COMPLEX ANALYSIS
原文作者 Ahlfors L 单位：哈佛大学
摘要：本文根据实数和复数遵循相同的算数法则，通过类比来研究复数的代数性质。其中包括了复数的加减乘除四项算法运算，复数表示平方根以及共轭复数和复数的绝对值所代表的含义。
关键词：复数； 代数性质； 运算； 共轭复数
- ：复数
- 复数的代数性质
实数和复数遵循着相同的算术法则是我们研究复数的基础。我们通过强调和实施这种类比来开始学习复变函数理论。
1.1算法运算
从基本的代数学中读者已经知晓虚数单位和它的性质。如果这个虚数单位和两个实数通过加法和乘法结合起来，我们可以得到一个复数分别是这个复数的实部和虚部。如果，这个数就被称作纯虚数。如果，显然这是个实数。0是唯一一个既是实数又是纯虚数的数。两个复数相等当且仅当它们有相同的实部和相同的虚部。复数的加法和乘法运算都不会超出复数域。令人惊奇的是，我们确实发现，普通的算术法则也适用于复数。
和
在第二个恒等式中，我们用了这个关系。
相对不明显的是除法也是有可能的。我们希望看到是一个复数，假如。如果商被设为，就有。
根据（2）式，结果可写作
那么，我们得到两个恒等式：
这个系统地联立性方程组有唯一解
我们知道，不为零，因此我们得到结果
且这个商被证实存在，那么它的解就可以通过一个更加简便的方法得到。如果分子和分母同时乘上，我们立刻发现
作为一个特例，由以下可知，这个复数的倒数，
我们注意到，只有四个可能解。他们对n对应的值除以4留下余数0,1,2,3。
练习：
- 求出下列值
- 设，求出下列数中的实部和虚部
- 证明：任何情况下都成立。
1.2平方根
我们现在来验证一下一个复数的平方根可以明确地被找到。如果给定一个复数为，我们可以设一个数使
这相当于方程组
从这些方程中我们得到
因此我们必须保证
的平方根是正的或为零。结合第一个方程（4），我们发现
观察到这些数是正的或为零与无关
方程（5）的解，通常来说，x有两个完全相反的解，y有两个解。但是这些值是不能任意组合的，因为第二个方程（4）不是方程（5）的结果。因此，我们必须仔细选择x和y，这样它们的解才能含有。这得出了通用的解决方案
规定。因为当时，这值是，当时；，当时。不用说，所有正数的平方根都有正根。
我们发现，任何复数的平方根存在并且有两个相反的值。两个值一致当且仅当。当时，它们都是实数；当时，它们是纯虚数。换句话说，除了0之外，只有正数有实根，只负数有纯虚根。
由于两个平方根一般是复杂的，我们不可能区分一个复数的平方根是正的还是负的。我们当然能够区分方程（6）中上部和下部的标志，但是这种区分是人为的，应该避免。用对称的方式对待这两个平方根是正确的方法。
练习：
- 计算
- 求出的四个根。
- 计算。
- 解二次方程
。
1.3辩解
至今为止我们对复数已经完全不加批判。我们没有质疑当所有的算术规则仍然有效时方程有解这种系统性的存在。
我们首先回顾我们用R来表示的实数系统的特性。首先，R是一个域。这意味着定义了加法和乘法，满足联想，交换和分布规律。数字0和1在加法和乘法下是中性的元素，分别：对取任何值都成立。此外，减法的方程总是有解，当时，除法的方程有解。
（我们假定读者有一个初等代数的基本知识。虽然一个领域的上述特性是完整的，但是它显然不能传达很多学生是不是至少已经依稀熟悉这概念。）
一个显而易见的基本推理，中性元素的减法和除法的结果是独一无二的。同时，每一个领域都是一个完整的域：。
这些属性是所有领域常见的。另外，实数域R有一种序关系。这最容易在正实数集的术语中定义：。集合具有以下特征：（1）0不是正数；（2）如果，要么是是正数；（3）两个正数的和与乘积都是正数。从这些条件中得到所有通常处理不等式的规则。一个特别的发现，每一个数的平方要么是正数要么为0；因此是一个正数。
通过对序关系和总结1,1 1,1 1 1，hellip;hellip;是完全不相同的。因此R包括了自然数，并且因为它是一个域它必须包含所有有理数构成的子域。
最后，R满足一下全部条件：每一个实数的增序列和有界序列都有极限。假设，并且假设存在一个实数B，使对所有n都成立。然后根据完备性要求存在并且具有以后属性：对于任意给出的，始终存在一个自然数，使对于任意成立。
我们讨论实数系统是因为我们还没有证实带假设系统地R系的存在性和唯一性（同构）。那些没有彻底熟悉引入实数的其中一个建设性过程的学生可以通过咨询任何一本教科书上提供的完整的实数公式化处理来填补空间。
方程在实数域R上无解，因为总是正数。现在假设可以找到一个域F包含了R这个子域，并且在这个域内方程的解可以被找到。用i表示其中一个解。那么，方程在F上有两个确切的根，i和-i。设C为F的子集包含了所有可以用实数和表示成这种形式的元素。这种表示形式是独特的，因为，表示成；因此，并且这种可能只有当时成立。
子集C是F的一个子域。事实上，除了要求读者进行简单的验证，这正是在第一章第一节中被证明的。此外，C的结构独立于F的结构。因为如果是另一个包含了R的域和方程的一个根,相应的子集由所有元素形成。在C和之间有关联一对一的对应关系，并且这种对应明显是一种同构。从而表明C和是同构。
我们现在定义复数域为任意给定的F的子域C。我们刚刚看到，F域的选择对结果没有影响，但是我们尚未证明存在一个域F具有所需特性。为了给我们定义一个意义，它仍然表现出F域包含了R（或与R同构的一个子域），以及在这个域中，方程有一个解。
一个域可以通过多种方式被构造。最简单和最直接的方式如下：考虑所有表达形式，其中为实数并且标志 和i都是纯符号（ 不表示加，i不是域中的元素）。这些表达式是F域中被（1）和（2）定义了加法和乘法的元素（观察这两种不同意义的符号 ）。特殊形式的元素被视为构成一个分支同构于R，元素满足方程；事实上我们得到。因此，F域具有所需特性；此外，它与相应的子域C相同，因为我们可以写出
现在复数域的存在证明了，我们可以回到简单的符号在C中，其中 表示加，i是方程的一个根。
练习：
- 证明所有特殊形式的矩阵
结合矩阵的加法和矩阵乘法，同构于复数域。
- 证明：复数系统可被认为是所有实数多项式的模不可约多项式的域。
1.4共轭，绝对值
一个复数可以由一个单一地字母表示，代表域C中个元素，或者用实数表示成的形式。其他标准的符号是当使用这种连接时心照不宣地理解是实数。一个复数的实部和虚部也将用表示。
在指导复杂的加法和乘法规则时我们只使用事实。由于-i具有相同的属性，如果i到处被-i替代所有的规则依然保持有效。直接验证表明这是真的。用代替的这种转型被称为复数共轭，是的共轭。的共轭用表示。数A是实数当且仅当它等于它的共轭。共轭是一种对合变换；这意味着。
公式
用复数和它的共轭的形式来表示实部和虚部。通过对符号的系统使用，因此可以省略掉用来表示实部和虚部的单独字母的使用。更方便的是，使两个字母能自由地使用。
共轭的一个基本属性已经提到，即
商对应的一个属性是一个推论：设，那么，因此。更普遍的，设代表任何有理运算应用到复数那么
作为一个应用，思考这个方程
如果是这个方程的一个根，那么也是这个方程的一个根
特别是，如果系数是实数，是相同的方程的根，我们已经熟悉的定理，一个实系数方程的非实数根会出现一对共轭根。
乘积总是正的或为0。它的非负平方根称作复数的模或绝对值，用来表示。术语和符号是合理的。它由一个实数的模与其带正号的数值这个事实来证明。
我们重复这个定义
其中，然后观察得到。对于一个乘积的绝对值，我们得到
，
因此
因为这两个都是大于等于0的。用语言表达：
一个乘积的绝对值相当于元素的绝对值的乘积。
这个属性扩展到任意有限的乘积是明确的：
它的商，，满足，因此我们有，或
和的绝对值的公式没那么简单。我们发现
或
，
对应的差的公式是
，
通过相加，我们可以得到
。
外文文献出处：Lars V.Ahlfors .Complex Analysis[M]. McGraw-Hill Book Company， second edition
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