英语原文共 9 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
根据反问题法估算和推断模型误差：精确的数值天气预报
Hu Shu-Juan，Qiu Chun-Yu，Zhang Li-Yun
Huang Qi-Can，Yu Hai-Peng，and Chou Ji-Fan
a) College of Atmospheric Sciences, Lanzhou University, Lanzhou 730000, China
b) School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University, Lanzhou 730000, China
摘要：模型误差是影响数值天气预报精度的关键因素之一（NWP）．考虑到大气的持续演化，所观测到的数据（忽略测量误差）可以看作是一系列对实际大气的精确模型的解．模型误差在精确模型中示为未知项，则数值天气预报运用反演的方法，可以解决模型中未知的误差项．反演模型可以利用长时间观测到的数据，生成模型误差的校正过程，从而解决NWP方案，仅使用初始状态数据的缺陷和不足．在这项研究中，我们构建两个反问题模型，用来估计和推断以往研究中，基于时间变化和空间变化的模型误差，并利用大气的最近观测和模拟现象预测周期．数值实验研究Burgers方程说明用反演算法，对实质性预测进行改进．利用反演法减少数值预报误差，未来将会应用到高精度的数值天气预报中．
关键词：数值天气预测，模型误差，历史数据，反问题．
1引言
在实际大气中，不管我们对其物理过程有多少了解，数值天气预报（NWP）出现误差的原因主要有两点：初始条件和模型误差．许多研究都集中在初始条件误差，包括数据同化和集合预报技术[1-7]．更准确地估计初始条件是必要的，但若想提高数值天气预报水平，还远远不够[8,9]．模型误差包括数值微分和积分，不精确的逼近和参数化次网格尺度的物理过程，以及大型数值预报系统的结果误差．目前，解决模型误差主要集中在逼近、提高参数化物理过程，生成更精确的近似值，并增加网格密度解决小尺度过程．然而，无论如何精确的逼近程度，如何准确的参数化，以及如何好的网格分辨率，未解决的现象和模型误差仍然存在．因此，发展数学来说明模型误差是很重要的方法．
Leith[11]提出了诊断模型的统计方法，系统误差与状态异常线性相关．然而，Leith根据经验估计的相关状态修正项，仅适用于线性模型．通过Leith程序的启发，纠正模型误差的各种方法已被提出，并产生了前景结果．例如，奇异值分解（SVD）方法[10,12,13]和经验正交函数（EOF）技术[14]被用来估计状态无关（常量）或状态相关的模型误差（模型的函数状态）这些研究，基于数值化实质上是一个初值问题，这一传统观点(即向前问题)．Gu[15]指出数值天气预报的根本问题，即在初始值中仅使用单次数据．Chou[16]提出了改进的理论方法——利用过去的数据进行数值预报，观察到的数据(忽略测量误差)被视为一系列精确模型的解与未知的数值预报．误差项实际上变成了一个反问题．该未知模型误差项，应由解确定偏微分方程的（观测数据）实际大气运动．如果我们能够有效地解决反问题，那么，通过添加误差项（逆运算）到模型中，自然而然也就改进了数值计算．
与现有修正模型误差的方法相反，在提出问题的基础上，反演法可以利用过去的数据，动态且系统地改进预测．利用逆反思想，提出了一系列预测误差或模型误差的估算，例如，Qiu和Chou[17,19]提出了一种模式识别和参数优化方法．Huang和Yi[20]以及Huang等人[21]建立了一个耦合模拟偏差的模型，进行月度和季节性预测，并取得了比用统计模拟的模型预测方法中得到的结果更好．以此方法为基础，[22]仁等人，[23]和郑等.[24]预测误差，而不是趋势误差，采用模拟技术，避免建立的模拟模型有偏差．他们在操作T63L16模型中使用了这种方法，在月度方法和扩展范围预测方面，获得了可观的预测技能．同时，随着观测网络的细化和增加，对模型误差的估计和核算，以及利用变分数据同化方法进行了大量的研究，从观察中能够提取出有关模型错误．[25–27]然而，由于造成模型误差的因素不确定，这些研究通常将模型误差分解为系统偏差、模型状态依赖部分和随机误差部分等，[28]模型误差的方差和/或动力学是经常需要的．对观测误差协方差的准确估计通常在手边，而在背景和模型误差方差中产生较多的困难．[27]同时，由于缺乏准确动力学的模型错误的知识，一个简单的动力学定律，通常使用例如一阶马尔可夫过程．[25]针对这些缺陷，提出将模型误差估计为缺失强迫项的新问题．[29][30]
本研究的目的是探讨利用反问题方法和过去的数据估计和推断时变和空间变化模型误差的可行性，客观地假设模型误差是一个未知的作用(缺少逼近项)的数值模型．本文的其余部分按如下方式进行，在2节中，我们构造了一个反问题，利用过去的观测数据来计算时间变化和空间变化的模型误差数据集，在这种情况下，观测到的资料实际上被视为模型误差的动力学．在3节中，我们构造另一个反问题，根据历史模型误差数据集，对预测周期内的时变和空间变化模型误差进行推断．在4节中给出了数值实验，说明了反问题算法预测带来的大量改进．总结和讨论了本文的主要研究成果，指出我们的反问题方法可以在局部数值模型中特别使用，以改善预测的局部调查现象．
2 模型误差的反问题
2.1 反问题
如果不考虑边界条件的影响，没有一般性的损失情况下，则数值模型可以写成初始模型：
， (1)
其中表示空间变量的范围，，和分别是状态向量(包括风、温度、湿度、压力等)和初始条件，是控制模型系统动力学的非线性微分算子．由于参数物理过程和不精确逼近的缺陷，方程(1)通常是实际大气的近似值．如果用表示对实际大气动力学的非线性微分算子，则真实系统的精确模型(所有数值模型的最终目的)可以写成：
， (2)
其中是控制实际大气动力学的非线性微分算子．
令，则方程(2)可以写成：
， (3)
其中表示未知的模型误差项(缺少逼近项)，它无法或不准确地描述方程(1)．模型误差项是时间变化和空间变化．
从动力学的角度来看，现有的观测数据代表了实际大气的真实动态系统．所观察到的数据(忽略测量误差)实际上是解决方程(3)的一系列方案．
也就是说,我们不仅知道了方程(3)的初始值，而且还了解了其解决方案．关于未知的模型误差项，包括在历史数据．模型(3)与未知误差项是一个标准的偏微分方程反问题．
与长期模型不同，系统(3)与的解决方案一样，通常是不适定的．解决这一问题的常用方法是寻求最小化问题的最优拟合：
， (4)
其中，和是初始模型(3)的解决方案，并分别在时间中观察到数据．由方程(3)约束的最小化模型(4)，从而试着找到误差项，使得方程(3)的预测尽可能接近观测值．然而，模型(4)仍然是不适定的，因为它的解并非唯一，这将导致数值计算的不稳定性．作为反问题正则化理论的结果，[32]我们应该设定模型(4)并构造如下优化模型：
， (5)
其中是正则化参数．表达式(5)的第2项，表示未知的模型误差项，在方程(3)中实际上是一个较小的量，它确认了数值模型(1)的可靠性，同时解决了模型(4)的不适定性．
2.2离散模型
由方程(3)约束的最优化模型(5)的解，只是数值模型(1)在时间区间的模型误差．不幸的是，我们不能通过求解无穷维模型来获得最小解，而是考虑将它的离散化．首先，对离散表达式(5)和方程(3)，在空间中我们使Galerkin法．如果是一系列的基础函数，满足模型(3)边界条件近似，则通过函数形式逼近和．
， (6)
和
． (7)
若将(6)、(7)插入到的目标函数(5)式中，用基乘以微分方程(3)，并在空间变量域上进行积分，得到：
． (8)
以下是初始问题的解决方案：
． (9)
在时间，，．是一个矩阵，和是以下向量的一部分：
在将(8)和(9)式离散化时，使用Crank–Nicolson法．令并定义其中是一个给定的整数，并介绍，然后给出(5)和(3)式的完全离散形式：
， (10)
其中和是以下方程的解：
， (11)
其中，也已经被给出．
2.3 算法
为方便起见，令,，并通过和分别表示(10)式(11)式中的目标函数，然后用新的表达式(10)和方程(11)为约束优化模型
(12)
此外，若在等式(12)中插入约束方程到目标函数中，则会得到一个隐式约束最优化模型．
(13)
其中是由确定的函数．在数值分析和优化课程中，讨论了模型(13)基于梯度法和牛顿型算法的数值计算．然而，模型(13)的优化表面上看起来相对简单，但由于目标函数的梯度和Hessian计算，涉及隐式非线性约束条件的解，实际相当复杂，即数值模型的求解．这里给出一般的牛顿共轭梯度法(CG)[33]，用来解决模型(13)．
算法1.（Armijo线性搜索的Newton-CG法）
A-1.给出和，设 .
A-2.计算.
A-3.若停止.
A-4.计算.
A-5.应用CG方法计算牛顿方程
A-6.执行Armijo线性搜索.
A-6.1.设，并对求值
A-6.2.而，设，并对求值.
A-7.设.返回A-2.
3 推断反问题
3.1反问题
根据表达式(5)和(3)所定义的优化模型，得到在历史时期时变和空间变化的模型误差 (时间间隔)．为改进预测，需要将模型误差反推到预报期．为了简化表达式，我们使用符号代替，用来表示历史时期模型误差的数据集，并使用和
分别代表历史期间(在空间域和时间间隔)和预测期(在空间域和时间间隔)．然后，外推问题是找模型误差，如
(14)
显然，等式(14)也可以写成
(15)
其中矩阵被称为投影算子，从到，式(15)中的右端零项给出预测期模型误差外推值的第一个猜想，由于没有更好的猜测．方程(15)则是另一个标准反问题，即我们需要用矩阵以及在方程(15)右侧中计算，在历史周期和预测周期中的．然后，根据反问题正则化理论，[32]得到以下优化模型:
(16)
其中是调节函数，是调节参数．规定修改，保证外推模型(16)的适定性，通常由模型误差的先验信息决定．
为提高效率，我们只需要在预测期内推断，而不改变其历史时期的价值．若将方程(15)插入到表达式(16)的目标函数中,得到以下优化模型:
(17)
而表示我们只需要在预测期内找到．模型(17)表示预测期内模型误差的外推值可以通过历史信息提取出来．
考虑到大气的模拟现象，假设历史和预测期间的整个误差数据集都具有自相似性．为了更合理的处理，根据已知的区域特征，将历史时期和预测期划分为较小的补丁.[34,35]然后，利用大气的自相似性，通过将预测期间的模型误差修补程序的最新信息与历史期间修补程序的值进行比较，可以得到外推值(见图1)．这意味着，通过使用非局部正则化理论[36]，在模型(17)中构造惩罚项，作为数据集的加权和:
(18)
其中
(19)
和
(20)
分别表示预测和历史周期中的错误补丁．这里、和分别表示和的空间和时间尺度．是衡量和之间相似性的权重函数．我们可以选择[36]
(21)
为提高相似补丁的平均化，并尽量减少不同补丁的平均值．参数是与补丁和的凸距离度量相关的常数．
方程(18)表示，如果在最近的时间间隔内的模型误差与历史区间中的值相似，则预测区间中模型误差的外推值也类似于大气演化过程中历史区间的值(参见图1)，模型(17)和(1
剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
资料编号：[23826]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word
以上是毕业论文外文翻译，课题毕业论文、任务书、文献综述、开题报告、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
