，本质上是唯一的，对于每一个勒贝格可测集E有：
(1.1) .
在(1.1)中的是一个零测集。x(m)表示.
定理1.设v为一个等价于勒贝格测度的规格化测度，且对beta;gt;1时，设T(x)=(beta;x).给出了所有勒贝格集E满足vE=vT-1E的一个充分必要条件：
(1.2)
证明：假设对于所有的勒贝格可测集E有vE=vT-1E，则
.
只要[beta;—b]是a(m)和b(m)都小于1的最大整数m，并且alt;(beta;)和blt;(beta;)，或者agt;(beta;)且bgt;(beta;)，在这种情况下，因此
我们让a接近b，并且几乎所有b满足（[5],第284页）
另一方面，让几乎所有的x满足
(1.3)
我们接下来证明对于所有的勒贝格可测集E有vE=vT-1E.
我们可以假设(1.3)在任何地方都成立，只要在必要的地方将hv(x)的值改变为0.
如果[beta;—a]= [beta;—b]，则
因此v[a, b) = vT-1[a, b)每间隔 [a, b) 满足[beta;—a] = [beta;—b]，会出现a,b都大于(beta;)或小于(beta;)。这是足够的可列可加性的T-1不相交集和hv(x)建立的有界性定理。
为了方便起见，我们定义为，并归纳地定义当 时.因此，对于当 时，且
(1.4)
这里，由a),
我们表示由hbeta;(x)决定的纯跳函数对于每一个beta;gt;l，有.
定理2. hv(x)=hbeta;(x) p.p.
证明：令让
和
显然是一个与m相关的数，在0，1，hellip;，[beta;—x]之间，且满足.因此
推论. hbeta;(x)是一个具有有限步长的阶跃函数当且仅当它的beta;-展开中有一个循环尾.
证明. beta;在beta;-展开中有一个循环尾，通过a)， Tm(1)=Tn(1)对于某些mne;n.显然，对于某些mne;n，纯跳函数hbeta;(x))简化为阶跃函数，当且仅当Tm(1)=Tn(1).
第2节 beta;-数及其特征方程
如果 和是具有相同项数的有限或无限非负整数序列，记：
当第一个n满足（）时，我们也记是
引理1.如果这里是一个非负整数序列，如果是一个非负整数序列，且对于所有的 有，则
(2.1)
除非有一些q，且{bn}的尾部与{cn}重合.
证明.首先证明当时：
(2.2)
在这个情况下r=0，猜测.因此(2.2)对所有m, n都成立，其中r=0。我们假设(2.2)当rlt;k时，对所有m, n都成立。
如果，同时，（在这个情况下通过假设可知）或者在最新的情况下，只要，由假设可以得到：
(2.3) .
(2.3)中的中心不等式通过这个关系成立
我们注意到等式贯穿始终(2.3)当且仅当
和
然而，对于所有nge;l这被条件排除在外.
因此（2.2）被证明，紧接着
当
假设，则对于一些p，q，p-n=q-mge;0
取等号当且仅当
在这个情况下这里
并且当.但是由可以猜测要么的尾与的尾相同，要么.
这就完成了证明.
定理3.如果beta;gt;1且beta;的beta;-展开是
如果是一个非负数序列，当beta;的beta;-展开是有限的时，其尾部与{cn}（参见引理1）不重合，这是x具有beta;-展开的一个充要条件
是对于所有的有.
特殊的，对于所有的有.
证明.如果x存在beta;-展开
对每一个，
.
因此对于每一个，
让k是满足的第一个整数，则
且当，我们有，例如
通过引理1，对于每一个，猜测
，
且x存在beta;-展开
在以下推论中是一个非负整数序列，其中对于每一个有 和.
应该注意的是，在这个条件下，有一个唯一解beta;gt;1的方程
有一个beta;-展开
当且仅当对于每一个，.
我们省略了以下推论的证明：
推论2.含唯一解beta;gt;1的方程
(2.4)
(这里 )有
对于它的beta;-展开当且仅当
(2.5)
推论3. 含唯一解beta;gt;1的方程
(这里 )有
对于它的beta;-展开当且仅当(2.5).
推论4. 含唯一解beta;gt;1的方程
有beta;-展开
当且仅当
(2.6)
(2.6)等价于
(2.7)
如果非平凡的beta;-数beta;的beta;-展开是
(这里 )有方程
是beta;的特征方程.
同样，如果beta;是一个beta;-展开的平凡的beta;-数
，
方程
是beta;的特征方程.
引理2.如果beta;是一个beta;-展开的平凡的（非平凡的）beta;-数的特征方程是
关于beta;特征方程的共轭项满足
(2.8)
证明.这很容易验证在(2.8)的两边乘以(z-beta;)并在两边加上。这给出了beta;特征方程。
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