本科毕业设计（论文）
外文翻译
不等式
——解决问题的方法
作者：B .J. Venkatachala
国籍：印度
出处：印度斯坦书籍出版社
中文译文：
第一章
一些基本的不等式
1.1介绍
我们都知道一个事实，实数一个十分重要的性质是可比性，我们可以通过比较两个实数，说其中一个比另外一个更小或者是更大。在实数系上有一个固定的顺序，“”，可以帮助我们比较两个实数的大小。在上的这个顺序的基本性质如下：
给出任何的两个实数和，有且仅有下列三个关系中的其中的一个是正确的：
（1）或者是或者是；（三分法）。
（2），可以推出；
（3），可以推出。
我们得到的任何新的不等式都完全依赖于这几个基本性质。这些性质可以用于导出算术平均几何不等式、柯西-施瓦茨不等式、切比雪夫不等式、排序不等式、赫尔德不等式和闵可夫斯基不等式，同时也在关于凸函数和凹函数研究中有所应用。以下有几个关于这些在上顺序的基础性质的简单推论：
（1），那么，可以取任意的实数；
（2），有；如果，那么我们可以得到；
（3）可以推出；
（4），，那么；，，那么推出；
（5），两个都成立可以推得（传递性）；
（6）如果，我们可以得到；
（7）推出；如果，我们可以得到
（8）对于任意实数，；
（9）如果，都是正数，且，我们可以得到。
这里我们需要注意的是，不等式的减法通常是不允许的。假设，，我们不能保证或者。理由是十分明显的：推出。同样的，我们不能用一个不等式去除以另外一个。假设，，，，，都不等于0，那么既没有也没有。这个原因也是十分明了的：推出（，均不为0）。另一方面，我们可以加上任何两个不等式。如果这两个不等式中的每一项都是正数，我们也可以将它们相乘：如果，，，都是正数，且，成立，那么也成立。
对于任意实数，我们将它的绝对值定义为
。
需要注意的是，当且仅当时成立。绝对值的函数关系有着一些十分重要的性质：
（1）;；；for。
（2）当且仅当，具有相同的符号时，取到等号。这就是我们所熟悉的三角不等式。
（3）。
另一方面，在复数系上没有有用的排序；在复数系上，没有像上那样自然存在的排序（如果你想获得某些东西，那么你必须付出一些东西，这是固有的普遍原则。）但是，我们可以使用复数的模来表示实数系。对于任意的复数，我们可以写出它的共轭复数以及它的模。需要注意的是，要验证以下关于的性质是十分容易的
（1）；当且仅当时成立；
（2）；
（3），当且仅当两数都是正实数或者是,两数其中的一个为0时取到等号。
1.2算术平均值-几何平均不等式
实数系中的基础的不等式适用于任何实数。这是至关重要的，因此实数的任何其他不等式都是基于这种情况得出来的结果。考虑任何两个非负实数a和b。
然后我们知道和作为实数是有意义的。 由于实数的平方总是非负的，即。 这可以写成以下形式
|
。 |
（1.1） |
实数称为和的算术平均值；类似地，被称为和的几何平均值。 因此，对于实数的性质意味着两个非负实数的算术平均值不能小于它们的几何平均值。
此外，推导还表明（1.1）中的等式当且仅当时成立。
这可以在一般情况中进行考虑。从个非负实数开始，我们通过下面这种形式来定义它们的算术平均值和几何平均值
，
。
在两个数字的比较中，这两个方法之间的比较导致AM-GM不等式。
定理1.给定任何个非负实数，它们满足不等式
|
。 |
（1.2） |
当且仅当时，取到等号。
证明：这个经典定理有几个比较著名的证明。我们在这里给出了一个巧妙的归纳证明，这个归纳法来自于柯西。它还说明了如何在归纳法证明中忽略某些数字的归纳有效性，然后使用插值参数证明缺失数的有效性。
我们已经获得了这样的结果：当，
|
。 |
（1.3） |
在这里，当且仅当时，等式成立。接着考虑4个非负实数,,,。 将它们分成两组，和。 我们得到了每组的已知不等式
,。
可以推出
。
因此，对于n= 4，我们可以得到不等式（1.2）。再次可以观察到，当且仅当，和时，取到等号。 由于所有数字都是非负数，因此可以推出这一点。现在我们可以用这个来证明（1.2）n = 8。现在归纳表明（1.2）适用于所有，。 在这里，取到等号的条件是所有数字都相等。
现在考虑任何n个非负实数。我们选择一个自然数k使得有。给出
，
然后我们考虑一组一共有个的数字; 在这里的A一共出现次。 我们对这组个数字应用AM-GM不等式，我们已经确定了这种集合的有效性。我们因此得到
。
这个式子可以化简为
。
再经过一个简单的操作，现在，就产生了，这就相当于不等式（1.2）。
同时，我们还观察到，当且仅当所有数字相等时，等式会才成立。
设为为n个正实数，它们的乘积为
例1.1.证明
。
解决方案：使用不等式，且，我们可以得到如下等式
。
例1.2.对于任意的自然数ngt;1，不等式
，
都成立。
解决方案：我们将分为两个部分
。
使用AM-GM不等式，我们可以得到
，
以及有
。
正如我们预期一样。
例1.3.如果a，b，c是三角形的三条边，证明如下式子
|
。 |
（1.4） |
解决方案：上述不等式的第一部分相当于
。
如果我们引入a b = x，b c = y和c a = z，则式子可以化简为
，
这是由AM-GM不等式得到的结果。（我们观察发现，我们在这里需要的是a，b，c充分假设的为正数，即a，b，c是三角形的边在这个部分是不需要的。）
假设c是a，b，c中最大的一个数。 通过对称性，我们可以假设。在这种情况下
，
因为c lt;a b受三角不等式的影响。
如果是n个正实数，我们可以定义他们的调和平均值为
因此，n个正实数的调和平均值等于给定数字的倒数的算术平均数的倒数。因此
它可以推出
因此我们有，对于n个正实数的不等式
或简称为AMGMHM。 这通常被称为AM-GM-HM不等式。当且仅当所有数都相等时，取到等号。
例1.4.对于任何四个正实数,,,，证明不等式
。
解决方案：在不等式的两边都加上
，
那么原不等式就可以写成如下的形式
。
然而，通过运用AM-HM不等式，我们可以知道
,
。
因此，所要求证的不等式就得证。
例1.5.设a，b，c为三角形的三条边，并且有
，
其中s是三角形的半周长。证明三角形是等边三角形。
解决方案：观察到如下关系
。
这里使用了AM-HM不等式。因此，在AM-HM不等式中取到等号，因此a=b=c。
例1.6.假设a，b，c是正实数。证明不等式
|
。 |
（1.5） |
解决方案：引入新的变量
, , ，
所以有x y z = 1.现在不等式（1.5）相当于
|
。 |
（1.6） |
这可以使用x y z = 1重写成以下形式的不等式：
|
， |
（1.7） |
即
|
。 |
（1.8） |
因此这个不等式足以证明
。
由于x y z = 1，因此它符合AM-GM不等式。
现在让我们看看如何进一步推广AM-GM不等式。考虑n个非负实数，和n正整数。形成一组数，其中每个恰好出现次数，该组数包含非负实数。
算术和这些数字的几何平均值分别是
，。
现在根据AM-GM不等式我们有
。
假设我们有正有理数。 然后我们可以将它们全部都化成一个公分母：
,，
其中m和,是自然数。不难看出这一点
。
而且，我们有
。
于是，得到的结果为
。
可以使用连续性参数进一步扩展这个不等式。 如果是正实数并且是非负实数，那么有
|
。 |
（1.9） |
这就是我们所谓的广义算术平均或加权算术平均-几何平均不等式。经过明显的修正，这个可以进一步推广到加权算术平均-几何平均-调和平均不等式。
例1.7.设a ，b ，c是正实数。证明
。
解决方案:将权重a、b、c分别赋给数字a、b、c，那么就可以使用加权GM-HM不等式。这将推出
，
即能够给出所要求证的不等式。
例1.8.设和为两个非负实数序列，对于每个k，，且不等式成立。证明
|
。 |
（1.10） |
解决方案:我们可以假设，对于所有其他情况，删除那些等于0的特殊。这并不影响不等式。考虑集合
，
每个都和相乘。加权算术平均为
加权几何平均是
。
因为，，且，我们有
，
。因为
，
我们可以得出结论
。
由AM-GM加权不等式可知
。
替换方法：
令，。我们必须要证明
。
如果，那么对于所有的k来说，有
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Inequalities
An Approach Through Problems
作者：B .J. Venkatachala
国籍：India
出处：Hindustan Book Agency
原文：
Chapter 1
Some basic inequalities
-
- Introduction
As we all know, one of the important properties of real numbers is comparability. We can compare two distinct real numbers and say that one is smaller or larger than the other. There is an inherent ordering on the real number system which helps us to compare two real numbers. The basic properties of this ordering on are:
- Given any two real numbers and , one and only one of the following three relations is true:
or or ; (law of trichotomy).
- and imply;
- and imply.
Any new inequality we derive is totally dependent on these basic properties. These properties are used to derive the arithmetic mean-geometric inequality, the Cauchy-Schwarz inequality, Chebyshevs inequality, the rearrangement inequality, Houml;lders and Minkowskis inequalities, and are also used in the study of convex and concave functions. Here are some easy consequences of these fundamental properties of ordering on :
- ,then, for any real;
- and give ; if, we have
- implies
- and , then; and imply ;
- and together imply (transitivity);
- if and , we have
- implies ;if , we have
- for any real,;
- if and are positive and , we have .
We emphasise here that the subtraction of inequalities is generally not allowed. If and we cannot guarantee either or. The reason is obvious: implies. Similarly, we cannot divide an inequality by another one. If ,,none of，，，equal 0, neither is true nor is.Again the reason is simple: gives (，not equal to 0). On the other hand, we may add any two inequalities. If all the terms in two inequalities are positive, we may also multiply them : if ，，， are positive and , holds, the inequality also holds.
For any real number, we define its absolute value by
.
Note thatandif and only if.The absolute value function has some nice properties:
- ; ; ; for .
- and equality holds if and only if and have the same sign. This is known as the triangle inequality.
- .
On the other hand, there is no useful ordering on the complex number system ; there is no natural ordering on as enjoyed by (This is the inherent universal principle that you have to pay some thing if you want to get some thing.) However, we can come down to the real number system using the absolute value of a complex number. For any complex number , we associate its complex conjugate by and absolute value by . Note that . It is easy to check the following properties of :
- ;and if and only if ;
- ;
- and equality holds if and only if for some positive real number, or one of, is zero.
1.2 Arithmetic mean-Geometric mean inequality
The basic inequality in the real number system is for any real number . This is so fundamental that any other inequality for real numbers is a consequence of this. Consider any two non-negative real numbers a and b.
Then we know that and are meaningful as real numbers. Since the square of a real number is always non-negative, . This may be rewritten in the form
|
. |
（1.1） |
The real number is called the arithmetic mean of and ; similarly is known as the geometric mean of and . Thus the property that for a real number implies that the arithmetic mean of two non-negative real numbers cannot be smaller than their geometric mean. Moreover, the derivation also shows that equality in (1.1) holds if and only if .
This may be considered in a general setting. Starting with non-negative real numbers , we define their arithmetic mean and geometric mean by
rsquo;
.
As in the ease of two numbers, a comparison between these two means leads to the AM-GM inequality.
Theorem 1. Given any non negative real numbers , they satisfy the inequality
|
. |
（1.2） |
Equality holds in the inequality if and only if.
Proof: There are several proofs of this classical theorem. We give here a clever induction proof which was originated by Cauchy. It also illustrates how one can go ahead in an induction proof leaving out the validity of induction for some numbers and subsequently prove the validity for missing numbers using an interpolation argument.
We have already obtained the result for;
|
. |
（1.3） |
Here equality holds if and only if . Consider 4 non-negative real numbers,,,. Divide them in to two groups; and . Applying the known inequality for each group, we obtain
,.
This leads to
.
Thus the inequality (1.2) is obtained for n= 4. It may again be observed that equality holds here if and only if ,and . Since all numbers are non-negative, it follows that. Now this can be used to prove (1.2) for n =8. Now induction shows that (1.2) holds for for all . Here again the condition for equality is that all the numbers be equal.
Now consider any n non-negative real numbers . We choose a natural number k such that . Put
,
and consider the set of numbers; here A appearstimes. We apply the AM-GM inequality for thesenumbers; its validity has already been ascertained for such a collection. We thus obtain
.
This reduces to
.
A simple manipulation now yields which is equivalent to the inequality (1.2).
We also observe that equality holds if and only if all the numbers are equal.
Example 1.1. Let, be n positive real numbers whose product is
Prove that
.
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