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矩阵韦达定理
原文作者 Dmitry FUCHS 与 Albert SCHWARZ*
单位 数学系 加利福尼亚大学 Davis Ca 95616,美国
- 引言
考虑一个代数方程的矩阵
(1)
当系数,...,以及解应该是一些复杂的阶正方形矩阵.对于一个普通的代数方程,阶古典韦达公式表达了个解的项的系数.然而,一般的,一个阶方程矩阵有个解而不是个.(自始至终,在这篇文章中的单词一般是指Zariski开集)
我们把方程(1)的n个解, . . . , 称为独立的,如果它们决定了, . . . , 的系数(关于独立的一个更加科学的解释请见第2节).然而,根据,...,,...,的表达与韦达公式相比显得不太简洁(见例子：下面的公式(3)—(5)).尽管如此仍然存在一些关系在A和X的之间,这是非常相似于韦达定理.
定理 1.1. 如果方程(1)的解,...是相互独立的,那么
(2)
定理1.1的证明在第4小节中(对于时一个更直接的证明在第3小节中给出).在第5节中,我们讨论了定理1.1的推广从复杂的代数矩阵到任意的关联整体环.
定理1.1是初级的,然而它与现代数学的一些解释相联系.对于每一个关联代数都可以构造成一个线性空间.该空间出现在作为0空间上的非交换的形式多种多样的形式.(这样的形式是由一个自由结合代数确定的.对于一个有着母线的自由结合代数,空间可以通过有着字母,长度的循环).空间也出现在与和有关的其它问题上.这是很容易理解的,的公式可以解释为的一个非平凡恒等式.
2.相互独立矩阵
定义 2.1 矩阵的范德蒙行列式不为0,那么它是相互独立的：
.
当时的独立条件是.当时没有说明,它不是由条件,说明.
这是显而易见的,一个通用方程(1)有个独立的解决方案(否则,上述行列式会等于0对于任何一个方程式(1)中的任何个解).这是同样清楚的,矩阵是独立的当且仅当存在唯一的像满足方程(1).换句话说,对于相互独立的,矩阵可以通过用表示.举个例子,如果,那么
(3)
当时,这是不可能的写出一个公式适用于所有独立的矩阵；举个例子,当时,那么
提供了右边存在(不遵循独立的)；否则,表达的是不同的.
作为函数的一个表达方式,适用于一般的独立的,可能会根据Gelfand–Retakh的来给出,下面就是它的定义.
定义 2.2 .让是一个的形式的非交换条目的的正方形矩阵.对于,表示的矩阵的子矩阵.这个公式
(如果,它变为)归纳地定义了quasideterminants为矩阵.(在交换的情况下,.)
Quasideterminants具有行列式的一些基本属性；特别的,下面的法则就包括了.
命题 2.3. .如果是一个方程组的解
,
那么对于任意
,
其中,和是中用这一列来替换其第列得到的.
推论2.4. 对于一般独立的,对任意的
(5)
这种表达式乘以(随着符号的一个微小变化,并且)称为],在第7节中,在中的第个基本对数函数.它在证明,与推论2.4是显而易见的,对于一般的,是对称的.
- 当
由于任何方形矩阵
,
以下是当时定理1.1的情况.
命题3.1. 设是同阶的方阵,是非退化矩阵.如果
(6)
那么
.
证明.1. 等式(6)说明
, (7)
由于,那么
.
所以
, (8)
那么两者的关系
,
再加上恒等式表明
,
.
因此,由(8)表明
.
- 等式(6)的第一个说明
, (9)代入等式(7)我们可以得到
.
因此
,
,
由于(9)式
.
4.普遍情况
当时不同于以上的证明,我们在一般情况下证明是不减少的直接计算,利用矩阵代数的细节.
引理 4.1. 设是两个阶方阵,使得特征值是,两两不同的复数.如果
, (10)
当,那么
,
.
证明. 设,是的本征值,设,.
那么对于任意的表明
,
,
由此
.
明显地,
是中阶数为的第一个多项式,由于,所有的都是不同的,那么
.
把等同常数项和系数与放到(11)式的两边；那么就得到了
.
.
注意 4.2. 相当于(11)式中多项式的其它系数,我们可能会得到多个等式.其中的大多数包括矩阵,由不同的矩阵的列组合而成,但是有两个极限的情况(在中,当和1)我们得到的是值得一提的公式：
； (12)
, (13)
其中在(12)中表示矩阵的特征多项式的第二系数(系数根据),(13)式成立当且仅当是非退化的.
定理1.1.的证明 设(个因子)分别是集中的所有n元组独立的矩阵,该集中的所有n元组矩阵,其特征值两两不同的复数的.显然,这两个集合是开放的非空的.因此在中是密集的.根据引理,等式(2)在中同时成立.由于等式(2)中每一个式子的两边在中是连续的(相对于),等式(2)在全部的中成立.
5.进一步推广
设是统一的结合环,是一个域.假设有固定的任一种同态 满足条件 ,对任意,或者是一个同态环 (或者同时满足).
命题 5.1. 设且是转置的.如果,,那么或者同时满足,无论哪一个都是确定的.
它的证明与在第3节中的一样.
推广到任意环定理1.1的一般情况,我们需要一个明确的式子用表示.
定理 5.2. 设
,
用表示涉及环操作,使用相反的、有效的在这些逆存在的地方(像(3)、(4)、(5)).那么对于任意的,每一个等式
,
包含提供只要双方存在(即或定义和涉及或的逆中存在).
定理 5.5. 不可能用像在第4节中的论据来证明.但是,这是清楚的,能满足复杂矩阵的恒等式也能够包含任意的联合整体环(见,12.4.3).因此定理5.2遵循定理1.1.
致谢.我们感谢C. Itzykson与I. Kaplansky一起参与的有趣讨论.
参考文献
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M. Kontsevich. Formal (non)-commutative symplectic geometry. In: Gelfand
Mathematical Seminar, 1992. Birkhuml;auser, Boston, 1993, P. 173–189.
外文文献出处：
Dmitry FUCHS.Albert SCHWARZ. Matrix Vieta Theorem
附外文文献原文
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