具有分布时滞的线性脉冲微分方程周期解存在性的一个充要条件
作者：杰哈德Obull;阿尔扎布特
国籍：土耳其
出处：离散与连续动力系统, 增刊, 2007
中文译文：
1.引言和预备
脉冲时滞微分方程可以适当地模拟各种既具有时滞特性又具有脉冲特性的演化过程. 特别是, 它们提供了若干真实世界过程的运动的自然描述, 这些过程一方面取决于历史过程, 而历史过程往往是实质上影响运动的现象的原因, 另一方面又受到持续时间几乎可以忽略不计的短期扰动. 这类过程往往在物理、族群动态、生态学、生物系统、最优控制等科学技术的各个领域中进行研究. 详情见[5,15,18,19,20,23,24,25,26,28]与其引用的参考文献.
众所周知(见[17]), 非齐次线性方程组
有周期解当且仅当
(1)
对于伴随方程周期的所有周期解,
,
其中与是周期的周期函数.
在Halanay的著名专著[10]中, 他将上述结果推广到如下线性时滞微分方程
, , (2)
其中,是周期的周期函数,是固定实数. 说明所需条件包含相同的积分(1), 事实上, Halanay证明了方程(2)存在周期解当且仅当(1)对构造于
(3)
的伴随方程周期的所有周期解,
成立. 我们的目的是将上述结果推广到一类线性脉冲时滞微分方程.
设为核函数(cf.[11]), 满足下列条件:
(a)将归一化, 使得对, , 对, ；
(b)对, 存在一个函数有界, 使得对, 在上的总变差不大于.
我们将考虑如下具有分布时滞的脉冲微分方程
其中满足下列条件:
(c)对, 在上一致连续, 在上连续；
(d)与是中的周期函数；
(e)是中的周期序列, 是固定的正整数；
(f)是满足与的递增实数序列.
条件(c)-(f)保证是周期方程, 特别地, 如果是解, 那么也是. 由在区间上的一个解, 我们是指定义在上的函数, 使得在上是连续的, 除了对可能在处, 其中与存在, 且在上满足.
在上述条件(甚至更少)下, 我们很容易证明, 对给定的与, 有唯一解满足
, , (4)
其中: 表示定义在上的具有有限个第一类间断点,的分段左连续函数的集合.
时滞微分方程(无脉冲)与脉冲微分方程(无时滞)周期解的存在性在文献中得到了广泛的研究, 分别见[7,9,10,11,16,22,27]与[3,4,8,12,18,21]. 然而, 在脉冲时滞微分方程的相应理论方面的研究很少, 例如[6,13,14,19,20,29]. 需要注意的是, 我们的方程与文献中所考虑的不同, 它不仅更一般, 而且允许脉冲条件下的时滞项. 这样的脉冲条件对于时滞微分方程更自然.
2.一些辅助断言
本节的讨论源于[1], 我们将就本文所考虑的方程构造一个类似于(3)的函数. 结果表明, 函数(3)应修改为:
(5)
其中
函数(5)将使我们能够构造(A)的伴随方程, 并推导出其解表示. 这些结果已在[1]中提供, 因此, 我们将在此无须证明. 我们应该注意的是, 这一部分不需要周期性假设.
考虑方程
定理1.[1]令. 若是的解, 是
的解, 则
, (6)
其中由(5)定义.
定义1.对, 的一个矩阵解满足且, 称其为方程的一个基本矩阵.
定理2.[1]设是的基本矩阵, 为实数. 若是的解, 则
(7)
定义2.对, 的一个矩阵解满足且, 称其为方程的一个基本矩阵.
定理3.[1]设是的基本矩阵, 为实数. 若是的解, 则
(8)
推论1.[1]设是的基矩阵, 是的基矩阵, 则
(9)
3.主要结果
令为定义在上的方程的解, 使得在上与重合. 方程的周期性意味着同样是定义在上的方程的解. 若此解与中的重合, 则根据唯一性定理, 对所有, 且解是周期的. 因此, 对, 解的周期性条件记为. 若由, 定义, 则是周期的当且仅当, 即是的不动点. 设是定义在上的齐次方程的解, 使得在上. 然后通过解(7)的表示,
定义, . 由于
,
则周期条件为
(10)
设定义在上的解, 使得在上. 类似地, 我们得出结论, 若与中的重合, 则, 因此解是周期性的. 通过解(8)与恒等式(9)的表示, 我们得到
令, , 对,设, , 我们可以看出
(11)
方便起见, 我们还使用记号
(12)
对定义在上的矩阵函数与, 只要乘法是可能的. 注意, 可以是一个数字, 也可以是一个向量或一个矩阵, 取决于与的大小.
引理1.对于任意矩阵函数, 我们有
上面引理的证明是直截了当的, 可以按照[2,引理2]中使用的相同论点来实现与文[10]类似的证明.
有了这个记号, 算子可以写成
若定义, 接下来, 针对引理1我们得到
设. 也就是说,
若是的特征值, 则方程存在非零解
(13)
其中, . 上述方程的右侧只有. 因此, 算子与的本征值是重合的. 另外, 如果是的本征函数, 则是的本征函数.
需要下面的引理来证明主要结果.
引理2.方程与具有相同数量的周期的线性无关周期解.
证明.使用上面介绍的注释, 如[10,p.414]所述, 可以得出结论
与
具有相同数量的线性无关解, 这特别意味着与的具有相同的特征值, 因此, 如果是方程的乘子, 则是伴随方程的乘子.
我们现在可以陈述并证明本文的主要结果.
定理4.方程周期的周期解存在的一个充分必要条件是
, (14)
关于伴随方程的周期的所有周期解.
证明.必要性.设是的周期解, 是的周期解, 则由(5), 是周期解, 且
, , . (15)
对(15)过积分得
,
其中使用了恒等式.
充分性.假设(14)满足的周期的所有周期解.
根据引理2, 显然有:
有解当且仅当对于的所有解,
(16)
因此, 足以表明(16)在条件(14)下成立. 为此, 我们首先从(10)中观察到
利用(12)我们看到条件(16)变为
因此,
其中
且
设, 交换二次积分中的积分次序与最后和中的求和次序, 得到
其中
且
交换积分与求和的次序, 对, 设和, 最终得到
根据定理3, 我们看到, 由我们的假设(14), 上述方程的右边等于
,
显然为零. 证毕.
附：外文原文
A NECESSARY AND SUFFICIENT CONDITION FOR THE EXISTENCE OF PERIODIC SOLUTIONS OF LINEAR IMPULSIVE DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH DISTRIBUTED DELAY
Author: Jehad O. Alzabut
Nationality: Turkey
Source: DISCRETE AND CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS, SUPPLEMENT 2007
1. Introduction and preliminaries. Impulsive delay differential equations can suitably model various evolutionary processes that exhibit both delay and impulse characteristics. In particular, they provide a natural description of the motion of several real world processes which, on one hand, depends on the processes history that often turns out to be the cause of phenomena substantially affecting the motion and, on other hand, is subject to short time perturbations whose duration is almost negligible. Such processes are often investigated in various fields of science and technology, such as physics, population dynamics, ecology, biological systems, optimal control, etc. For more details see [5, 15, 18, 19, 20, 23, 24, 25, 26, 28] and reference quoted therein.
It is well known that (see eg., [17]) the nonhomogeneous linear equation
has periodic solutions if and only if
(1)
for all periodic solutions of period of the adjoint equation
,
where and are periodic functions of period .
In his remarkable monograph [10], Halanay extended the above result to linear delay differential equations of the form
, , (2)
where and are periodic functions of period and is a fixed real number. It was shown that the required condition involves the same integral (1). Indeed, Halanay proved that equation (2) has periodic solutions if and only if (1) holds for all periodic solutions of period of the adjoint equation
,
which i
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