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Kuramoto-Tsuzuki方程的四阶分裂步拟谱格式
摘要：这篇文章对Kuramoto-Tsuzuki(KT)方程提出一种分裂步离散傅里叶拟谱格式。本文首先将方程分裂成一个线性子问题和一个非线性子问题，非线性子问题可以通过分别解出未知复值函数方程的幅度谱和相位谱来精确积分，线性子问题先通过傅里叶拟谱法来求出方程的空间导数，然后在其相空间对带有傅里叶系数的方程精确积分。本文对方程运用四阶时间分裂法来进行积分，因此该算法在空间方向是谱精度的同时在时间方向是由分裂造成的四阶精度。该格式是完全显式的，利用快速傅里叶变换法易实现，并能达到有效的结果。而且，它在连续问题上是时间对称的并且有规范不变量。文中大量的数值结果记录检验了该算法的收敛性并证明了其有效性和精度的准确性。
关键词：Kuramoto-Tsuzuki(KT)方程、分裂步格式、离散傅里叶拟谱法
- 引言
考虑KT方程的数值解形式如下
其中，是一个未知的复值函数，和是两个分别刻画线性和非线性色散关系的实常数，是一个给定的函数。KT方程可以看作三阶复金兹堡—朗道(GL)方程在某一维空间色散关系的特殊情况，GL方程是物理领域最为广泛研究的非线性方程之一。GL方程描述了从非线性波到二阶相变以及从超导、超流、玻色-爱因斯坦凝聚态到液晶和弦论中的各种各样的现象。
过去的二十年里提出了一系列有效而精确的数值格式来研究KT方程的求解。例如，Tsertsvadze在文献[13]中构造了一个隐式的时域有限差分(TDFD)格式并证明了离散-2范数的收敛速度是，同时在约束条件下一致范数是以阶速度收敛的。此后我们用和分别表示网格中的空间步长和时间步长。后来，孙在文献[12]中证明了Tsertsvadze的格式在一致范数收敛于的情况下不需要任何约束条件。另外，文献[5,9-11,14,15]和已有的参考文献中还研究了其他一些二阶时域有限差分格式。其他数值格式在文献[6]中被构造过，例如有限元格式。
这篇文章的目的是为了提出一个有效而精确的数值格式，这个格式可以由分裂步积分算法(或者称为时间分裂法)来实现，该算法建立于在空间和时间方向上应用离散傅里叶拟谱法。演化方程的分裂步格式可以追溯到1970年(参考文献[3])，它们被广泛使用于计算薛定谔方程的解(参考文献[16])。我们这个格式的主要思想是：(i)用一种正确的方式分裂演化方程以便于非线性子问题在物理空间里能被精确积分；(ii)对线性子问题在空间上应用离散傅里叶拟谱法并精确解出其相空间上常微分方程的傅里叶系数。沿着前面这些推论可知，空间精度比任何多项式的阶数都高，即空间方向上是谱精度的。由Yoshida的计算公式（文献[17]）时间收敛速度可以被构造为任意阶。在本文中，我们将详细讨论一个四阶分裂步公式，该格式是完全显式的并且能有效实现。而且，它能保持连续问题(1.1)中所拥有的两个性质：(i)时间可逆，(ii)在全局变换下有规范不变量(对任意相位常数由乘)。
剩下的文章将作如下安排：第2部分我们会提出详细的分裂步离散拟谱法；第3部分我们将会对非齐次式情形的推广进行讨论；为了对提出的格式进行深入研究我们会在第4部分里记录大量的数值结果；最后，一些结束语会写入第5部分。
- 数值格式
我们将在这一部分提出KT方程(1.1)的一个分裂步傅里叶拟谱格式。在实际问题当中，这类似于文献[5,6,9-15]中的大部分数值研究方法，我们用周期边界条件将整个空间问题(1.1)截断在有限区间上，于是我们考虑了如下的初边值问题
注2.1. 在某些情况下，周期边界条件能够用齐次狄利克雷边界条件代替。
2.1.分裂步积分
作为初步预备阶段，我们首先回顾一般演化方程的裂步（或时间分裂）积分的构造形式：
这里映射通常是一个非线性算子，并且（也叫做分裂步算子）的分解是随意的；事实上，是两个不可交换的算子。对于已知的时间步长，令且是的近似值。
公式常用的二阶裂步积分为，可由文献[8]中斯特朗公式构造得来，
它们都是显式的并且具有时间对称性（也叫做时间可逆），也就有。公式的一个四阶裂步积分可以作如下构造（参考文献[17]）：
即有
这里
显然，上述的四阶积分仍是显式的并且具有时间可逆性。由吉田的计算公式（参考文献[17]），我们也可以构造出更高阶的对称积分。一般来说，算子在不影响精度方法的情况下是可以相互交换的。
我们现在用(2.4)的形式重新改写方程(2.1)
因此，裂步积分和能高效实现的关键就是有效地解出以下两个子问题：
和
在接下来的两小节中我们将分别来讨论如何解出子问题(2.7)和(2.8)—(2.9)。
2.2. 对子问题(2.7)的精确求解
对任意固定的未知数x ，子问题(2.7)是一个常微分方程，我们先给出复值函数w(x,t)的形式：
其中是实值函数，为关于辐角的实值函数。为了获得关于的方程，在公式(2.7)的两端同时乘以（w的共轭复数），
将(2.11)和它的共轭复数相加，我们可以准确解得
对任意已知的时间量，我们有
为了得到关于辐角的方程，继续把(2.10)代入(2.7)中去，
对上面的方程取虚部，可以得到
由(2.12)我们有
指出（当时，S可以被任意选择），因此，
对于已知的时间量，我们对上述方程从到求积分，又由(2.13)便能解出
将(2.13)和(2.16)代入到(2.10)中去，最终能够得到解为
这里
因此根据以上公式即能准确求解出方程(2.7)。
2.3. 对子问题(2.8)和(2.9)的精确求解
选取M为偶数的网格步长，并且用坐标表示网格点，现在，我们用离散傅里叶拟谱法通过对方程的傅里叶系数在其相空间上精确积分来近似估计(2.8)中的空间导数。
假设
对和，是模式下的离散傅里叶变换系数。
用离散傅里叶拟谱法（参考文献[1,2,4,7]）近似估计(2.8)中的空导数，于是有
注意到傅里叶函数的正交性，我们便可以得到在相空间上的常微分方程，
该方程可以被积分精确解出，对任意已知的时间量，有
2.4.详细的数值格式
令为的近似估计并指出是由分向量组成的近似向量。对任意的，我们引入两个离散算子和，它们由满足的向量估算得到：
选取，四阶分裂步离散傅里叶拟谱法计算得
这里在(2.5)中已给出。
这里，我们想要指出这个格式的一些性质：
(i) 它是完全显式的。因此每个时间步长都不需要迭代，很容易去实现。内存空间为，利用快速傅里叶变换算法（应用于(2.23)和(2.24)），每一时间步长的计算复杂度为。
(ii) 因为我们精确解决了非线性子问题(2.7)，并且得到了线性子问题(2.8)的时间精度及其空间上的谱精度。整体空间的离散化误差在网格步长内是谱精度的，也就是我们所指的当h趋于0时它以很快的指数速度收敛，并且整体时间离散误差由于分裂在处是四阶精度的。第4部分中报告的数值结果将会支持这一收敛性质。这里，我们注意到对收敛性的缜密分析和稳定性分析是一个棘手的问题但是都非常有用。
(iii)又因为时间离散误差只是来源于分裂，这个格式是具有时间可逆性比如连续问题(1.1)。而且，对任意相位常数，我们有
因此它也是规范不变量，这也是连续问题中所保持的另一个性质。
注2.2. 我们注意到虽然交换(2.6)中定义的和并不会影响这个格式的时间精度阶，但还是建议用提出的分裂方法。这是因为(2.23)步长的计算复杂度比(2.22)的更高，尽管它通过快速傅里叶转换法已经进行了加速，但物理空间和相空间之间相互转换的评估还是非常耗时的。
- 非齐次KT方程的推广
当把介质不均匀性的相互作用计入考虑时，我们考虑如下的非齐次KT方程（文献[14,15]）
这里是一个已知的复值光滑函数。我们再次利用周期边界条件将整个空间问题截断在有限区间上。不同于(2.6)的分裂，这里我们将问题分裂成非线性子问题(2.7)，线性子问题(2.8)—(2.9)和非齐次子问题这三部分。
对于任意已知时间量，我们对上述方程从到求积分有
在大多数情况下右端的积分不能被精确求值，我们可以实现一个数值积分，例如，
虽然我们还不是很清楚如何去构造这三个子问题的一个四阶分裂步积分算法，但一个二阶格式可以由文献[8]中的斯特朗公式很容易构造得出。根据2.4分段中使用过的相同符号，(3.1)的一个二阶分裂步傅里叶拟谱格式按如下形式进行
这个格式是完全显式的，时间上是二阶精度的并且空间上是谱精度的。内存空间为并且利用快速傅里叶变换算法可得到每一时间步长的计算复杂度都为。
- 数值结果
这个部分我们会记录一些数值结果来更好地理解所提出格式的收敛性质，并证明它的有效性和高分辨率。在本节中，为了量化计算结果我们将检验离散和范数下的误差。
例1. 我们以一个齐次KT方程为例，
这里确定了一个精确平面波解。这个例子在文献[14,15]的不同差分格式的数值研究中被使用过，所以我们在区间上解决问题。
首先我们对数值格式SSFP(2.25)—(2.27)检验了源于时间离散的误差，同时为了这么做我们选取一个非常小的网格步长，这样空间离散误差相较于时间离散误差便可以忽略不计。表格1列出了不同值在时间t=10上
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