倾斜模和挠理论外文翻译资料

 2022-12-03 11:38:34

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倾斜模和挠理论

MITSUO HOSHINO

Brenner-Butler[5] 首先以相当严格的形式引入了倾斜模理念，Happel-Ringel [6]总结了他们的论文，并延伸发展了倾斜模理论，该理论与 Auslander-Smale[2]（参考[3]和[7]）有着密切的联系。

在本文中，作者研究了穿过中心点 C 的一个固定 artin 代数 A。所有的模都是有限生成模，且大部分模是过 A 的右模。我们用 M 表示有限生成右模，用 D 表示对偶 Homc（-,I），其中，I 是 C 的单射包络/过 C 的 radC，并且用 r （各 t-1）来表示 DTr（各 TrD）。

设 T 是一个倾斜模，且设，是 M 的完全子范畴。则（）是 M 的挠理论，且挠类 包含所有的单射模（详细信息参考 [6]）。从这一观点来看，我们应研究 M 挠理论，这样所有的单射模都是挠模。本文的目的是说明某些挠理论逆向确定倾斜模。

定理：设（） 是 M 的挠理论，包含所有的单射模。假设或中任意一个仅包含有限数量的非同构不可分解模。设 T 是所有非同构不可分解Ext-投射模的直和。则 T 是一个倾斜模。

如果和都包含无限多的非同构不可分解模，则无需包含扩展投射模。例如，考虑 A是连接、遗传和无限表示型。设 是不可分解的预内射模构成的 M 完全子范畴，且是不包含预设直和项的模。则，（）是 M 的挠理论，且 包含所有的内射模，而未包含任何扩展投射模。

我们回忆了某些定义。满足下列三个条件，则 T 模可以被视为倾斜模。

（1）

（2）

（3）有一个恰当序列 ，Trsquo; 和 T” 是 T 的直和项的直和。

设 是扩张封闭的 M 完全子范畴。如果上的函子（各）都为零，则X 模是扩展投射模（各扩展投射模）。 就DTr和 Auslander-Reiten 序列，我们参考了[1]，就完全子范围的 Auslander-Reiten 序列，我们参考了[2]. 我们应自由使用 [1] 中的结果。

定理证明

设（）是 M 的挠理论，且用 t 表示幂等根。

辅助定理 1： 设 。则当且仅当 X asymp;P/t（P） 时，X 是某个扩展投射模 P 的 外射。

证明：设 P 为投射模，且规范准确序列。我们得出了函子的准确序列

因此，我们得出在 为零。

相反，设 X 是 的外射。设 是射影覆盖，且是导出同态。因为 ，我们得出结论，是一个分裂满同态。

辅助定理 2： 设不可分解，则

  1. X 是的外射。
  2. 设 X 不是 的外射。则t（tX）可分解，且在 Auslander-Reiten 序列中，诱导序列 是 的Auslander-Reiten 序列。

证明：参考[7，辅助定理 2]

辅助定理 2 的对偶命题如下所示。

辅助定理 3: 设 不可分解，则

（1）X 是的扩展内射。则 不可分解，且在Auslander-Reiten 序列，诱导序列 是 的Auslander-Reiten 序列。

在下文中，我们将设 包含所有内射模。设 n 为非同构单模的数量。

辅助定理 4： 设 不可分解。如果 X 是中的， 则投射维数 X le;1 。

证明：我们可以假设 X 不是投射。设 是极小内射分解。确定 t-1 后，我们得出投射分解

因为 且，我们得出

辅助定理 5：设 只包含一个有限数量的非同构不可分解模。则至少包含一个非同构不可分解扩展投射模。

证明：这是辅助定理 2（2）的直接结果。

辅助定理 6： 设仅包含一个有限数量的非同构不可分解模。则至少包含一个非同构不可分解扩展投射模。

证明：设 r 是中非同构不可分解投射模。依据辅助定理 1， 包含 n-r 个非同构不可分解扩展投射模，因此，依据辅助定理 3（2），至少包含 n-r 个非同构不可分解扩展内射模，所有这些内射模都是无套内射。因此，依据辅助定理 2（1）和辅助定理 3（1）， 我们可以得出结论，至少包含 n=r（n-r）个非同构不可分解扩展外射模。

最后，依据 Bongartz [4] ，我们将用下一个辅助定理以及辅助定理 4、5 和 6 完成这个证明。

辅助定理 7：设 是非同构不可分解模的一个直和。假设投射维数 T le; 1 且，则当且仅当 T 是一个倾斜模时， m le; n 。

证明：参考 [4，定理 2.1]。

文献资料

  1. M. Auslander 和 I. Reiten ，《artin 代数 III 的代表理论，殆分裂序列》，普通代数，3(1975 年)，239-294 页；
  2. M.Auslander 和 S. O. Smalo 《子范畴中的殆分裂序列》，J， 代数，69（1981 年），426-454 页；
  3. M.Auslander 和 S. O. Smalo 《子范畴中的殆分裂序列》，J， 代数，71（1981 年），5926-594 页；
  4. K.Bongartz,《倾斜代数》，数学论文集（1982 年柏林斯普林格），26-38 页；
  5. S.Brenner 和 M.C.R.Butler 《Bernstein-Gelfand-Ponomarev 反射函子的概括》，数学论文集（1982 年柏林斯普林格），103-169 页
  6. D.Happel 和 C.M.Ringel 《倾斜代数》，环美数学界，待发表
  7. M.Hoshino，《论倾斜模引发的分裂挠理论》，普通代数，待发表

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