本科毕业设计（论文）
外文翻译
解析几何与微积分
作者：Lawrence Wahlstrom
Herbert Federer
Bjarni Jonsson
国籍：美国
出处：The American Mathematical Monthly
中文译文：
现代数学几乎完全是代数的：我们对方程式和代数规则的信任远胜于图片。例如，我们认为表达式源自代数定律（轴）。
(“正方形”的定义)
(分配法)
(再分配两次)
(可交换性)
在大多数数学历史上，该结果将纯粹是几何的，的确是《欧几里得的元素第二书》的命题4：
两个部分上的正方形等于每个部分上的正方形加上两个部分上的矩形的两倍。
证明是几何的：凝视这张图片应该清楚。
代数和代数符号在文艺复兴时期的欧洲逐渐被慢慢采用。虽然注意到了代数在有效计算中的效用，但最初认为以这种方式证明陈述是不可接受的。任何代数计算都必须通过几何证明来证明。从我们的现代观点来看，这似乎是完全倒退的：如果现在要求学生证明欧几里得的命题，那么在使用页面顶部的代数公式之前，他们可能会标记“部分” 和 ！当然，代数证明中的每条线都有几何基础。
bull;分布性表示一侧和两个部分的矩形分别等于一侧和每个部分的矩形之和。
bull;可交换性表示，如果旋转90°，则矩形具有相同的面积。
关键是我们已经将几何规则转换为代数规则，并在很大程度上忘记了几何起源：一个现代的学生可能永远不会考虑像可交换性这样的基本事物的几何基础。从几何到代数的缓慢运动是数学史上的重大革命之一：它彻底改变了数学家的思维方式。实际上，到代数的转换允许简单的概括：如何在几何上证明一种表达式，例如
?
欧几里得几何通常被称为合成：它基于纯粹的几何公理，没有公式或坐标。解析几何的革命是使用轴和坐标将代数和几何结合起来。现代几何学主要是解析性的，或者在高级层次上，使用代数（例如群论）进行描述。 很难找到从事合成几何学的现代数学家。代数在几何学上的全部胜利！ 笛卡尔和费马几乎几乎同时迈出了这场革命的关键一步。
皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat，1601-1665年）是历史上最著名的数学家之一，费马在数论，光学，概率，解析几何和早期微积分等几个领域取得了长足的进步。他将数学视为一种非常规的东西：这是他的消遣，而不是他的专业。[1][1][1]费马的名气源于他的谜：他的正式出版很少，而我们对他的作品的大部分了解都来自给朋友的信，而他很少提供证据。的确，他会定期挑战朋友以证明结果，而他是否有证据证明自己，或者只是怀疑是一般性陈述，通常是未知的。在主流之外，他的想法经常被忽略或轻描淡写。他死后，他的笔记和信件中包含许多未经证实的主张。莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler（1707–1783））特别花费大量精力证明了其中的几个。Fermat的解析几何方法与笛卡尔的方法相似，我们将在下面进行描述：他引入了一个单轴，可以将曲线转换为代数方程。当我们讨论微积分的开始时，我们将回到费尔马，当我们看到他如何引入早期的微分概念时。
勒内·笛卡尔（Reneacute;Descartes，1596–1650年），他的哲学和哲学思维敏捷，费马奶酪的特征是粉笔，严谨地写下了一切。他的定义是1637年的《碟中的声音》hellip;hellip;[2][2][2]虽然在哲学上具有极大的影响力，但碟子的目的是为研究数学和科学奠定基础。笛卡尔确实通过评论科学实验的必要性以及由于伽利略被起诉周围的敌对环境而不愿发表来评论了迪斯科。[3][3][3]迪斯科的大量附录包含笛卡尔的科学著作。笛卡尔在其中一种几何形状中引入了轴和坐标。
现在，我们将笛卡尔坐标轴和坐标视为复数。但是，费马和笛卡尔都只使用一个轴。这是他们的方法的粗略想法。
bull;画一条包含两个固定点（原点和位置1）的直线（轴）。
bull;线上的所有点都立即用数字标识。
bull;要描述平面中的曲线，可以绘制一系列与曲线和轴相交的平行线。
bull;然后可以将曲线视为函数，其中是从轴到沿相应线测得的曲线的距离。
bull;尽管笛卡尔和费马都没有第二条轴线，但他们的方法隐含地想象出一条：通过原点，平行于测量线族。因此，说点的坐标[4][4][4]对我们来说是有意义的。
示例：抛物线函数以通常的方式描述标准抛物线，其中测量从轴到曲线的垂直距离。这是抛物线的另一种描述。这次函数是。注意斜率：只有一个轴，笛卡尔和费马就可以使用以任意角度倾斜的平行线测量到曲线的距离。在现代意义上，此示例具有第二条轴线，以绿色绘制，相对于垂直线倾斜。
如果这让您感到紧张，则可以从线性代数执行基础计算的更改：第二张图片中的点具有相对于“通常”的正交笛卡尔轴的坐标；它的坐标是相对于倾斜轴的。不难看出
对于曲线上的任何点，
它恢复了抛物线相对于标准正交轴的隐式方程。[5][5][5]
其他曲线可以类似地描述。笛卡尔对具有隐式方程的曲线感到满意。弗朗斯·范·舒滕（Frans van Schooten）于1649年建立了正交于第一轴的第二轴的标准化使用方法。这立即给了我们现代的坐标概念。
笛卡尔（Descartes）用他的方法解决了一些已经综合证明更加困难的问题，例如发现复杂的交叉路口。 考虑到他的方法的新颖性，他通常会给出所有断言的几何证明，以支持他的代数工作（类似于伊斯兰数学家的工作方式）。 不过，他对自己的发现并不害羞，他说，一旦完成了几个示例，就不必画出物理线并提供几何论证了，代数就是证明。这种观点在当时是有争议的，但是在接下来的几个世纪中，它最终胜出。
作为解析几何能力的一个示例，请考虑以下结果。
定理 三角形的中位数在一个公共点（质心）相交，该点位于每个中位数的三分之一处。
可以使用纯欧几里得几何体来完成，尽管这涉及到一些。解析几何比较容易。
证明 选择以原点为一个顶点的三角形两侧的轴。[6][6][6]如果边长为和，则第三边的等式为或。现在，中点具有坐标：
现在计算沿每个中位数的点：例如
一个获得与其他中位数相同的结果借助他的符号，笛卡尔实现了许多其他数学突破。例如，他能够陈述代数基本定理的关键部分，即因子定理：如果是多项式的根，则是因子。由于他认为这是不言而喻的，因此他没有给出完整的证据，这也许是因为他的记号使使用多项式变得如此容易。完整定理[7][7][7]直到1821年才被证明（由Cauchy提出）。因子定理本质上是多项式除法的一个推论：如果是多项式，则存在唯一的多项式:
如果，则本质上是常数。假设 和 。然后.
微积分的起点
微积分的核心是速度，位移，变化率和面积之间的关系。
bull;粒子的瞬时速度是其位移的变化率。
bull;粒子的位移是其速度-时间图下的净面积。
陈述这些原理本质上需要图和某种形式的解析几何（变化率表示斜率hellip;....）。一旦这些出现在1600年代初期，微积分的迅速发展就不可避免了。 但是，许多基本想法早在笛卡尔和费马之前就已经有了。
在上述情况下，微积分的基本定理直观地指出，位移的完整知识等同于速度的完整知识。当然，现代的说法更令人生畏：
定理 1.如果在上是连续的，则在上是连续的，在上是可微的，和。
2.如果F在上是连续的而在上是连续导数，则。
基本定理的胜利是它的抽象：不再必须用描述粒子在时间的速度，而用描述其位移。教导[8][8][8]和证明基本定理的挑战在于理解连续和可微的含义，以及为什么需要这些概念。寻求对这些概念的好的定义是在17和1800年代的分析故事。我们从对速度和面积问题的一些较早的考虑开始。
1600年以前的速度问题
均匀速度和平均速度的概念很简单：
测量物体在给定时间间隔内的行进距离，然后一分为二。几位古希腊数学家曾考虑过均匀速度甚至均匀加速度，但都没有考虑到可以测量的量。 大约在1200年，布鲁塞尔的杰拉德(Gerard)试图将速度定义为两个不同量（距离：时间）的比值，尽管它本身还没有被认为是数值量。
定义瞬时速度更加困难：在调用极限概念之前，必须在越来越小的时间间隔内测量平均速度。 如果您发现了这一挑战，那么您将在一个好伙伴中：Zeno的箭头悖论本质上是反对瞬时速度这一概念的！即使人们接受这个概念，它的直接测量，即使在现代，也基本上是不可能的。[9][9][9]
牛津/默顿思想家将杰拉德(Gerard)归功于1330年代，因为它们影响了对瞬时速度的研究。 他们提供了以下定义，并首次陈述了“平均速度定理”。两者都含糊不清且在逻辑上令人怀疑，但它们至少是尝试解决这一难题。
定义 粒子在瞬间的瞬时速度将被测量为沿着该路径的均匀速度，如果该速度以该速度继续下去，则该速度将是均匀的。这确实是一个惯性运动的令人费解的想法。
定理 如果一个粒子从静止均匀地加速到一定速度，它将以最终速度在相同间隔内传播一半的距离。
几个世纪以来，人们一直认为伽利略是第一个提出这种想法的人，但牛津大学的组织击败了他250年。他们没有可以证明其主张的代数。
在1350年代，尼古拉斯·奥里斯梅（巴黎）通过（基本上）绘制速度时间图来几何地考虑速度。如我们先前所见，这本质上就是伽利略采用的方法。伽利略的一个主要区别是他将数学与观察结合了起来：伽利略的均匀加速度恰好是坠落物体的运动。
1600年以前的地区问题
之前我们已经看到过两种情况，其中使用类似于演算的方法来描述区域。
bull;阿基米德使用无限多个三角形来计算/近似圆和抛物线内的面积。他的“横截面”发现面积和体积的方法似乎也很现代，尽管这项工作直到1899年仍不为人所知。
bull;开普勒(Kepler）使用无限小的三角形近似椭圆的段，提出了他的第二定律（相等时间相等的面积）。他还将此方法应用于其他几个问题，并把这种方法归功于阿基米德。
黎曼和的现代概念只是使用小矩形近似区域的一种特例：哲学上的挑战再次是极限和非整数的概念。
在黎曼和的早期前提中，奥里斯梅(Oresme)描述了如何计算在一系列间隔上速度恒定的粒子的行进距离。例如：
在时间间隔上，粒子以的速度行进。1秒内可以走多远？奥里斯梅(Oresme)绘制框来计算面积并获得
通过发现两种模式来评估无穷大，类似于阿基米德的做法：
当然，奥里斯梅(Oresme)没有我们的概念，当然也没有我们的（无限依赖）无限系列的概念！ 奥里斯梅(Oresme)还解决了类似的问题，以便在一定间隔内实现均匀加速。这些不是真正的黎曼和，也不是物理的，因为粒子不能突然改变速度！
微积分法和笛卡尔
分析几何学的出现使费马和笛卡尔将瞬时速度的计算和相关的微分问题转化为算法过程。特别是，物体的速度通过位移时间图的斜率来识别，可以使用现代割线方法的变化来计算斜率。我们讨论他们的竞争方法。
Fermat的求和方法例如，绘制了的图，其中的最小值出现在值处。费马特认为，如果位于m附近，使得,，则多项
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本科毕业设计（论文）
外文翻译
Analytic Geometry and Calculus
Modern mathematics is almost entirely algebraic: we trust equations and the rules of algebra more than pictures. For example, we consider that the expression follows from the laws (axioms) of algebra:
(definition of lsquo;squarersquo;)
(distributive law)
(distributive twice more)
(commutativity)
For most of mathematical history, this result would have been purely geometric: indeed it is Proposition 4 of Book II of Euclidrsquo;s Elements:
The square on two parts equals the squares on each part plus twice the rectangle on the parts.
The proof was geometric: staring at the picture should make it clear.
AlgebraandalgebraicnotationwereslowlyslowlyadoptedinRenaissanceEurope. While the utility of algebra for efficient calculation was noted, it was no tinitially considered acceptable to prove statements this way. Any algebraic calculation would have to be justified via a geometric proof. From our modern viewpoint this seems completely backwards: if a student were now asked to prove Euclidrsquo;s proposition, theyrsquo;d likely label the lsquo;partsrsquo; and , before using the algebraic formula at the top of the page! Of course each of the lines in the algebraic proof has a geometric basis.
bull; Distributivity says that the rectangle on a side and two parts equals the sum of the rectangles on the side and each of the parts respectively.
bull; Commutativity says that a rectangle has the same area if rotated .
The point is that we have converted geometric rules into algebraic ones and largely forgotten the geometric origin: a modern student will likely never have considered the geometric basis of something as basic as commutativity. This slow movement from geometry to algebra is one of the major revolutions of mathematical history: it has completely changed the way mathematicians think. More practically, the conversion to algebra has allowed for easy generalization: how would one geometrically justify an expression such as
?
Euclidean Geometry is often termed synthetic: it is based on purely geometric axioms without formulaelig; or co-ordinates. The revolution of analytic geometry was to marry algebra and geometry using axes and co-ordinates. Modern geometry is primarily analytic or, at an advanced level, described using algebra such as group theory. It is rare to find a modern mathematician working in synthetic geometry; algebrarsquo;s triumph over geometry has been total! The critical step in this revolution was made almost simultaneously by Descartes and Fermat.
Pierre de Fermat (1601–1665) One of the most famous mathematicians of history, Fermat made great strides in several areas such as number theory, optics, probability, analytic geometry and early calculus. He approached mathematics as something of a dilettante: it was his pastime, not his profession.[1][1] Some of Fermat fame comes from his enigma: he published very little formally, and most of what we know of his work comes from letters to friends in which he rarely offers proofs. Indeed he would regularly challenge friends to prove results, and it is often unknown whether he had proofs himself, or merely suspected a general statement. Being outside the mainstream, his ideas were often ignored or downplayed. When he died, his notes and letters contained many unproven claims. Leonhard Euler (1707–1783) in particular expended much effort proving several of these.
Fermatrsquo;s approach to analytic geometry was not dissimilar to that of Descartes which we shall describe below: he introduced a single axis which allowed the conversion of curves into algebraic equations. We shall return to Fermat when we discuss the beginnings of calculus when we see how he introduced an early notion of differentiation.
Reneacute; Descartes(1596–1650)
In his approach to mathematics and philosophy, Descartes is the chalk to Fermatrsquo;s cheese, rigorously writing up everything. His defining work is 1637rsquo;s Discours de la meacute;thode... [2][2] While enormously influential in philosophy, Discours was intended to lay the groundwork for investigations of mathematics and the sciences; indeed Descartes finishes Discours by commenting on the necessity of experimentation in science and on his reluctance to publish due to the environment of hostility surrounding Galileorsquo;s prosecution.[3][3] The copious appendices to Discours contain Descartesrsquo; scientific work. It is in one of these, La Geacute;omeacute;trie, that Descartes introduces axes and co-ordinates.
We now think of Cartesian axes and co-ordinates as plural. Both Fermat and Descartes, however, only used one axis. Here is the rough idea of their approach.
bull; Draw a straight line (the axis) containing two fixed points (the origin and the location of 1).
bull; All points on the line are immediately identified with numbers.
bull; To describe a curve in the plane, one draws a family of parallel lines intersecting the curve and the axis.
bull; The curve can then be thought of as a function where is the distance from the axis to the curve measured along the corresponding line.
bull; While neither Descartes nor Fermat had a second axes, their approach implicitly imagines one: thr
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