仅在有理数上可微的连续函数外文翻译资料

 2022-11-27 14:22:12

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仅在有理数上可微的连续函数

M A R K L Y N C H

Millsaps College

Jackson, MS 39210

lynchmj@millsaps.edu

这篇文章源于互联网数学论坛上的两个数学问题：是否存在一个函数只在无理数上可微，是否存在一个函数只在有理数上可微？这个问题可以这样理解：是否存在一个函数仅在无理数上连续，是否存在一个函数仅在有理数上连续。在函数是连续的情况下，答案分别为“是”和“否”。因此作者假定在函数是可微的情况下，答案依旧分别为“是”和“否”。

然而，所有的答案都为“是”。一个连续函数仅在无理数上可微可以通过Rudin给出的函数的不定积分[5, Remark 4.31]来得到。而连续函数仅在有理数上可微是Zahorski[6]所证得的，但是没有一个明确的例子。

在本文中，我们将会给出一个在区间[0,1]上连续的函数，仅在有理区间(0,1)上可微的明确的例子，我们可以推广该技术到[2]中。

长菱形

设n是一个正整数，(x)=r x s是定义在[a,b]上的线性方程，其中斜率rgt;|n|,他的图形是平面上的一条直线，我们将限制斜率情况为rgt;n,因为他和rlt;-n是类似的。另gt;0,考虑线性方程(x) 和(x)-，图像分别为L1和L2,如图1所示，另m=(a b)/2,然后我们可以有足够小的使得,并且gt;n,那么长菱形R是被直线L1和L2，垂直于x轴的直线x=a和x=b所围成的封闭区域，直线L1和L2的斜率都大于n，我们有足够小的使得图1中 直线的斜率也比n大，我们简记为“R是有斜率n的长菱形”。

如果一个连续函数的图像包含在R中，那么它必须有很多斜率大于n的弦。事实上，图像上的每个点是其中一条弦的端点，我们来证明这个引理。

引理1 如果f是区间[a,b]上的连续函数，并且它的图像包含在R中，那么对,,使得|f(y)-f(x)|/|y-x|gt;n.

证明 假设我们正在处理如图1中rgt;n的情况，另，且,那么我们可以有y=b,使得,根据要求，对xm,我们可以取y=a得到类似的结果。

压缩集

设R是上述关于L的菱形区域，我们可以在点p挤压R，如下，设和是[a,b]上的两个可微函数，他们的图像包含在R中，使得

  1. (a)lt;(a)lt;(a), (b)lt;(b)lt;(b),且当x(x)lt;(x)；
  2. (p)lt;(p)且。

图2所示，压缩集P是和质检的封闭区域，并且我们可以看出P在p点收缩。

引理2 如果在区间[a,b]上连续，且的图像是P的子集，则

证明 这遵循挤压原理，如果，则

另收敛于，我们可以看出在点的右导数等于。

函数

设{q1, q2, q3,,,}是有力区间(0,1)上的列举，g1是[0,1]上分段的线性函数，使得每一段的斜率的绝对值都大于1，且每段的边界点是无理点，如图3(a),

当n=1是，对g1的每一段构造长菱形，正如图3(b)所示，有一个长菱形包含有理数q1，在点q1压缩长菱形，如图3(c)所示，我们记做P1的压缩集。

设Z1是非压缩长菱形和P1的压缩集的并集。

作为归纳的第一步，另g1是[0,1]上分段的线性函数，且他们的图像包含在Z1的内部，使得每一段的斜率都大于2且边界点为无理数，由于压缩集在Z1的内部，g2曲线一定由无穷多段组成。我们将Z1的压缩点附在g2的图像上使得g2在[0,1]上持续有定义。

构造斜率为2的长菱形，使得g2的每段线性图像都在Z1的内部，其中一个长菱形包含q2的区域。设P2是通过在点q2压缩长菱形得到的压缩集。设Z2是P2和所有非压缩长菱形的并集。

继续归纳，一般地，Zn是Zn-1的封闭子集，是在点qn压缩的压缩的Pn的并集，加上关于在[0,1]上的线性分段函数的其他线性段的斜率为n的长菱形区域，他们都有压缩点q1, q2, qn-1，因此{Zn}是一个在区间[0,1]之上的嵌套封闭序列和有界集。此外Zn的每个菱形都满足引理1，且每个压缩集P2都在qn满足引理2.

设。那么Z是一个封闭的有界集，并且它的区间是[0,1],因为对，集合{y isin;[0,1]: (x, y) isin; Zn}是封闭的，有界非空的，所以他们的交集{y isin;[0,1]: (x, y) isin; Z}也是非空的。为构造斜率n的长菱形，我们有，使得的序列趋于0，所以这个交集只有一个点。因此Z是[0,1]上一个函数的图像。由于它的图像是封闭有界的，都是连续的[4, Example 6, p. 169].通过引理2，在每个压缩点都是可微的，所以它在有理数域上是可微的。

定理 在无理数域上是不可微的。

证明 考虑无理数isin;[0,1]，，和Mgt;0。记对于无限多的n；例如，给定,对于无限多的都是的子集。有足够的nM，，且Zn中每个长菱形的区间都小于，设R是Zn中包含的长菱形，由引理1知，R中存在一个，使得gt;nM；当然。因此不是一个有限的数且在是不可微的。

我们做一些备注

  1. 我们可以在每一段压缩长菱形来给出无论我们想要的在有理点的导数值，例如，我们可以得到对所有的有理点我们都有。
  2. 如果我们不压缩任何长菱形，则是一个连续但处处不可微的函数。
  3. 我们在选择关于无理数的函数时，还是缺乏一定的灵活性，例如，上述的结果和证明体现了这种可能性。对于无理数能得到吗，对于所有有理数，能得到=1吗？我们知道这是不可能的。正如[3]中所记，这样一个连续函数是一个严格单调递增的函数，假定是明确允许的，因此对任意无理数,将会有一个连续的逆函数且我们有[1, item (18.41)(d)]，是绝对连续的且=，对所有的isin;[0,1]，一个反例。

参考文献

1. E. Hewitt and K. Stromberg, Real and Abstract Analysis, Springer-Verlag, New York, 1965.

2. M. Lynch, A continuous, nowhere differentiable function, Amer. Math. Monthly 99 (1992) 8–9. http://dx. doi.org/10.2307/2324541

3. A. D. Miller and R. Vacute;ybornacute;y, Some remarks on functions with one-sided derivatives, Amer. Math. Monthly 93 (1986) 471–475 http://dx.doi.org/10.2307/2323476

4. K. Ross, Elementary Analysis: The Theory of Calculus, 2nd ed., Springer-Verlag, New York, 2012.

5. W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, New York, 1964.

6. Z. Zahorski, Sur lrsquo;ensemble des points de non-derivabilite drsquo;une function continue, Bull. Soc. Math. France 74 (1946) 147–178.

总结：在一个区间上连续，且仅在有理数上可微的函数的明确案例已经给出。

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