本科毕业设计（论文）
外文翻译
怎样解题：一个新的数学方法
作者：G.POLYA
国籍：美籍匈牙利
出处：《How to solve it:A New Aspect of Mathematical Method》
中文译文：
- 归纳法和数学归纳法
归纳是通过观察和结合具体事例发现一般规律的过程。它被用于所有的科学，甚至数学。数学归纳法仅在数学中用于证明某种定理。非常不幸的是，这些名称是相互关联的，因为这两个进程之间几乎没有逻辑关联。然而，两者之间有一些实际联系;我们经常同时使用这两种方法。我们将用同一个例子来说明这两种方法。
1. 我们可以偶然地观察到这一点
通过对立方体和正方形的识别，我们可以得出我们观察到的更有趣的形式:
怎么会发生这样的事?这种连续的立方体和是正方形的情况经常发生吗?在提出这个问题时，我们就像一位博物学家，被一种奇特的植物或一种奇特的地质构造所打动，就会提出一个一般性的问题。我们的一般问题是关于连续方块的和
我们是由“特定实例”得到它的。我们该怎么回答这个问题呢?自然主义者会怎么做;我们可以调查其他特殊情况。特殊情况更简单，下一个是。为了保持一致性和完整性，让我们加上的情况。把所有这些情况整理得整整齐齐，就像地质学家整理某一矿石的标本一样，我们得到了下表:
很难相信所有这些连续方块的和都是随机的正方形。在类似的情况下，博物学家会毫不怀疑迄今所观察到的特殊情况所提出的一般规律是正确的;一般规律几乎可以用归纳法来证明。数学家表达自己更含蓄，尽管从根本上说，当然，他以同样的方式思考。他会说下面的定理是由归纳法强有力地提出的:
前n个立方体的和是一个正方形。
2. 我们被引导去推测一个非凡的，有点神秘的定律。为什么连续方块的和是正方形?但是，很明显，它们是正方形的。自然主义者在这种情况下会怎么做呢?他将继续研究他的猜想。这样做，他可能会遵循各种调查路线。博物学家可以积累更多的实验证据;我们希望做同样的事情,我们要测试下一个用例,,博物学家也重新审视事实观察了他他的猜想;他仔细地比较它们，他试图解开一些更深层次的规律，一些更深层次的类比。让我们遵循这一调查思路。
让我们重新检查一下的情况我们把它们列在表中。为什么这些都是平方和?关于这些正方形我们能说些什么呢?它们的底是。这些减集呢?是否有更深层次的规律，进一步的类比?无论如何，它们的增长似乎并不不规则。它们是如何增长的?这个序列的两个连续项之间的差值本身在增加，
现在，这些差异明显是有规律的。我们可以在这些正方形的底之间看到一个惊人的类比，我们可以在数字1、3、6、10、15中看到一个显著的规律性:
如果这种规律性是普遍的(反之则很难做到)，我们所怀疑的定理采用了更精确的形式:
对于
3.我们刚才提到的定律是通过归纳发现的，而归纳的发现方式向我们传达了一种关于归纳的观点，这种观点必然是片面的、不完善的，但并不扭曲。归纳法试图发现观察结果背后的规律性和一致性。它最显著的工具是概括、专门化、类比。试探性的概括始于理解观察到的事实;它是基于类比的，并通过进一步的特殊情况进行测试。对于哲学家之间存在广泛分歧的归纳法问题，我们不作进一步的评论。但需要补充的是，许多数学结果是先用归纳法发现，然后再加以证明。数学是一门严谨的系统演绎科学，而数学的生成是一门实验归纳科学。
4. 数学和物理一样，我们可以用观察和归纳来发现一般规律。但这是有区别的。在物理科学中，没有比观察和归纳更高的权威，但在数学中有这样一种权威:严密的证明。
在进行了一段时间的实验之后，改变我们的观点可能是有益的。让我们严格一点。我们发现了一个有趣的结果，但导致这个结果的推理只是似是而非的、实验性的、暂时性的、启发性的;让我们试着用严格的证明来确定它。
我们现在已经到达一个“问题”来证明:
证明或推翻之前所述的结果(见上文第2段)。
有一个小的简化。我们可能知道
无论如何，这很容易验证。取一个边长为n和n 1的矩形，用z形线将其分成两半，如图15a所示，n == 4。每半部分为“阶梯状”，其面积为1 2 bull;bull;bull;bull; n;n = 4时为1 2 3 4，见图18b。现在，矩形的整个面积是n(n 1)其中楼梯形状的面积是一半;
这证明了这个公式。
我们可以把归纳得到的结果转化为
5. 如果2我们不知道如何证明这个结果，我们至少可以测试它。让我们测试第一个尚未测试的情况，即n = 6的情况。对于这个值，公式得到
通过计算，这是正确的，两边都等于441。
我们可以更有效地检验这个公式。这个公式，很有可能，一般来说，对所有n的值都成立，当我们从n的任意值传递到n 1的下一个值时，它仍然成立吗?除了上面写的公式(第118页)，我们还应该有
现在，有一个简单的检查。从上面的公式中减去这个，我们得到
然而，这很容易检查。右边可以写成
我们实验发现的公式通过了重要的试验。让我们清楚地看看这个测试意味着什么。我们毫无疑问地证实了这一点
我们还不知道是否如此
是真的。但是如果我们知道这是真的，我们可以通过添加我们毫无疑问已经验证过的方程来推断
对于下一个整数n 1也是同样的断言。现在，我们知道我们的猜想对n = 1 2 3 4 5 6成立。由于我们刚刚所说的话,猜想,对n = 6,还必须对n = 7,是适用于n = 7 w = 8这是真的;w = 8成立n = 9也成立;等等。它适用于所有的n，它被证明是普遍成立的。
6. 上述证明可作为许多类似案件的模式。这个图案的基本线条是什么?
我们必须证明的主张必须以精确的形式提出。断言必须依赖于整数n。断言必须足够“明确”，以便我们有可能测试它在从n到下一个整数n 1的过程中是否仍然为真。如果我们成功有效地测试这个,我们可以利用我们的经验,获得了在测试的过程中,得出断言必须适用于n 1提供了n。当我们确实到目前为止它就足以知道断言适用于n = 1;因此，对于n =2;n = 3，以此类推;从任意整数传递到下一个整数，我们通常证明这个断言。
这个过程经常被使用，因此它值得命名。我们可以称它为“从n到n 1的证明”，或者更简单的“下一个整数的传递bull;”不幸的是，公认的技术术语是“数学归纳法”。这个名字是随机产生的。我们必须证明的精确的断言可能来自任何来源，而从逻辑的观点来看，来源是什么是无关紧要的。现在，在很多情况下，就像我们在这里详细讨论的情况一样，源是归纳，断言是通过实验找到的，因此证明作为归纳的数学补充出现;这就解释了它的名字。
7. 这是另一点，有点微妙，但对任何想要自己找到证据的人都很重要。在前面，我们通过观察和归纳发现了两个不同的断言，一个接一个，第一个小于1，第二个小于2;第二个比第一个更精确。处理第二个断言,我们发现了一个检查通过的可能性从n, n 1,所以我们能够找到一个数学归纳法证明bull;”处理第一个断言,忽略了精密添加到第二个,我们应该几乎已经能够找到这样一个证据。事实上，与第二个断言相比，第一个断言不那么精确、不那么“明确”、不那么“具体”、不那么容易测试和检查。从第一个命题过渡到第二个命题，从不那么精确的命题过渡到更精确的命题，是最后证明的一个重要准备。
这种情况有一个矛盾的方面。第二种说法更有力;它立即意味着第一个，而有些“模糊”的第一个断言几乎不能意味着更“明确”的第二个断言。因此，较强的定理比较弱的定理更容易掌握;
这听起来有点矛盾。然而，当从一个问题转到另一个问题时，我们可能经常发现新的、更有野心的问题比原来的问题更容易处理。更多的问题可能比一个问题更容易回答。更全面的定理可能更容易证明，更一般的问题可能更容易解决。
如果我们仔细看几个例子，这个悖论就会消失。
二、归谬法和间接证明
我们列表中的问题和建议并不能产生神奇的效果。他们不能给我们所有可能的解谜题没有任何支持我们的一部分。如果读者想找到这个词，他必须不断地尝试和思考。清单上的问题和建议能做的就是“让事情继续下去”。“当我们因缺乏成功而灰心丧气，倾向于放弃这个问题时，他们可能会向我们提出一个新的尝试，一个新的方面，一个问题的新变种，一个新的刺激;它们可能会让我们思考。
反证法与间接证明是不同的，但却是相关的。
“归谬法”是一种数学过程，但它与讽刺有一些相似之处，而讽刺是讽刺作家最喜爱的一种方法。反讽在所有的表象上都采用某种观点，强调它，过分强调它，直到它导致一种明显的荒谬。
间接证明通过显示相反假设的虚假性来建立断言的真实性。因此，间接证据在某种程度上类似于政客通过摧毁对手的声誉来确立候选人的伎俩。
“归谬法”和间接证明都是发现的有效工具，它们自然地呈现给意图思维。尽管如此，还是有一些哲学家和许多初学者不喜欢它们，这是可以理解的;讽刺的人和狡猾的政客并不吸引所有人。我们将首先举例说明这两种程序的有效性，然后讨论对它们的反对意见。
i.归谬法。用10位数字中的每一位精确地写一次数字，使这些数字的和正好是100。
我们可以通过试图解决这个需要解释的谜题而学到一些东西。
什么是未知?一组数字;这里的数字指的是，普通整数。
鉴于是什么?数量100。情况如何?这个条件有两个部分。首先,编写所需的组数,每个十位数,我们必须使用0,1,2,3,4,5,6,7,8和9,就一次。第二，集合中所有数字的和必须是100。
只保留一部分条件，放弃另一部分。仅第一部分就很容易满足。取集合19 28 37 46 50;每个数字只出现一次。但是，当然，条件的第二部分是不满足的;这些数的和是180，不是100。然而，我们可以做得更好。“试一试,再试一次。“是的,
19 28 30 7 6 5 4 = 99。
条件的第一部分满足，第二部分几乎满足;我们有99而不是100。当然，我们可以很容易地满足第二部分，如果我们放弃第一部分:
19 28 31 7 6 5 4= 100。
第一部分不满意:出现了两次，而o完全没有出现;其他数字都是正确的。
“试一试,再试一次bull;”
然而，在几次不成功的试验之后，我们可能会怀疑不可能以所需的方式获得100个。最终问题出现了:证明不可能同时满足所提条件的两个部分。
相当好的学生可能会发现这个问题超出了他们的理解范围。然而，如果我们有正确的态度，答案很简单。我们必须研究两个条件都满足的假设情况。
我们怀疑这种情况实际上不会发生，我们的怀疑是有根据的，根据我们失败的试验的经验。然而，让我们保持一种开放的思想，让我们面对这样一种情况，在这种情况下，假设、假定、据称两方面的条件都得到了满足。因此，让我们想象一组和为ioo的数。它们必须是有一两个数字的数字。有10个数字，这10个数字必须是不同的，因为每个数字o 1 2，bull;bull;bull;9应该只发生一次。因此，所有十个数字的总和必须是
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 45
这些数字中有些表示单位，有些表示十位。需要一点智慧才能想到，表示十位的数字的和可能具有某种重要性。实际上，让t代表这个和。那么其余表示单位的数之和为45 - t，因此集合中所有数之和必须为
我们有一个方程来确定t，它是一阶的
现在，有一些事情是绝对错误的。我们找到的t的值不是整数，当然，t应该是整数。从假设出发，提出两部分条件都可以，当我们同时感到满足的时候，我们就被引向了一种明显的荒谬。这怎么解释呢?我们最初的假设一定是错的;条件的两个部分不能同时满足。所以我们达到了我们的目标，我们成功地证明了提出的条件的两部分是不相容的。
我们的推理是典型的“归谬法”。
2. 言论。让我们回顾前面的推理，并了解其总体趋势。
我们要证明的是，不可能满足某一条件，即所有人都处于的情况，部分条件同时满足是永远不会出现的。但是，如果我们还没有证明任何东西，我们就必须面对出现这种情况的可能性。只有正视这一假设，并仔细研究它，我们才有希望发现其中一些肯定是错误的。如果我们想最终表明这种情况是不可能的，我们就必须抓住某些绝对错误的点。因此，我们可以看到，在我们的例子中成功的程序在一般情况下是合理的:我们必须检查假设的情况，在这种情况下，条件的所有部分都得到满足，尽管这种情况似乎极不可能发生。
更有经验的读者可能会在这里看到另一点。我们的程序的主要步骤是建立一个t的方程。现在，我们可以在不怀疑条件
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