本科毕业设计（论文）
外文翻译
中学形成的数列概念
作者：M. PRZENIOSLO
国籍：Poland
出处：International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, Vol. 37, No. 7, 15 October 2006, 805–823
本文是基于中学生和即将开始大学数学学习的学生的研究。研究的基本目的是调查学生对数列概念的理解，并确定揭示概念形成的来源。为实现目标，选定一组简单但不太标准的数学情况进行拓展研究，并使用了各种其他研究工具。学生的概念分为两组。在第一组中，数列被认为是一个函数，在第二组中，它与有序元素相关联。后一组概念的多样性特别有趣。学生们理解“有序”一词是指数列项，某种规律性或和谐性之间的某种关系。本文还讨论了纠正揭示的概念和在学校中引入数列概念的一些方法。
1. 简介
在翻阅文献时，只能找到几篇讨论对数列概念理解的论文。西尔平斯卡提出了中学中形成的一些概念[1]。她写道，无限数列可以被视为接近某物，并且补充说，对于某些人来说，数列必须是无限的，例如，可以被视为“一个很长的数字列表”。她还提出了用一系列项识别数列的概念，并将其与数字形成公式相关联，并相信只有数字才是项。马莫纳[2]和麦克唐纳[3]等人也讨论了理解无限数列概念的问题。他们表明，中学生和大学生最常将数列理解为一个过程-数字列表而不是对象-函数，其域是自然数集。其他一些论文中也提出了上述问题，其中在考虑其他概念（例如函数[4-7]或数列的极限[8-15]）的同时，讨论了感知数列概念的各个方面。
本文旨在介绍我们对有限和无限数列的理解的研究结果。对中学生和即将开始大学数学学习的学生进行研究的目的是调查学生对数列的概念。重要的是要确定所揭示的概念在多大程度上与数列概念的含义及其效率相对应（如果应用该概念的学生可以正确解决问题，则认为该概念为“有效”）。确定特定概念形成的可能来源以及建立对它们与其他数学概念（尤其是函数概念）的联系的认识也很重要。此外，研究的目的是确定中学形成的观点是否不妨碍对这一概念的理解。对中学和大一学生的研究也旨在帮助对大学生进行进一步的调查。目的是确定在学术演算课程中正在形成什么概念，并确定这些观点的来源。组织并进行研究是为了应对另一种分配，即纠正和发展对数列概念的理解。该研究的目的还在于找到一种有效的方法来引入数列的概念。
为了实现目标，使用了各种研究手段（对笔试，访谈和小组讨论进行分析）。还使用了学生的课堂笔记及其在数学中的分数，以及与老师的非正式对话，描述了学生熟悉的数列概念的定义以及老师对学生的数学天赋的看法。
2. 参与者
这项研究于1999-2003年在基尔采，克拉科夫和华沙（波兰）的中学和基尔采教育大学进行的。它包括446名中学生和156名开始数学大学学习的学生。中学有不同的“声誉”，这些排名也被考虑在内。这些16-19岁的中学生来自第二、三、四形式不同的教学模式。
选择研究样本是为了让大约一半的学生具有数学天赋（308人）。参与者的选择取决于学生在数学上的成就以及老师对学生的数学才能的非正式评估。此外，对于数学资优的中学，还选择了来自声誉卓著的学校的学生，他们参加了两种教学模式（数学-物理和数学-计算机科学）的课程。该选择并非旨在获得所有中学生的代表性样本（在这种情况下，有天赋的学生的百分比会小得多）。目的是研究数学天才学生和天才学生如何看待数列的概念。
关于学生如何熟悉中学的数列概念的信息也被认为是重要的。以第二种形式介绍了该概念，但是很难准确地确定学生如何实际学习该概念。为了处理这种情况，我们使用了与老师的对话以及对一些学生仍然使用的笔记的分析。结论是所有学生都将数列定义为一个函数，其域是一组自然数或由连续的初始数组成的子集。
3. 方法
为了达到既定目标，使用了一系列与顺序相关的各种数学情况，对笔试、访谈和学生讨论小组进行了分析。在考试期间、访谈之前以及访谈（一对一对话）和小组讨论中，给学生提供了思考和书面解决的问题。记录访谈和讨论目的是为了进行分析。
在本文中，“访谈”和“一对一对话”这两个词可以互换使用。考虑到在教学和心理学研究中使用的方法论或教学数学，研究的这一部分具有访谈和对话的特征。这是一个半结构化的采访，不是按照既定程序进行的，而是以开放的方式进行的。但是，由于它是基于某些原则的，因此它并不是完全自由的对话。没有给被采访的学生任何建议，也没有给出答案。取而代之的是，提出了非常详细的问题，目的是揭示他（她）对数列的概念，并了解其形成的根源，或者在最后阶段-纠正和发展理解力。但是，询问学生的问题是对话产生的，并且是在课程过程中提出的。在交谈过程中，提出类似答案的人们被问到相同类型的问题。为了能够比较和分析他们的思维方式，这是必要的。
课堂上的讨论是研究最后阶段的要素-纠正和发展对数列概念的理解。它们基于笔试和访谈中解决的问题。
4. 研究中使用的问题
使用了一组扩展的选定数学情况。问题很简单，但其中包含一些非常规部分。它们使人们可以在具体的数学情况下检验对数列概念的理解，同时可以得出更一般的结论。
选择了次要问题以便参考与数列有关的各种情况。他们提到了描述数列的不同方式。这些是通常用于表示数列的符号类型-公式（包括循环的），列出项，以及与函数关联大于数列的项，例如一组有序对和一个图形，最后是通常相关的仅包含函数，即两个项的公式、箭头图和表格。包括所有这些类型的注释，以便确定数列在何种程度上被视为函数。使用函数的典型名称表明这两个概念之间存在关联。这种方法似乎是合理的，因为最初的研究和文献证明，很少有学生将数列与函数相关联。选择次要问题还可以准确确定与排序有关的概念。因此，使用了许多情况，往往彼此之间仅略有不同。
上述情况包括以下问题：
问题1：在哪里可以识别数列？解释你的答案。
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
(p)
(q)
(r)
问题 2：图1-10中哪一个表示数列？解释你的答案。
应当补充的是，在波兰，通常使用不带括号的符号来表示数列，这些数列通过写下项来描述。例如，用符号代替。
5. 结果
通过对笔试和访谈中答案和解释的分析，可以确定学生对数列的看法。概念分为两组。在第一组中，数列被认为是一个函数，在第二组中，数列与有序元素相关。在每个组中，概念都分为几类。附录A中列出了列出概念和学生人数的表格。选择类别的名称以反映学生所揭示的概念的本质。对类别特定特征的描述表明学生遵循的推理及其假定的来源。在第一节中，描述了基于感知数列作为函数的概念，在第二节中，讨论了与排序有关的概念。
5.1. 基于感知数列作为函数的概念
只有12％的学生认为数列是函数（此外，所有这些学生在数学上都是有天赋的）。这是令人惊讶的，因为数列的概念是在学生获得函数概念之后引入的。对函数概念的研究表明，大多数接受检查的人都知道函数的定义。因此，根据特定域定义数列应该很容易。显然，事实并非如此，因为学生正在寻找其他更简单的关联以使数列的概念更加熟悉。这可能是因为他们没有发现定义。它是作为外部事物获得的，因此被遗忘了。而且，之后考虑的问题通常不需要参考定义。
缺乏对数列定义的理解也可能受到该概念“自主性”的感觉的影响。这种观点很可能是由名称和事实引起的，该事实是指用于数列的项与用于函数的项不同（例如，函数-参数、值；数列-指数、项）。这两个概念的符号也不同（例如和），描述也不同（函数-表格、箭头图、图形、成对集合；数列-写下项）。这些概念也放置在课程的不同部分。此外，单词数列的口语含义可能会影响“自主性”的感觉。如果出现这种感觉，则可能导致寻找单独的定义。
根据将数列作为函数进行感知的学生概念分为以下小节中描述的类别。
5.1.1. 定义已知且有效。不到一半的将数列视为函数的学生知道并有效地使用了概念的定义。他们在数学上都是有天赋的。在整个数学天赋中，有24％的学生认为数列是函数，而11％的学生知道并有效地使用了定义。值得补充的是，就最好的第二形式中学而言，有41％的学生知道该定义，但只有13％的学生认为该定义有效。至于最好的第三和第四形式的学生，有27％的人认为数列是函数，但有14％的定义有效。
有趣的是，数列的定义是众所周知的，并且几乎完全由“逻辑学家-理论家”的学生有效地应用。也就是说，那些以抽象的方式分析数据，将它们视为一个整体，理性评估，以及扣除是一个基本的认知工具（例如，参见处理智力心理类型的心理作品[16–18]）。通常，这些学生了解数学理论假设的重要性和定义的作用。对他们来说，自然而然地凭直觉就知道定义使该概念有意义。当被要求解释定义的时候，学生们是逻辑学家-理论家，他们认为数列是一个函数，例如：“一切，因为没有定义就不会存在这个概念”。有时，他们甚至被惊讶地问到如此明显的事情。因此，解释非常清楚和准确，例如：“很明显，这就是为什么难以解释（思考一段时间）的原因。也许我是这样解释的，在数学上有点不对，大象是大象[笑]，因为我们将名称与具有某些品质的动物相关联，而数列是数列，因为我们将其定义为函数，它的域是初始自然数的一个整体或子集。没有定义，就不会有大象，也不会有数列[笑]，也就是说，大象会存在，但它们会被称为例如马。我的意思是，如果没有定义，lsquo;大象rsquo;一词和lsquo;数列rsquo;一词的含义和什么都没有一样。当我思考一个数列时，我必须知道它的含义，因为否则要解决一个问题，我可以使用的不是数列，而是完全不同的东西。我必须知道我该指的是什么，定义只是参考点。”
5.1.2. 定义已知，但很难有效。一部分受测学生只能将定义应用于通过写下其值并将其显示在图表上而描述的数列。尽管最后两个提到的情况表示非常简单的数列，但他们不接受通过成对的集合、两个项的公式以及经常通过箭头图或表格来表示数列的概念。例如，参考问题1的(g)部分，他们给出了以下解释：“我们有一个数列，因为对每个自然数：只分配了一个实数”。但是观察箭头图（图9），他们回答说，“使用这样的图，我们不能代表一个数列”。应该补充的是，已知定义但效率不高的案例几乎完全是指中学的第二种形式。可能，第三和第四形式的学生倾向于忘记第二形式学习的定义，如果它是从外部获得的。而且，这些人中大多数人的定义是已知的，但很难有效地在潜意识中将数列与排序相关联。他们经常谈论：“无序数列”，例如参考问题1的(f)部分。
5.1.3. 基于“数列必须是无限的”这一观点的概念。 对于4％的有天赋的学生，数列必须是无限的。这可能是由于普遍采用的陈述的结果，即“数列是一个函数，其域是一组自然数”。有时，在中学和大学数学系学生的教科书中，上述形式已定义了一个顺序，特别是在有关极限的部分[例如19，第39页;20，第24页]。仅提到了有限数列。这种观点也可能是由于主要考虑无限数列（例如，为了确定极限）引起的。值得补充的是，这组学生考虑了3-9的数字。他们假设图中仅显示了无限数列图的片段，未标记的项与给定的项具有相同的属性。
5.1.4. 基于“数列域是的任意子集”这一观点的概念。 揭示了将数列与函数相关联的另一种类型。也就是说，人们坚信“数列是一个函数，其域是一组自然数的适当或不正确的子集”。学生们忽略了一个事实，即域只是由连续的初始自然数组成的子集，从而扩大了概念的范围。他们接受了问题1中的(m)和问题2中的图7。将该图视为数列图可能是处理无限子数列的结果，事实上，这些子数列是无限项数列，其项具有被重新编号。他们可能没有将数列与顺序相关联，也没有看到该对的第一个元素确定项的连续性。当面对项时，他们通常会意识到这一点。应该提到的是，在一群将数列视为函数的学生中，没有人不知道数列的域必须仅由自然数组成。
5.2. 与排序有关的概念
此处分析了所有概念的所有学生都将数列定义为“有序数字”、“有序元素”、“有序数字集”或“某些元素的有序集合”。教微积分的每个人可能经常会遇到这些陈述，并且不认为这些直观的关联中存在异常。当问到学生“有序”一词在数列中的含义是什么时，这种观点肯定会改变。在这项研究中，与排序相关的学生
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Conceptions of a sequence formed in secondary schools
M. PRZENIOSLO*
Akademia Swietokrzyska in Kielce, Poland
(Received 6 July 2005)
The paper is based on research carried out on secondary school students and students commencing their university studies in mathematics. The basic purpose of the research was to investigate the understanding of the concept of a sequence and to determine the sources of the formation of revealed conceptions. To achieve the objectives an expanded set of selected mathematical situations – simple but not quite standard – were investigated and various other research instruments were used. The studentsrsquo; conceptions were divided into two groups. In the first group a sequence was perceived as a function, in the second it was associated with ordered elements. The diversity of the last set of conceptions was particularly interesting. The students understood the word lsquo;orderedrsquo; as some kind of relationship between the terms of a sequence, a certain regularity or harmony. In the paper some ways of correcting the conceptions revealed and introducing the concept of a sequence in schools were also discussed.
1. Introduction
In searching through the literature only a few papers discussing the understanding of the concept of a sequence can be found. Some conceptions formed in secondary schools were presented by Sierpinska [1]. She wrote, among others, that an infinite sequence can be perceived as approaching something, and added that for some persons a sequence must be infinite and, for example, can be perceived as lsquo;a very long list of numbersrsquo;. She also presented conceptions identifying the sequence with a set of its terms, associating it with the formula for numbers formation and with the belief that only numbers can be the terms. The problem of understanding the concept of infinite sequence was also discussed by Mamona [2] and McDonald et al. [3]. They showed that secondary school and college students most often understood sequences as a process – a list of numbers rather than as an object – a function whose domain was the set of natural numbers. Some of the aforesaid problems were also presented in other papers in which aspects of perceiving the concept of a sequence were discussed while considering other notions, such as function [4–7] or the limit of a sequence [8–15].
The aim in this paper is to present the results of our research on understanding finite and infinite sequences. The purpose of the research on secondary school students and those commencing their university studies in mathematics was to investigate studentsrsquo; conceptions of a sequence. It was important to determine to what degree the conceptions revealed correspond with the meaning of the concept of a sequence and their efficiency (the conception was perceived as lsquo;efficientrsquo; if a student applying it can solve problems correctly). It was also important to determine the possible sources of the formation of particular conceptions, as well as to establish the awareness of their links to other mathematical concepts, particularly the concept of a function. In addition, the purpose of the research was to determine whether the convictions formed in secondary schools do not block understanding of the concept. The research on secondary schools and first-year university students was also intended to help the conduct of a further investigation on university students. The aim was to establish what conceptions were being formed during an academic calculus course and to determine the sources of these convictions. The research was organized and conducted so as to cope with one more task, that is correcting and developing the understanding of the concept of a sequence. The purpose of the research was also to work out an efficient way of introducing the concept of a sequence.
To achieve the objectives various research instruments were used (an analysis of written tests, interview and discussions in groups of students). Studentsrsquo; class notes and their marks in mathematics, as well as informal conversations with teachers, were also used, describing the definition of the concept of a sequence the students were acquainted with and teachersrsquo; opinions about studentsrsquo; gift for mathematics.
2. Participants
The research was conducted at secondary schools in Kielce, Kracow and Warsaw (Poland) and at the Pedagogical University of Kielce in the years 1999–2003. It involved 446 secondary school students and 156 students commencing university studies in mathematics. The secondary schools had different lsquo;reputationsrsquo;, and these rankings were taken into account. Secondary school students were from second, third and fourth forms of different teaching profiles. They were 16–19 years old.
The research sample was chosen so that about half of the students were mathematically gifted (308 persons). The choice of participants was based on studentsrsquo; achievements in mathematics and teachersrsquo; informal evaluation of studentsrsquo; gift for mathematics. Moreover, in the case of mathematically gifted and secondary schools, students from highly reputable schools who attended classes of two teaching profiles (mathematics – physics and mathematics – computer science) were chosen. The choice was not intended to obtain a representative sample of all secondary school students (in such a case the percentage of gifted students would be much smaller). The aim was to investigate how the concept of a sequence was perceived by mathematically gifted students and those less gifted.
Information on how the students became acquainted with the concept of a sequence in secondary school was also considered significant. The concept was introduced in the second form but it was difficult to establish precisely how the students actually learnt the concept. To handle this situation, conversations with teachers as well as analysis of th
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