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翻译
利用Jungck迭代序列逼近成对弱相容算子的公共不动点
J.O.Olaleru
Mathematics Department,University of Lagos,Lagos,Nigeria
摘要 我们发现Jungck迭代能被用来逼近一些定义在度量空间的广义拟压缩映射弱相容对的公共不动点。人们也讨论那些映射中的重合点的存在问题。众所周知的Picard迭代收敛的结果是Banach空间的单映射收敛的概括。特别的，结果将最近Berinde的结论[V.Berinde，度量空间中的相容拟压缩自映射的公共不动点理论，Applied Mathmatics and Conputation 213（2009）348-354]进行了改进和推广并且回答了本文提出的问题。
关键词 Jungck迭代，重合点，公共不动点，弱相容映射，广义拟压缩映射。
- 介绍和前言
在过去的40年间，学者的注意力集中在研究各种用于逼近定义在Banach空间中的单一自映射的不动点的迭代格式，即Picard,Mann[20],Ishikawa[15],Noor[22]和多步骤迭代方案[25]。不同种类的非扩张性映射的公共不动点的存在性已经被不同的学者所证实。像[14,19,29,30].不仅如此，对于不同种类的非扩张性映射的公共不动点的逼近已经被不同的学者所研究，详见[2,7,18,21,26,30].然而，这并不是拟压缩算子对的公共不动点的案例。那些拟压缩映射详见[24].尽管一些学者已经证明了不同种类的拟压缩算子对的公共不动点的存在性，例如[1,3,11,14,17,23],很少有文献(详见[4-6])用数学方式逼近公共不动点。这项工作将在本文第二部分Jungck迭代格式收敛中详述。这其实是一个广义Picard迭代，能被用来逼近一些众所周知的弱相容拟压缩映射的公共不动点。我们首先展示重合点和这些映射的公共不动点的存在性。一些重合点的应用见[8,13].在第三部分，我们专注于对最近Berinde结果[3]的改进和推广。同时我们展示了广义拟压缩映射弱相容对的唯一公共不动点的存在性。因此回答了文章中曾提及的问题。而且，我们展示了Juncck迭代的收敛性能被用来逼近那些映射的唯一公共不动点。结论扩展了文献中的一系列结果。
设是一个度量空间，是任意的集合，定义使得.
对任意的,存在数列,使得.为定义迭代，定义数列如下：
(1.1)
当且(是上的恒等映射)时,这一过程满足Picard映射。
同样，当映射满足
(1.2)
对所有的，.时，映射变为压缩映射。如果且，则映射满足(1.2)变为压缩映射.
定义1.1[1]如果在中存在点(称为重合点)使得，那么点称为一对自映射的重合点。如果自映射和在他们的重合点处可交换，即如果对一些有则，那么自映射和被称为弱相容的。
Singh[24]改进了Jungck[16]的结果,展示了当一对Jungck压缩映射满足某些情况时，Jungck迭代收敛到公共不动点。一些学者[28]将Jungck压缩原理称作Banach压缩原理的推广。
定理1.2[27]令符合(1.2)且，则和有一个重合点。事实上，对任意，在中存在数列使得且Jungck迭代满足(1.1),对一些中的来说收敛到，即和有一个重合点。
进一步，如果且在点可交换(即和是弱相容的)，那么和有唯一的公共不动点。
命题1.3[1]令和是集合上的弱相容自映射。如果和有唯一的重合点，那么是和上的唯一公共不动点。
备注1.4上述定理可称为Jungck压缩原理且当和时上述定理等价为Banach压缩原理。
应该指出Jungck迭代(1.1)和Jungck压缩的相关技术在动态系统，最佳逼近理论，动态进程，电脑图形图像处理，帕累托型优化问题和其他的变分不等式中都有应用。本文会给出例子定量阐述Jungck迭代的工作方式。同详见[28]。
- 弱相容拟压缩映射
我们现在继续说明，如果Jungck压缩映射(1.2)推广到各种弱相对映射，定理1.2依然是有效的。
首先，我们考虑Hardy和Rogers[12]的一项研究的推广。
定理2.1设是非空集合，是度量空间，定义映射，。假设下列情况成立：
(2.1)
当且时，对所有的。假设或是
的完备子空间，那么和有唯一的重合点。进一步，如果且是弱相容的，那么Jungck收敛到 和的唯一公共不动点。
证明 可以观察到，当满足(2.1)时，也满足
(2.2)
其中，且且且。我们将(2.2)作为论点.
在中构造数列使得 令，那么从(2.2)中
(2.3)
因此
令,所以
(2.4)
同样，对于，我们有
(2.5)
因此 (2.6)
当时成立。
于是是一个Cauthy数列且通过或的完备性和，可知存在使得
()() (2.7)
所以存在使得。
同样，从(2.2)和中，我们可得：
(2.8)
当，(2.8)变为
(2.9)
因为所以.于是且是和的重合点。下面我们证明重合点是唯一的。假设存在另一个重合点，那么，存在重合点使得。由(2.2)可得
于是。因为，所以。所以重合点是唯一的。由命题1.3可知公共不动点也是唯一的。所以是唯一的公共不动点且由(2.7)知，当时，。定理证明完毕。
备注2.2 如果在定理2.1中，我们可以重新获得定理1.2.下列结论可由定理2.1得到。
推论2.3 设为非空集合，为度量空间，映射满足。假设下列情况成立：
(2.10)
对任意的，且.
假设或是的完备子空间，那么和由唯一的重合点。进一步，如果且是弱相容的，那么Jungck迭代(1.1)收敛到和的唯一公共不动点。
如果且，其中是恒等映射，那么我们可以得到Kannan[14]的结果。
推论2.4 设为非空集合，为度量空间，映射满足。假设下列情况成立：
(2.11)
任意的，且。
假设或是的完备子空间，那么和有唯一的重合点。进一步，如果且是弱相容的，那么Jungck迭代收敛到和的唯一公共不动点。
如果且，其中是恒等映射，那么我们可以得到Chatterjea[4]的结果。
定理2.5 设为非空集合，为度量空间，映射满足。假设下列情况成立：
(2.12)
其中且对所有的。假设或是的完备子空间，那么和有唯一的重合点。进一步，如果且是弱相容的，那么Jungck迭代收敛到和的唯一公共不动点。
证明 在中构造数列使得，令，我们需要得到
(2.13)
从(2.12)中我们有
我们讨论所有可能性：
假设，那么当时，满足(2.13).
假设，所以满足(2.13)，根据(2.13)，可知
(2.14)
根据(2.4),(2.5),(2.6)的同样的结论，是一个Cauchy数列且由或的完备性和,可知存在使得当
, (2.15)
于是，存在使得.
同样，从(2.12)和中，我们也可以得到
因此当时，，。因此，并且我们能够推出是和的重合点。
接下来证明重合点唯一。设存在另一个重合点，于是，存在重合点使得。由(2.12)我们有
因此且当时，有。因此重合点是唯一的。由命题1.3可知，和的不动点也是唯一的。(2.5)的结论当时补充了证明。
推论2.6 设是非空集合，是度量空间，映射符合，假设下列情况成立：
(2.16)
当时，对所有的。假设或是的完备子空间，那么和有唯一的重合点。进一步，如果且是弱相容的，那么Jungck迭代收敛到和的唯一公共不动点。
下列结果能由定理2.5推出。
定理2.7 设是非空集合，是度量空间，映射符合，假设下列情况成立：
(2.17)
当时，对所有的上式成立。假设或是的完备子空间，那么和有唯一的重合点。进一步，如果且是弱相容的，那么Jungck迭代收敛到和的唯一公共不动点。
证明 观察可知，在下述条件下，(2.17)意味着(2.12)：
- 弱相容广义压缩
定义3.1 比较函数是至少满足以下两种条件的标量函数：
是单调递增的，即,
对任意数列收敛到0,其中表示的第次迭代.
下列概念仍然需要我们的结果：集合被称为相对与的的环。
下列是最近发表的文章Berinde[3]的最主要的结论，该结论是引用[12]的结论的推广。
定理3.2[3] 设是完备度量空间，是两个具有有界轨道的相容映射。假设是连续的，且
(3.1)
对任意成立。
(3.2)
其中是连续的标量函数。如果那么和由一个唯一的公共不动点。
一对相容映射是弱相容的，但是弱相容不一定是相容映射[10]。文献[3]提到，定理3.1中相容性的假设是否能够被替换成更为广义的假设如弱相容性。我们在下面的定理中对这一问题给出了肯定的回答。进一步，我们去掉是连续的这一条件，并且证明如何通过Jungck迭代过程逼近公共不动点。因此我们改进，推广并且一般化了[3]和参考文献中的主要结论和它的引论。
我们需要下列引理：
引理3.3[3] 令满足定义3.1中的和并假设
对特定的
，.
那么。
定理3.4 设是一个非空集合，为度量空间，有界轨道映射满足，假设下列条件成立
(3.3)
其中
(3.4)
是一个连续的标量比较函数。假设或是的完备子空间，那么和有唯一的重合点。进一步，如果且是弱相容的，那么Jungck迭代收敛到和的唯一公共不动点。
证明： 构造中的数列使得[3]中定理2的证明观点与此次证明相似，是Cauchy数列，成立，存在使得
.且当，. (3.5)
于是，存在使得.
同样，从(3.4)和中，我们得到
于是当时，有且由引理3.3知。于是且我们推出是和的重合点。
接下来证明重合点是唯一的。假设存在另一个
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