本科毕业设计（论文）
外文翻译
大概念和数学理解是中小学数学的基础
作者：Randall I.Charles
国籍：美国
出处：NCSM Journal of Educational Leadership
中文译文：
教育始终基于这样的原则:高质量的教学与高成就直接相关，而高质量的教学源于教师广博的学科知识。美国的数学教育就基于这个原则，大部分教育家和公民一直认为，我们的教师有足够的专业知识让我们的学生在数学上有所成就。不幸的是，进行了十年的研究表明，美国并不在世界上成就最高的国家之列，我们教师的专业知识和教学实践与那些成就更高的国家的教师有着根本区别。
研究开始于对高效教师重要特征的识别，例如，有效的教师会提出恰当及时的问题，他们能促进高水平的课堂对话集中在重要的教学内容上，他们能在教学过程中评估学生的思维和理解。另一方面，也是本文的重点，是教师围绕一套大概念的数学基础知识和教学实践。
本文的目的是发起一场关于数学大概念的讨论。虽然大概念已经被研究了一段时间，但它还没有成为关于数学标准、课程、教学、学习和评估主流话题的一部分。鉴于越来越多的证据表明它们的重要性，现在是时候开始这些探讨了，这里给出了大概念的一个定义，并论述了它们的重要性，在此基础上，还提出了一套适用于中小学数学的大概念和数学理解，文章的最后给出了一些运用大概念的建议。
在和同事合作完成这篇论文的过程中，我相当肯定，不可能得到一套所有数学家和数学教育者都能同意的大概念和数学理解，幸运的是，我认为没有必要在这方面达成共识，他们打算将这里提出的大概念和数学理解作为研讨的出发点。
- 什么是数学中的大概念？
“教师需要理解数学的大思想，并能够把数学作为一个相互连贯的整体。”越来越多的老师被鼓励拥有这样的观念进行数学大概念教学。然而，如果你向一群老师或任何数学教育者询问大概念的例子，你会得到各种各样的答案。有人会提出一个课题，比如方程，有人会提出一条主线，比如几何，有人会提出一个期望，比如学校数学的原则和标准，有些人甚至会提出一个目标，就像许多地区和州的课程标准。尽管这些都很重要，但似乎都不足以成为数学中的一个大概念，下面是对大概念定义的阐述，这个定义在本文中普遍适用。
定义: 大概念是对数学学习核心思想的陈述，将众多的数学理解联结成一个连贯的整体。
这个定义有几个重要的组成部分，首先，大概念是一种陈述，比如，任何数字、度量、数值表达式、代数表达式或方程，都可以用具有相同意义的无数种方式进行表示。为了便于讨论，下面在每个大概念的陈述前，都会先给出一个词或短语（比如：等价），重要的是要记住这个词或短语是大概念的名称，而不是它本身的理念，更确切地说，大概念是名称之后的陈述。把一个大概念作为一个陈述来表达，迫使人们掌握这个概念本质的数学含义。
对于前文定义中的第二个重要组成部分，它是数学概念学习的核心。例如，有许多数学概念(如数量，等式，计算)，还有很多数学过程(如运用逆运算和等式的性质，求解线性方程)，这些理解是建立在知道这些数学对象的基础上的：数字、表达式和方程可以用不同的方式表示，但不改变值或解，即等价。此外，了解保持相同值或相同解的变化类型是解决问题的强大工具。
学习数学的核心思想可以用不同的方式来确定。一是对数学概念和知识技能的仔细分析。研读教材内容，寻找各年级和各主题间的联系和共性。通过这种方法，借鉴那些对数学学习有清晰中心思想的学者的工作，从而发展这里提到的大概念。下文会给出一些关于确定大概念的其他想法。
大概念定义的第三个重要组成部分是，它将无数个数学理解联结成一个连贯的整体，通过大概念建立联系。例如，初等课程介绍了几种基本数字组合的运算形式，如和。运用两次运算时，等于,使用五个因数参与运算时，和是一样的。不仅这两种方法，还有很多方法都是通过相等的概念联系在一起，它们都需要将计算分解成等价的表示，用已知的事实来计算未知的事实，而好的教学应该使这些联系清晰明了。
本文将会提出了一套适合中小学生学习的大概念，对于每个大概念都给出数学理解的实例，数学理解是学生需要学习的重要思想，因为它有助于理解大概念。一些数学大概念的内容可以通过仔细分析内容来确定，但许多必须通过“倾听学生，识别易混淆之处，分析混淆之处背后的问题”来确定，研究和课堂经验是持续探索数学理解的重要载体。
二、为什么大概念很重要？
大概念应该是数学知识内容的基础，是教学实践的基础，是数学课程的基础，将一个人的数学知识建立在相对较少的大概念之上，可以使他对数学更好的理解。希伯特和他的同事们说，“如果我们看到某物与我们已知的其他事物之间的联系，我们就能理解它。” 以及“理解的程度取决于联系的数量和程度”。因为大概念和许多其他的概念有联系，理解大概念能够加深对数学的认识。当一个人理解了大概念，数学就不再被视为一套互不关联的概念、技能或事实，相反，数学形成了一系列连贯的思想。此外，理解大概念还有其他好处：
bull;理解调动学生的积极性
bull;引导他们学习更多的概念
bull;增强学生的记忆力
bull;影响学习信念
bull;促进自主学习者的发展
bull;提高他们对知识的迁移能力
bull;减少对知识点的死记硬背
领会数学大概念的教师通过将新知识与大概念贯彻起来，并且在教学中强化大概念的方式，将其转化为教学实践。此外，高效的老师清楚每个年级需要发展的概念和技能，知道大概念是如何将各个年级的课题连接起来，以及课题在前后年级间的联系。
最后，大概念在课程的开发与实施中也起着举足轻重的作用。《学校数学原理与标准》中的课程原理提出一门优秀课程的三个特征属性：
1）数学课程应该连贯。
2）数学课程应该侧重于重要的数学。
3）数学课程应该是跨年级衔接的。
国家研究委员会强调了这些关于课程的观点：“hellip;hellip;重要的是，各州和各地区应避免列出一长串不可行的(标准)清单，这将导致数学课程变得肤浅而又缺乏重点。”根据上述定义，大概念确保了课程的连贯性，并阐明了课程需要聚焦的重要数学思想。
三、什么是中小学数学的大概念？
本文的最后给出了中小学数学的21个数学大概念。了解我过去开发这个列表的过程和在开发过程中遇到的一些问题，可能会对想修改它或想自己建立列表的学者有所帮助。
作为一个从幼儿园到八年级的课程开发项目的一部分，我和几个同事在每一节课上都明确地表达了“数学理解”。我们所创造的数学概念长列表，是按照内容链而不是年级来组织的，当我这么做的时候，发现有很多数学理解似乎和更上位的概念相关。然后我开始努力阐明是什么把这些概念联系起来，为此深化了对大概念的定义，并以此作为指导。接下来，我在做这类工作时遇到了一个基本问题——一个大概念具体有多大？尽管我不敢直接冒昧地回答这个问题，但可以分享一些指导我的想法。我感觉大概念需要足够大，这样才能相对容易地表达出许多有关联性的思想，我称这种思想为数学理解。我也相信大概念会对教师、课程开发人员、测试开发人员以及那些负责制定州和地区课程标准的人有用。如果一个大概念太大了，我感觉它对这些使用者的用处会减少，由此导致了最初一份含31个大概念的列表，被归类到了传统的内容链中。同事们建议，没必要通过内容链来阐述大概念，大概念之所以“大”，是因为许多概念是交叉的，这促使我减少了列表上大概念的数量，并进一步分析该列表对上述使用者的实用性，最终得到了本文中呈现的列表。
最后，值得注意的是，在这个列表中只有相对较少的大概念——这就是大概念如此强大的原因，无论是数学知识内容、教学实践还是课程都可以建立在少量的概念之上。这不仅为老师整合好了一切数学思想，更重要的是，它使学生对数学有了深刻的理解。
四、哪些方面可以应用大概念呢？
这里有一些大概念和数学理解的应用方法。
- 课程标准与评估
- 修改或创建地区和州的课程标准，以纳入大概念和数学理解。许多州的标准强调数学技能，但课程的连贯性和有效的数学教学不仅依托于技能，还需要大概念和数学理解。
2. 围绕“大概念和数学理解”开展个别教师、地区、州或国家的评估。由于多种原因，标准和评估的统一是很重要的，两者都需要强调大概念、数学理解和技能。
- 专业发展
1. 建立以数学内容为核心，以大概念和数学理解为基础的专业发展课程，让教师参与课程的开发，使他们能够把握大概念和数学理解。
2.做一个大概念是用于连接内容和教学实践的课程研究。
3. 从大概念开始制定章节、单元和个人课程计划，根据教学内容和年级兴趣水平生成特定的数学理解。
附录A展示了一个将大概念融入现有课程的例子，在这个例子中，老师们对四年级关于乘法的一章中的所有课程进行了分析。基于这些分析，他们从教学内容和论证标准着手，创建了一个章节概述，然后将其与大概念联系起来，个别课程将会联系课程标准、大概念和具体的数学理解进行开发。
五、结论
这篇论文的目的是开启一个关于大概念的讨论，用这里提出的大概念和数学理解作为出发点，你可以通过编辑、添加和删除进行优化，但是，当按自己的设想进行开发时，请记住这些要点。首先，不失大概念的本质定义；其次，不要让大概念和数学理解膨胀到影响内容和课程一致性的程度。大概念不仅需要保持“大”，而且需要成为锚，应用于我们所做的大多数事情中。
附：外文原文
Education has always been grounded on the principle that high quality teaching is directly linked to high achievement and that high quality teaching begins with the teachers deep subject matter knowledge. Mathematics education in the United States has been grounded on this principle, and most educators and other citizens have always believed that our teachers have adequate content knowledge given the high mathematics achievement of our students.Unfortunately, research conducted in the past ten years has shown that the United States is not among the highest achieving countries in the world, and that our teachers subject matter knowledge and teaching practices are fundamentally different than those of teachers in higher achieving countries.
Research is beginning to identify important characteristics of highly effective teachers (Ma 1999,Stigler 2004;Weiss,Heck,and Shimkus,2004).For example,effective teachers ask appropriate and timely questions, they are able to facilitate high-level classroom conversations focused on important content, and they are able to assess students thinking and understanding during instruction.Another, and the focus of this paper, is the grounding of a teachers mathematics content knowledge and their teaching practices around a set of Big Mathematical Ideas (Big Ideas).
The purpose of this paper is to initiate a conversation about the notion of Big Ideas in mathematics.Although Big Ideas have been talked about for some time,they have not become part of mainstream conversatio
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