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附录A 译文
二次型
在本章中，第九章所出现的双线性函数的理论将被应用到二次型的讨论当中．在这个背景下，我们将不得不处理仿射空间的概念．
第一节 仿射空间
定义 10．1 设E为一个实n维线性空间并且设A为一组被称为点的元素．．．．假设有一个在点和向量之间的关系被下列的方式进行定义：
1．对于的每个有序对，中存在一个相对应的向量，称为差异向量并表示为．
2．对于每个属于的点和每个属于的向量，存在一个属于特定的点并且=．
3．如果是三个任意的点，而且
= （10．1）
被称为有差异空间的维仿射空间．
在（10．1）中加入条件=，则产生 =，由此知对于任意一个属于都有=0．使用这种关系我们从（10．1）中得到
=
等式=暗示了=（平行线定理）．事实上，
这些方程的减法产生了=．
对于任何给定的线性空间，一个仿射空间能够被构造成含有空间的空间来作为差异空间：
定义这些点作为空间的向量并且定义两个点和的差异向量为向量．然后上面的情况是显然满足的．
令为一个给定的仿射空间．如果一个固定点被作为来源而区分，每一点由向量唯一确定．被称为的位置向量并且每个点被认同为对应的位置向量．和两点的差异向量简单的说是向量．
10．2仿射坐标系 一个仿射坐标系由一个属于的固定点，原点和一个差分空间的基．然后每个属于的点确定一个元集合：
．
这些数字被称为相对于给定系统的仿射坐标．原点有坐标．
现在考虑两个仿射坐标系统
和．
用来表示基变换矩阵并且用来表示关于系统的仿射坐标，
．
一个点的仿射坐标和，分别地相应于系统和，由以下式子提供
， （10．2）
将插入到第二个方程（10．2）中，我们得到
，
从下式中
（）．
用逆矩阵的乘法得到了仿射坐标的变换公式：
（）．
10．3 仿射子空间 的一个仿射子空间是的一个子集，因此向量（其中属于，属于）构成空间的一个子空间．如果点是空间的原点，并且是子空间一个仿射坐标系，子空间的点可以被表示为
． （10．3）
令，我们得到一条通过点的直线，并带有“方向向量”．
在2的条件下，方程（10．3）可以理解为
．
然后，它通过来表示这个平面，由向量和生成．一个仿射子空间的维数为1被称为超平面．
两个仿射子空间和如果有的差分空间包含在的差分空间中，或者相反，则被称为是平行的．平行的子空间要么是不想交的，要么是相互包含的．例如，假设包含在中．设是和交集中的一点并且是空间中的任意一点，然后包含在空间中并且由此也包含在空间中．这意味着属于，因此属于．
10．4 仿射映射 让是空间到自身的映射，并且符合以下条件:
1．意味着．
2．映射：由定义的是线性的．
那么被称为仿射映射．给定两个点和以及一个线性映射：，恰好存在一个仿射映射，它将点映射到了点，诱导产生映射．这个映射被定义为
如果在中使用一个固定的原点，则每一个仿射映射可以被写作这个形式
其中是诱导线性映射，并且．
一种转换是一种仿射映射，它在中诱导了同一性，
对于任意的两个点和，显然有一个转换可以把变成．
10．5 欧式空间 设是一个维仿射空间并且假设在不同空间中定义了一个正定内积．那么就被称为欧几里得空间．两点和的距离定义为
根据此定义可知，该距离具有以下属性：
1．，并且当且仅当时．
2．．
3．．
为内部乘积空间定义的所有度量概念可以被应用于欧几里得空间中．给定一个属于空间的点和一个不等于0的向量，恰好存在一个过点超平面，它的差异空间与正交．这个超平面用这个方程来表示
欧几里得空间的刚性运动是一个保持距离的仿射映射，
条件（10．4）意味着由刚性运动在差分空间中引起的线性映射是一个旋转．相反，给定一个旋转并且两个点属于，属于，恰好存在一个刚性运动，诱导并将映射到．
问题
1．给定个点()在仿射空间中称为一般位置，如果点不包含在一个1维的子空间中．证明点()处于一般位置只有当向量是线性独立的．
2．给定个点()在一般位置，所有点的集合满足
被称为点()所跨越的-单纯形．如果是点的起源，证明上述单纯形中的一个点可以被唯一表示为
数字()被称为的质心坐标．带有中心坐标()的点被称为的中心．
3．给定一个-单纯形(0)考虑一个(1)-单纯形由点(0)定义并且用来表示(0)的中心．表示直线(,)和(,)在的中心相交
4．在欧几里得空间中，一个长度为的等边单纯形是一个单纯形的性质．找到向量和两者之间的角度，其中,和向量和两者之间角度，其中是的中心．
5．假设一个方向在差分空间中是由行列式函数定义的．一个有序系统的()个点在一般位置的被称为对于方向称为正方向，如果
a）如果系统是正的，而是数字的一个排列，表示系统()当且仅当排列是偶数的时候再次为正．
b)设为由点所跨越的()维子空间．利用行列式函数在的差分空间中引入一个方向
其中是中的一个明确的点．证明有序的元数组()对于行列式函数是确定的．
6．令是一个-单纯形并且是它的中心．用表示通过删除顶点获得的-单纯形的中心．现在选择一个有个整数的有序的系统并且定义仿射映射，通过
证明．在这个方程中表示排列，其中是数字)中没有出现过的整数．
7．令和是欧式空间的两条直线，并且它们既不平行也不相交．证明恰好存在一个点在上，这样的正交于和．
8．令和是仿射空间的两个子空间，因此差分空间和形成空间的直接分解．证明交集只由一个点组成．
9．证明一个刚性运动有一个固定点当且仅当矢量是正交于在下的不变向量．
10．考虑欧几里得平面中的一个适当的刚性运动．证明恰好存在一个固定点，并且
在这个方程中是一个与长度相同的向量并且与正交．表示相对于由基(a,b)定义的方向的旋转角度．
11．证明平面的两个固有刚性运动和可交换，当且仅当这两个条件中的一个成立：
1．和都是转换后的结果
2．和有相同的固定点．
第二节 仿射空间中的二次型
10．6．定义 从基本解析几何开始，众所周知每个圆锥形截面都可以用一个形式的方程来表示
其中，和是常量．将其推广高维，我们将维仿射空间中的一个二次曲线定义为满足该形式方程的所有点的集合
(10．5)
其中0是一个二次函数，是一个线性函数，是一个常数．
在下面的讨论中，引入差分空间的对偶空间将很方便．然后双线性函数可以写成这个形式
其中是空间到的一个线性映射，它对自身是对偶的：．此外，线性函数确定了一个属于空间的向量，使
因此，方程(10．5)可以写成这个形式
(10．6)
我们记得双线性函数的零空间与线性映射的核重合．
10．7 圆锥体 让我们假设存在一个点属于的点使得．并且可以写成
(10．7)
和替换，给予
将其插入到(10．7)中，我们得到
因此， 的方程采用了这样的现实
这种二次曲面称为顶点为的圆锥体．为了简单起见，圆锥体将被排除在下面的讨论中．换句话说，我们会假设
对于所有点 (10．8)
10．8 切线空间 考虑一个属于的不动点．从条件(10．8)可以得出，向量的正交补是一个的()维的子空间．这个子空间被称为在点处切线空间．中包含一个属于的向量，当且仅当
(10．9)
根据函数和，方程(10．9)可以写成
(10．10)
由点决定的()维仿射子空间并且切空间称为在处的切线平面．它由所有的点组成
将插入到方程(10．10)中，我们得到
(10．11)
观察到
我们可以用以下方式写出切超平面的方程(10．11)
(10．12)
为了得到切空间的几何图像，考虑一个二维平面
(10．13)
通过点x0,其中a和b是两个线性无关的向量．将(10．13)插入方程(10．5)中，得到了关系
(10．14)
表明平面F与Q相交成一个圆锥形的．在引入线性函数后
(10．15)
圆锥形的方程可以写成这个形式
(10．16)
现在假设向量a和b被选择这样的g(a)和g(b)不都低于零．然后圆锥曲线在点==0处有一个唯一的切线，这个切线是由向量生成的
(10．17)
向量t包含在切线空间;这源于这个等式
相切空间中的每个向量y0可以用这种方法得到．事实上，假设a是一个向量，这样g(a)=1，并考虑通过点x0的平面由a和y所跨越的．然后方程(10．17)产生
(10．18)
表明y是交点QF在点==0处的切向量．
注：如果g(a)=0和g(b)=0，方程(10．16)简化为
那么Q和F的交点是由以下几点组成的
- 两条直线相交在点x0，如果
- 只有点x0，如果
- 一条直线穿过x0，如果
- 整个平面F，如果
10．9 表示的唯一性 假设一个二次分布的空间Q用两种方式表示
(10．19)
和
(10．20)
它将会显示出
其中，0是一个实数．让x0是Q的一个不动点．根据假设(10．8)可以得出，线性函数g1和g2定义为
(10．21)
并不等于零．
选择一个向量，使g1(a)0,并且g2(a)0，和一个向量b0，使得g1(b)=0．显然，a和b是线性无关的．这个平面
然后将二次曲线Q相交于与圆锥，它的方程由下列每一个方程给出
(10．22)
和
(10．23)
这条曲线在点==0处的切线是由下面的向量产生的
也由下面的向量
这意味着
其中
(10．24)
但是b0是g1的核的任意向量．因此，第二个方程(10．24)表明，每当g1(b)=0，g2(b
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