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闭合自反模的扩展
Mitsuo Hoshino
在本文中，代表一个有幺元的环，并且所有的模都是有限生成左-模.
在本文中，我们要求所有的有限生成自反（半自反的）左模的类在扩展下闭合。然而，即使是左、右诺特环（详见参考文献[2，引理3.2]和[3，p.12]）也不会总是满足上述条件。正如将要指出的，当是Krull维数为2的诺特交换域且的有限生成自反模的类在扩展下闭合时，是Cohen-Macaulay环。我们的主要目的是要表明，如果是左、右诺特环，那么所有有限生成半自反左模的类和所有有限生成自反左模的类在扩展下关闭，当且仅当=1,2 时函子的有限生成右模趋于零.需要指出的是后一种情况在当是一个可交换的Gorenstein环时是成立的(详见参考文献[3]).我们将会证明如果是一个左右诺特环满足有最小单射拆分因此弱dim(弱维数,下同).当=0,1时，有限生成半自反左模的类和有限生成自反左模的类在扩展下关闭.在证明中我们将会说明，如果是一个inj dim (内射维数,下同)的左和右诺特环，则该类有限生成自反左模在扩展下闭合.另一方面，即使是一个inj dim=inj dim2的左、右诺特环，该类所有有限生成半自反左模未必在扩展下闭合.
接下来，我们设-对偶函子和一个通过一般赋值映射给定的模为，设的单射包络为.现在作如下回顾：如果是单射，则模是半自反的；如果是同构映射，则模是自反的.需要指出，模是半自反的，当且仅当它是的有限生成余.我们通过模(分别模)表达有限表示左(分别对应rsquo;右rsquo;)模的范畴.如果是左诺特环，那么每一个有限生成左模都是有限表示.
1充分条件.在这部分，我们证明如果是一个左右诺特环,满足有最小内射分解因此，弱dim当=0,1时所有有限生成半自反左模的类和所有有限生成自反左模的类都在扩展下闭合.
为了开始证明，我们引入几条引理.
引理1.1.设为一个正合序列，为有限生成并且作投影，设= ,则且.
证明：详见参考文献Auslander[1,命题6.3].
引理1.2.设是一个左诺特环且.对任意有限生成左模和任意单射右模，.
证明：详见参考文献Cartan and Eilenberg[4,第6章，命题5.3].
引理1.3.对于一个模，下列命题等价：
- 自反.
- 自反.
- .
证明：首先对于任意模，=.(详见参考文献e.g.Jans[6,Theorem 1.4]).
(1)(2).因为=，所以不管是何值时是一个同构映射.
(2)(3).已知. 因为=，
.把这个结论应用到，我们得到.
因此，如果是同构映射，= 0，也就是= 0.
(3)(1).因为首项系数为1，又因为，= 0表示
是一个同构映射.
引理1.4.令是左诺特环.令是一个模且和半自反的正合序列.设.则半自反.
证明：因为首相系数为1的且=，=.注意到 是嵌入到中的.因此由引理1.2，
= 0，
我们得到= 0.因此= 0，并且首相系数为1.故首相系数为1，所以=.因此= 0，也就是意味着= 0.
命题1.5.令是左和右诺特环.设弱dim .则该类有限生成半自反左模在扩展下闭合.
证明：通过引理1.4显然= 0对任意的半自反的都成立.令是半自反的.因为是有限产生的，故存在一个形式为0的正合数列且是有限产生且可投影.因此== 0.
命题1.6.令是左、右诺特环.设=当inj dim时设弱dim.则该类有限生成自反左模在扩展下闭合.
证明：首先由引理1.2可知, inj dim即得弱dim.设是一个模且和自反的正合数列.令=.我们得到= 0 =.令 0是一个有限表示且设=.因为我们有在投影上模的正合数列.由引理1.2.因此，由被嵌入到中，.把应用到正合数列中，我们得到.因此通过应用到上述正合数列，有
我们得到以下的数列是正合的
现在我们得到以下正合行的交换图表：
0 0
~ ~
0
再由Snake定理，是一个同构映射.证明完毕.
2.主要结果.在这部分，我们将会证明如果是左、右诺特环，有限生成半自反左模的类和有限生成自反左模的类都在扩展下闭合，当且仅当且当时，函子在模时趋于零.
我们接下来开始证明
命题2.1.令是左诺特环.该类有限生成半自反左模在扩展下闭合，当且仅当函子在模趋于零.
证明：必要条件.令是一个右模为有限产生且投影的正合数列；令.设且是标准映射.因为是满射，所以也是满射.因此对于任意半自反左模是满射.因为，由引理1.1
因此是满射，在把应用到正合数列
我们得到.现在我们可以说是首相系数为1.令是一个模的正合数列，设整除.则存在使得存在.因此和都是半自反的.因此是满射，且存在使得成立.因此.由于是满射，，且数列可分解.故首相系数为1，.
充分条件.令是一个模余且半自反的正合数列.我们可知.设是一个有限表示且.显然是模剩余类.因此由引理1.1，，我们得到.因此，由是半自反的，.另一方面，因为首相系数为1且，.因此.
推论2.2.令是左、右诺特环.设该类有限生成半自反左模在扩展下闭合.则对任意模剩余类，是半自反的.
证明：对于一个给定的模剩余类，令是一个有限表示，且设，.由引理1.1，.因此通过投影，我们得到一个正合数列，再由命题2.1，.故，再由引理1.3，是自反的.
现在我们要证明主要结果.
定理2.3.令是左、右诺特环.则该类有限产生半自反左模和该类有限产生自反左模在扩展下闭合，当且仅当时，函子在模时趋于零.
证明：必要条件.对于给定的模剩余类，令是一个有限表示且.因为，由引理1.1可知且有 .设再令和是标准映射.由命题2.1，.因此，将应用到正合序列
我们得到首相系数为1.另一方面，因为是一个同构映射，又根据是满射，是满射.因此，应用到正合序列
我们得到
故.可知首相系数为1.令是模剩余类中的正合数列，设整除 .则存在使得成立.由推论2.2可知，是自反的.因此，由引理1.3 ，是自反的， 也是自反的.因为，因此.且整除.另一反面，再由引理1.3，，也就是说.因此，序列 可分解.因此首相系数为1，且.
充分条件. 令是一个模余且自反的正合数列.由命题2.1可知，该类有限生产成半自反左模在扩展下闭合.因此半自反.我们得到.令是一个有限表示且.由引理1.1，.设，从下列正合行交换图表
0 0
~
0
由Snake引理，我们得到正合数列
由推论2.2 ，是自反的.因此，由引理1.3，.因为，把应用到上述正合数列，我们得到是一个同构映射.因此是满射且.因此是满射且.故是自反的.证明完毕.
3.备注.在这部分，我们在是交换环时应用定理2.3.我们把参考文献Herzog and Kunz [5]应用到Cohen-Macaulay环和最大Cohen-Macaulay模.
为了开始证明，我们规定如果是交换环则命题1.5的反命题成立.
命题3.1.令是交换诺特环.以下命题等价：
- 弱维数.
- 该类有限生成半自反模在扩展下闭合.
- 环的所有商环都是Gorenstein环.
证明： (1)(2).根据命题1.5可直接得到.
(2)(3).由推论2.2， 对于任意模剩余类中的，是自反的.再由参考文献[3,命题 6.1]，证明完毕.
(3)(1).由参考文献[3，命题6.1]，是平滑的.
注：令是一个整环.则一个有限生成模是半自反的当且仅当它是挠自由的(详见参考文献Cartan and Elienberg[4，第七章，命题2.4])，又因为该类无挠模在扩展下关闭，该类有限生成半自反模在扩展下总是闭合的.
命题3.2.令是一个Krull维数为2的交换诺特环.设的商环是Gorenstein，且该类有限生成半自反模在扩展下闭合.则环是Cohen-Macaulay环，且有限生成模是自反的，当且仅当它是最大Cohen-Macaulay环.
证明：首先， (详见参考文献[3，引理3.1]).又根据命题3.1和定理2.3知，且.因为是半单的，我们得到深度，且是Cohen-Macaulay环.
给定一个有限生成自反模，有最小自由表达.应用，我们得到在有限秩为任意的的正合序列.因此深度，且是最大Cohen-Macaulay环.
反过来，令是一个最大Cohen-Macaulay环的模.首先我们得到和都是有限长度.令是一个高度为1的主理想.由命题3.1和定理2.3，当 时，函子 在模剩余类上趋于零，也就是当时，函子在模剩余类上趋于零.也就是当时，函子在模剩余类上趋于零.在局部化，对任意模剩余类中的，我们得到时，.因此由参考文献[3，推论2.11]，.因为函子是稠密的，故可知是Gorenstein环.因此，因为是一个最大Cohen-Macaulay-模，也就是自反-模，也就是说.因此和是有限长度.现在表明，则表明.因此是自反的.证明完毕.
最后，本文以下列内容结束.
备注.令是左、右诺特环.如果inj dim，由命题1.6，该类所有有限生成半自反左模在扩展下闭合.另一方面，即使inj dim=inj dim，该类有限生成半自反左模在扩展下未必闭合.考虑到上例中是的子环，域中的满矩阵，且该矩阵由以下基本元素组成：
和
其中是矩阵里的元素.则gl dim，inj diminj dim，proj dim且proj dim.令是的Jacobson根式.则.因此，由命题2.1，该类有限生产成半自反左模在扩展下不闭合.
参考文献
[1] M.Auslander，Coherent functors. In:Proc. Conference on categorical algebra，189-231，
Berlin-Heidelberg-New York 1996.
[2] H.Bass，Injective dimension in Noetherian rings. Trans. Amer. Math. Soc. 102，18-29
(1962).
[3] H.Bass，On the ubiquity of Gorenstein rings. Math. Z, 82，8-28 (1963).
[4] H.Cartan and S.Eilenbrg，Homological algebra. Priceton，N. J ，1965.
[5] J.Herzog and E.Kunz，Der Kanonische Modul eines Cohen-Macaulay Rings. LNM 238，
Berlin-Heidelberg-New York 1971.
[6] J.P,Jans，Duality in Noetherian rings. Proc. Amer. Math. Soc. 12，829-835 (1962).
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