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自年以来，有关凸体的零星结果已出现在数学文献中。古代，19世纪的速度在不断增长。只有在十九世纪和二十世纪初，系统的调查才随着这项工作开始。科西、斯坦纳、布伦，尤其是明可夫斯基。中的重要贡献者二十世纪有布莱克、哈德维格、亚历山德罗夫和许多当代数学家。Klee[593]的以下报价大致显示了在数学中，这一区域的位置及其一些特征是什么：
凸集的研究是几何学、分析学和线性代数的一个分支与数学的其他领域有许多联系，并服务于统一许多明显不同的数学现象。它也与以下几个领域有关科学和技术。
在二十世纪，具有分析意味的凸几何与数学的其他分支和应用领域的关系大大增加。我们提到微分和黎曼几何，泛函分析，微积分变分与控制理论，最优化，几何测量理论，不等式，傅里叶级数和球面谐波，概率，数学物理。除了这些系统的关系外，还有一些次要的联系到其他许多领域，包括复函数理论的一个和几个变量，常微分方程和偏微分方程，动力系统和潜在的理论。
在本章中，我们试图证明以下对球的观察是正确的[53]：虽然凸性是一个简单的性质来表述，凸体具有令人惊讶的丰富结构。
我们介绍了凸几何的主要分析方面以及许多应用。我们从凸体的一般性质开始，包括一些结果组合几何。然后研究了凸体的边界结构。这包括平滑的、奇异的和极端的点。自然拓扑接着介绍了凸体的空间，以及Blaschke的选择定理。证明。混合体积和槲皮素在下面的章节中处理。对估值的讨论是一个重要的话题。我们的展览会包括延期结果，体积的表征和哈德维格函数定理。后者应用该方法证明了积分几何的主运动学公式。一个中心主题是Brunn-Minkowski不等式，它导致几何和物理周不等式与浓度测度现象。的下面的部分讨论斯坦纳对称和施瓦茨重排这些都是很有价值的工具，例如数学物理中的等周不等式。然后给出了凸曲面的面积度量和本征度量研究了闵可夫斯基和威尔的存在唯一性问题。我们提出了亚历山德罗夫、芬切尔和杰森等人提出的这些问题的解决方案Pogorelov。在此基础上，给出了凸几何中凸曲面和台球演化的动力学问题。接下来是约翰的椭球定理和反等周不等式。然后讨论凸体的渐近最优逼近，并将其应用于多边形等周问题。特殊凸体一直是人们关注的焦点。在这里,单形,球考虑椭球体。最后，对凸体空间进行了研究拓扑、测度、度量、群和格视点。
应用处理多变量复函数理论，李亚普诺夫向量值测度的凸性定理，庞特里亚金最小原理，
双随机矩阵上的Birkhoff凸性定理数学物理，尤其是关于晶体形式的乌尔夫定理，以及乔奎特对向量格的刻画。
在本章中，我们将经常使用凸多边形，相关的概念和它们的简单性质，特别是近似性质。不熟悉的读者凸多边形可以参考下一章的导论部分。
想要获得更详细信息的读者可以参考这些书。以及对Blaschke[124]、Bonnesen和Fenchel[149]、Alexandrov[18]的调查，埃格尔斯顿[290]、哈德维格[466、468]、桑塔洛[881]、莱赫特维斯[640]、布来戈acute;扎尔加勒[178]、施耐德[907]、格罗默[405]、汤普森[994]、加德纳[359，360]、Klain和Rota[587]、Ball[53]和Magaril-ilYaev和Tikhomirov〔678〕。此外，我们还参考了凸面几何手册[475]的第一部分和第四部分，凸面及其应用[219]以及收集或选择的Minkowski[745]、Blaschke[129]和Alexandrov[18，19]的作品。
有遗漏。曲率和面积测量的理论简单提到。更多，但决不足以与当地人进行实质性交易赋范空间理论。有关这些区域的详细描述，请参阅Schneider。[907]分别是Pisier[802]、Tomczak Jaegermann[1001]、Ball[53]和凸面几何手册[475]、Banach空间几何手册[477]和Benyamini和林登斯特劳斯[97]。积分几何和几何概率只涉及。有关信息，请参见Santalo[881]和Schneider和Weil[911]。
3、凸集、凸体和凸壳
本节介绍凸集、凸体和凸壳的概念。给出了几个简单的性质，包括卡拉氏定理凸壳。接下来，对组合几何的简短介绍将包括Helly、Radon和Caratheodory定理，以及一些应用程序。acute;例如，在分析上下文中使用凸性概念来阐明为了描述一种情形，我们给出了d复函数幂级数的哈托格斯定理变量。
3.1基本概念和简单性质
我们从凸集和凸体的定义入手，研究凸壳，包括经纬仪定理。然后我们考虑凸锥和acute;证明一个简单的分解结果。
凸集和凸体
关于凸性概念的最早的明确提及似乎是在前四个方面。阿基米德关于球体和圆柱体的书中的公理[35]。第三和第四个公理如下：
3.同样地，也有一些有限曲面，不是在一个平面上，而是有它们的四肢在一个平面上，这样它们就可以完全躺在同一侧包括他们的四肢的平面或将没有在另一边的部分。
4. 我称同一方向上的凸为这样的曲面，如果它们上有两个点取，点之间的直线都落在同一条边上表面，或者一些落在一边，而另一些落在表面但没有人掉在另一边。
阿基米德给出了凸曲面的两种定义。第一个是支持属性的方法，第二种是常用的通过线段，其中包含在同一侧面的表面。在续集中，我们声明集合而不是通常形式的曲面的第二个定义定理4.2后面两个定义的等价性。如果集合C具有以下性质，则它是凸的:
(1 minus; lambda;)x lambda;y isin; C for x, y isin; C, 0 le; lambda; le; 1.
它是严格凸的，如果它是封闭的，并且
(1 minus; lambda;)x lambda;y isin; intC 对于x, y isin; C, x = y, 0 lt;lambda;lt; 1,
int代表内部。紧凸集是一个凸体。它是一个合适的凸体，如果其内部是非空的，否则不合适。固有凸体在E2中也称为凸盘。凸集有许多特征，参见曼尼-莱维茨卡的调查[684]和参考文献。设C = C(Ed)为Ed中的凸体空间和Cp = Cp(Ed)适当凸体的空间。
凸体，更一般地说，凸集是凸面几何。它们不仅在凸性方面起着突出的作用，而且在许多方面也起着突出的作用。数学的其他领域及其应用将在下文中阐明。
凸包
给定Ed中的一个集合a，它的凸包conv a是所有凸集的交集由于凸集的交点总是凸的，conv A是凸的，它是Ed中关于集合包含的最小凸集，其中包含a。对于凸壳的研究，我们需要以下概念x1,hellip;， xnisin;Ed。然后表单的任何点x x =lambda;1x1 ··· lambda;n xn,lambda;1,hellip;hellip;,lambda;nge;0和lambda;1 ··· lambda;n = 1, x1的凸组合,hellip;,xn。
引理3.1。让Asube;Ed。那么conv A是所有点的凸组合的集合的。
证明。首先，我们展示一下
- A点的所有凸组合的集合都是凸的
让x =lambda;1x1 ··· lambda;m xm和y =lambda;m xm 1 1 ··· lambda;n xn两凸组合的点和0le;lambda;le;1。然后(1minus;lambda;)x lambda;y =(1minus;lambda;)lambda;1x1 ··· (1minus;lambda;)lambda;m xm xm lambda;lambda;m 1 1 lambda;lambda;n xn···。
由于x1的系数，hellip;， xn都是非负的，它们的和是1点(1minus;lambda;)x lambda;y也是一个点的凸组合,得出结论(1)的证据。
其次，下面将展示，比较Jensen不等式的证明，参见定理1.9和2.1。
- 让Csube;Ed是凸的。那么C包含它的所有凸组合点。
用归纳法证明C包含任意凸组合的所有凸组合是充分的n个点，n = 1,2，hellip;这对于n = 1来说是微不足道的。假设n gt; 1和这个这个表述对n - 1成立。我们必须证明它对n。让x =lambda;1x1 ··· lambda;n xn是x1，hellip;的凸组合。,xnisin;C .如果lambda;n = 0,那么xisin;C的归纳假设。如果lambda;n = 1,然后非常,x = xnisin;c .最后假设0 lt;lambda;n lt; 1。0 lt;lambda;1 ··· lambda;nminus;1 = 1minus;lambda;n lt; 1,因此lambda;1x1 ··· lambda;n xn = (1 minus; lambda;n) lambda;1 1 minus; lambda;n x1 ··· lambda;nminus;1 1 minus; lambda;n xnminus;1 lambda;n xn isin; C通过归纳假设和c的凸性，(2)的证明是完整的。
由于conv A是包含A的最小凸集，命题(1)表示conv A包含在A点的所有凸组合的集合中。反之，凸集conv A由(2)包含其点的所有凸组合，更不用说a点的所有凸组合了。
凸包的力学解释
这个引理说有限集{x1，hellip;， xn}在Ed中包含所有中心的引力质量lambda;1(非负),hellip;,点lambda;n x1,hellip;,xn。
(非负)群众lambda;1 ntres重力,hellip;,点lambda;n x1,hellip;,xn。在一个手写的附录中，他证明了第三个基本定理代数，这是印刷在沃克3,p。高斯[363]给出了另一种选择描述:x1，hellip;， xn由所有点x组成下列性质:假设x支持正质量，则在点x1,hellip;，使x在重力作用下处于平衡在x1，hellip;,xn。
卡拉西奥多里定理[190]
改进上述引理:
定理3.1。让Asube;Ed。那么conv A是所有凸组合的集合A的仿射独立点，即A中所有素数与顶点的并集。
我们重现了氡的证明[821]，参见Alexandroff和Hopf[9]，第607页。
证明。我们由引理3.1 xisin;conv a可能代表x x =lambda;1x1 x1的··· lambda;n xn,hellip;,xnisin;lambda;1,hellip;hellip;,lambda;n gt; 0,lambda;1 ··· lambda;n = 1, n最小的。我们必须证明点x1，hellip;， xn是仿射独立的。
假设不成立。还有数字micro;1,hellip;hellip;micro;n,不是所有的0,这样
(3) micro;1 ··· micro;n = 0,
(4) micro;1x1 ··· micro;n xn = o
(3)至少一个micro;k是正的。选k这样lambda;k /micro;k是最小的在所有这种k。
lambda;i minus; lambda;k micro;k micro;i ge; 0 for i = 1,..., n, lambda;k minus; lambda;k micro;k micro;k = 0,
lambda;1 minus; lambda;k micro;k micro;1 ··· lambda;n minus; lambda;k micro;k micro;n = 1
由(3)可知x = lambda;1x1 ··· lambda;n xn = lambda;1x1 ··· lambda;n xn minus; lambda;k micro;k (micro;1x1 ··· micro;n xn) = lambda;1 minus; lambda;k micro;k micro;1 x1 ··· lambda;kminus;1 minus; lambda;k micro;k micro;kminus;1 xkminus;1 lambda;k 1 minus; lambda;k micro;k micro;k 1 xk 1 ··· lambda;n minus; lambda;k micro;k micro;n xn
x是否表示为a的至多n - 1个点的凸组合与我们对n的选择相矛盾，从而得出结论。
备注。卡西奥多里定理是组合凸几何的基石。试一试。有关Caratheodory定理的更多信息，以及更一般的com- 二元几何，见第3.2节和在那里引用的调查和书籍。
下一个结果是卡拉西奥多里定理的简单结果。
推论3.1。让sube;Ed紧凑。那么conv A是紧的。
证明。一组(lambda;1,...,lambda;d 1, x1,..., xd 1) : lambda;i ge; 0, lambda;1 ··· lambda;d 1 = 1, x j isin; A是Ed 1 (d 1)d = E(d 1)2的紧子集吗。因此它的形象是连续的映射
（lambda;1，hellip;，lambda;d 1，x1，hellip;，xd 1）→lambda;1x1 ···· lambda;d 1xd 1E（D＋1）2到ED也是紧凑的。根据卡拉西奥多里定理，这幅图像是conva。
封闭和内部
下面是关于凸集闭包和内包的一些有用的小结果给出了Ed子集的凸包。让Csube;Ed是凸的。由relintC我们指的是C的内部相对于仿射包affC的C,即最小的平面Ed包含C。
命题3.1。让Csube;Ed是凸的。然后，下列陈述成立:
- clC为凸集。
- relintC是凸的。
- C sube; cl relintC
设Bd表示Ed中的实心欧几里德单位球。
证明。1.表明clC凸,让x, yisin;clC和0le;lambda;le;1。选择C中的序列(xn) (yn)使得xn→x, yn→y等于n→infin;。凸性的C意味着(1minus;lambda;)xn lambda;ynisin;以来C(1minus;lambda;)xn lambda;yn→(1minus;lambda;)x lambda;y,,(1minus;lambda;)x lambda;yisin;clC。
2.考虑intC =empty;的情况，证明intC为empty;c就足够了凸的。让x, yisin;intel和0le;lambda;le;1。选择delta;gt; 0,x delta;Bd y delta;Bdsube;intelsube;c .
然后(1 minus; lambda;)x lambda;y delta;Bd = (1 minus; lambda;)(x delta;Bd ) lambda;(y delta;Bd ) sube; C由bd和c的凸性可知（1minus;lambda;）x lambda;yisin;intc。
3. 它是充分考虑情况intel = Csube;empty;和证明cl intel。令xisin;C，选择yisin;intC。然后有一个delta;gt; 0,y delta;Bdsube;intelsube;C . C的凸性暗示(1 minus; lambda;)x lambda;y lambda;delta;Bd = (1 minus; lambda;)x lambda;(y delta;Bd ) sube; C.
因此(1minus;lambda;)x lambda;y为0 lt;lambda;isin;intelle;1。自(1minus;lambda;)x lambda;y→x作为lambda;→0,令xisin;cl intC。
命题3.2。让Asube;Ed是有界的。然后是cl conv A = conv cl A
证明。由于conv A是凸的，命题3.1表明cl conv A也是凸的。cl conv A是一个包含A的闭集，因此它也包含cl A是一个包含cl a的凸集，它也包含conv cl a。
集合conv cl A是凸的，包含A，因此包含conv A推论3.1 conv cl A是紧凑的，因此是封闭的，它包含了cl conv A
凸锥
一种概念，在许多情况下都很重要，例如在有序拓扑中在线性优化中，向量空间是凸锥的空间。闭集C
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