关于递归序列
原文作者 E.易色斯、R.德沃特和G.帕帕斯基诺普洛斯
于2004年1月12日收到，并于2004年5月29日收到经修订的表格
我们本文的目的是研究有界性、全局渐近稳定,和周期性特征差分方程的解，，其中参数和参数以及初始条件为正实数。
- 介绍
包含未知函数的差分及自变数的方程。在求微分方程的数值解时，常把其中的微分用相应的差分来近似，所导出的方程就是差分方程。通过解差分方程来求微分方程的近似解，是连续问题离散化的一个例子。
使用一个适当的改变的变量,我们有递归序列相当于差分方程， （1.1）
对所有参数的值(1.1)有一个独特的积极平衡。0 lt;lt; 1时,积极的平衡是局部渐近稳定。的情况下= 1,线性化方程的特征方程的正平衡= 1有三个特征值,其中一个是minus;1,和其他两个0和1/2。此外,当gamma;= 1,(1.1)具有无穷多时期二解决方案的形式，所有的 。当gt; 1时,平衡是双曲线。
(1.1)的研究在[1,2]中被提出为一个待解决的问题。在本文中,我们表明,当0 lt;lt; 1,间隔(gamma;1)是一个不变的区间(1.1),(1.1)的每一个解决方案落入这个区间xmacr;收敛于积极的平衡。此外,我们将展示,当= 1,每一个正解对于(1.1)由1/2从下面最终有界收敛于一个(不一定是)时期二的解决方案。最后,当gt; 1,我们将证明(1.1)具有无限的解决方案。我们也对(1.1)提出了一些开放的问题。
我们说一个差分方程的解是有界的，并且当存在正常数和正常数时它是存在的，如下
其中（1.2）
- 条件为 lt; 1时
在数学上，递推关系，也就是差分方程，是一种递推地定义一个序列的方程式：序列的每一项目是定义为前一项的函数。某些简单定义的递推关系式可能会表现出非常复杂的（混沌的）性质，他们属于数学中的非线性分析领域。
所谓解一个递推关系式，也就是求其解析解，即关于n的非递归函数。
在本节中，我们找到了(1.1)的解收敛到正平衡xmacr;的条件。
定理2.1 假设0 lt;lt; 1和是一个解的(1.1)存在这样,和。然后。（2.1）
证明：如果存在且这样,和，然后
（2.2）
通过归纳法，我们可以得到
（2.3）
现在，我们让
(2.4)
然后，以及这种情况下存在关于（1.1）的两个解和,。
当,和对于所有的。然后
,（2.5）
所以，也有
,（2.6）
这意味着和，如果或者，则
（2.7）
和的条件下这是一个矛盾。因此，和。同理，和
因此有
，（2.8）
这意味着。同样的,我们可以表明我和我们有
，（2.9）
这意味着 .因此,自0 lt;lt; 1,以及证明是完全系列。
我们以下面的开放问题结束本节。
事实上，通过前一项得出后一项，计算到何时才能呈现结果呢? 直观的想象是它们都与数列的周期性有关，在试着计算前面的几项就可以发现它们的周期，结果自然产生，而且是填空题，对于结论的正确性我们可以继续研究，但是对于填空题，能得出正确结果就是数学能力和核心素养的体现，在此没必要赘述．
开放问题2.2。证明当0 lt;lt; 1,间隔[,1]是全球吸引力,因此显示的积极平衡关于(1.1)是全局渐近稳定的。
3.条件为= 1时
在本节中,我们表明,当= 1,每一个正解关于(1.1)由1/2从下面最终有界收敛于一个(不一定是)时期二的解决方案。
如果= 1,那么(1.1)变成
（3.1）
下面的引理提供了一个重要的恒等式，其证明来自使用(3.1)的简单计算。
引理3.1 令为(1.1)的正解。对于nge;2，
（3.2）
引理3.2 每个(3.1)的非振荡解都单调收敛到正平衡= 1。
证明：设为(3.1)的解，假设存在一个nge;- 2的整数，令
（3.3）
解决方案最终大于或等于= 1的情况是类似的，将被省略。使用(3.1)，我们有
（3.4）
所以解收敛到正平衡= 1。证明是完成了。
引理3.3。让为存在的(3.1)的正解。这样
（3.5）
对于所有nge;1的递归序列，
（3.6）
证明：根据(3.1)和(3.5)，我们有
（3.7）
(3.6)的证明采用归纳法。
在数值分析中首先遇到的问题是如何把微分方程化成相应的差分方程 ，使得差分方程的解能最好地近似表示原来的微分方程的解 ，其次才是进行计算。
要实现微分方程的离散化，可以把x的区间分割为许多小区间
引理3.4。设为(3.1)的正振荡解，有界且存在。然后
,（3.8）
在(2.4)。证明：存在的子序列，即, k = - 2,- 1,0,1，这样
（3.9）
此外,
，（3.10）
尽管和
.（3.11）
由此可见,
，（3.12）
从(3.1)中，我们有
（3.13）
所以
（3.14）
另一方面，存在子序列, k = - 2,- 1,0,1, 2，这样的子序列
(3.15)
对于所有，
， (3.16)
也有
(3.17)
因此,
， (3.18)
构造特征函数，利用特征函数的区间单调性和凹凸性，通过函数图形构成的几何图形面积对比，构建并证明了指数数列不等式、等差数列不等式和交错数列不等式的一般形式。
如果和，则根据(3.2)我们有，这是一个矛盾。
如果和，则由(3.1)得到
(3.19)
如果，则使用(3.1),我们有
(3.20)
因此，
(3.21)
为了证明，为了矛盾起见，假设。然后，因为，我们有
(3.22)
因此，这是一个矛盾。所以是。显然。证明是完整的。
定理3.5。设为(3.1)的正振荡解，其存在，使得。然后存在这样的，比如
(3.23)
所以解是有界的并且是持久的。证明。假设存在,例如
（3.24）
然后存在这样的，比如
(3.25)
我们将证明。然后归纳证明从(3.1)，我们有
。(3.26)
如将上式中的确定性函数代之以统计特性已知的随机序列，于是便得到线性随机差分方程。在时间序列分析中并不讨论这样广泛的模型，只涉及一种特殊的线性随机差分方程：
例题1 ，然后
(3.27)
例题2 1,。鉴于(3.2)，我们有
(3.28)
例题3 , ，从(3.1)，我们有
(3.29)
引理3.6。设为存在(3.1)的正振荡解使得。令(2.4)令是的子序列，令
(3.30)
然后
,.(3.31)
2 lminus;1
证明。令为的任意累加点。在时，还存在一个子元，这样
(3.32)
此外,
(3.33)
假设，对于所有的，
，（3.34）
那么，从(3.1)，我们有
,(3.35)
这意味着,，另一方面，如果，不失一般性，我们假设对于所有的
，(3.36)
我们考虑以下两种情况。
例题1，然后
. (3.37)
所以，这意味着和。
例2 。根据(3.2)，如果，则有，这是一个矛盾，因此。由(3.1)可得
.(3.38)
这意味着，除此之外
.(3.39)
所以和，证明就完成了。
引理3.7。设为存在(3.1)的正振荡解,所以
. (3.40)
令(2.4)，令为的任意累加点。然后
. (3.41)
证明:为了反驳，假设
.(3.42)
然后存在一个子序列
， (3.43)
假设，根据引理3.6，我们有
，.(3.44)
所以，这是一个矛盾。因此。存在这样
. (3.45)
一个整数
.(3.46)
就像定理3.5的证明一样，我们有
. (3.47)
这意味着，这是一个矛盾,证明是完整的。
定理3.8。设为存在(3.1)的正振荡解
使得,然后
， .(3.48)
存在是有限的。
证明：根据定理3.5，解是上下有界的。让(2.4)。如果，则(3.1)的解是收敛的，无需证明。令，则，此外，利用引理3.7，存在一个子序列，使得
，,(3.49)
因此，存在这样的,有
,(3.50)
由(3.1)和引理3.3，我们得到
(3.51)
令，为子序列的任意累积点，然后。根据引理3.7，我们有和。定理3.8的证明是完整的。
我们以下面的开放问题结束本节。
1. 方法的多解和选择
从多个方面对题目进行讲解并尽量给出多种解法能使学生有更多的解题选择，能使学生对相关的知识点、思想方法进行回顾和深化并获得最优的体验.
2. 方法的总结和优化
对多种方法的总结和优化能 令学生学会总结与归纳并获得解题的通性通法，不仅如此，学生在真正解题时还会因此能够进行方法的合理选择，少走弯路。
3.9开放问题。证明或证明(3.1)的无界解的存在性。
4. (1.1)无界解的存在性
在本节中,我们表明,如果gt; 1,那么(1.1)的解决方案。
定理4.1。假设gt; 1,让关于(1.1)的解与初始为对象
.(4.1)
然后
.(4.2)
证明。从(1.1)开始，我们有
.（4,3）
鉴于(4.1)，表达式
.（4.4）
在和中减小。因此
.（4.5）
此外，鉴于(4.1)，我们有
.（4.6）
因此
.（4.7）
所以
.（4.8）
归纳起来，对于
.（4.9）
因此
.(4.10)
证明是完整的。
我们以下面的开放问
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