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会计师兼RAMANUJAN的数学朋友——NARAYANA AIYAR
布鲁斯 伯恩特
摘要：Narayana Aiyar是马德拉斯港口信托办公室的首席会计师，Ramanujan在1912-1914年间在那担任职员。在本文中，给出了Narayana Aiyar的一个简短传记，讨论了他的数学贡献，并且考察和强调了他和Ramanujan的个人和数学关系。
1.介绍S.纳拉亚纳.艾亚尔
2009年6月，笔者有幸参与一个纪念Venkatachaliengar的会议，在他诞辰一百周年之际。多年来，Venkatachaliengar比其他任何印度数学家更能在他的祖国保持Ramanujan的数学精神，因此，在班加罗尔印孚瑟斯美丽的校园里举行一场纪念他的会议再合适不过了。在这个为期五天的会议上，为代表们放映了一部关于Ramanujan的生平的电影，名为《上帝，零与无限》。在影片的一个特殊时刻，我很难过地听到其中一位解说员傲慢地宣称马得拉斯港口信托办公室的首席会计师Narayana Aiyar是一位“业余数学家”，他无法欣赏他的雇员Ramanujan的工作。由于Narayana Aiyar无法为这番刻薄的言论辩白，因此这位听众决定为他辩护。
熟悉Ramanujan生活的读者可能还记得，在接受Ramachandra Rao一年多的资助后，在1912年2月，Ramanujan写信给马德拉斯港口信托办公室寻求一份职员工作。在港口信托办公室获得一个职位后，Ramanujan由Narayana Aiyar领导。在1910年至1914年期间，在Ramanujan1914年3月前往英国之前居住在马得拉斯时，Narayana Aiyar比其他任何印度人更能欣赏Ramanujan的研究成果。据说，从晚上到凌晨，Narayana Aiyar和Ramanujan一起研究数学。当然，我们并不是说Narayana Aiyar在数学能力上和Ramanujan相当，但很明显，无论是作为马德拉斯港口信托办公室的首席会计师还是作为一名数学家，Ramanujan都很尊敬他。由于许多读者对Ramanujan和他的作品有一些了解和兴趣，但是对Narayana Aiyar以及他对Ramanujan的影响知之甚少，因此在这篇简短的文章里我们会提供一些Narayana Aiyar的生活细节。我们的一些叙述可以在作者的文章[9,pp.97-98]中找到。然而，与我们在[9]中的描述相比，我们也讨论了他在数学上的贡献。
印度名翻译成英文名时通常有不同的拼写。Aiyar的另一种翻译是Iyer，这是首选的通用拼写。由于Aiyar在Narayana Aiyar的数学出版物中使用，因此我们坚持使用这个拼写。
2.文化背景
我们首先讨论Ramanujan和Narayana Aiyar生活的宗教和文化背景来帮助我们理解他们之间的关系。Ramanujan和Narayana Aiyar是泰米尔人，在印度南部讲泰米尔语的地区，特别是在印度南部的泰米尔纳德邦（马得拉斯，现在钦奈所在的地方），两个主要的印度教婆罗门群体是the Sica-worshiping Iyers(也称Aiyars)和the Vishnu-worshiping Iyengars.因此，尽管两人都是婆罗门，Ramanujan是一个Iyengar教徒，Narayana Aiyar是一个Iyer教徒。正统的Iyengar人通常比正统的Iyer人更保守，但当时可能更保守。Narayana是神Vishnu的另一个名字，但Iyers也用这个名字！世代以来，这个部落里的人都是祭司，他们主要参与印度教梵文经和吠陀经的研究，同时遵守严格的个人和部落准则。吠陀经（意思是知识或者智慧）是最古老的印度教经文。这两个婆罗门教团是非物质主义，生活简朴，并且得到了早期印度教统治者的全力支持，处于印度种姓制度的最高等级，这是一个基于职业的等级制度。英国人发现开发这些现成的可用资源来管理广阔的印度大陆很方便。因此，婆罗门部落逐渐开始偏离他们原本的宗教和社会追求，因此，从19世纪中期到20世纪中期，法律名人、行政人员和数学家激增，其中包括享有盛誉的印度公务员、社会改革者和对英国人来说不幸的印度自由战士。这就是Narayana Aiyar和Ramanujan出生和生活的背景和社会氛围的简短历史。
3.Narayana Aiyar的生平事迹
Narayana Aiyar于1874年12月15日出生在泰米尔纳德邦马杜赖附近的卡姆巴姆。（首字母S.代表他父亲的名字Subbanarayanan）他的父母Subbanarayanan Iyer和Lakshmi很穷。他的父亲和祖父Ananthanarayana Iyer都是印度教祭司，精通梵文和吠陀经，并以在私人住宅中进行印度教仪式为生。Narayana Aiyar的家庭非常贫困，以至于在他上学早期，在学校的一次年度检查中，他不得不和他的哥哥分享他唯一的衬衫。在早年的奋斗中，他一直关心穷人和与他一起工作的每个人的生活。他有一个哥哥和三个姐姐。
Narayana Aiyar在特里奇诺波利的圣约瑟夫学院获得数学硕士学位，这是当时印度南部首屈一指的学院之一。当时，硕士学位是在没有博士学位情况下的最高学位，而博士学位是在多年后才引入的。当Narayana Aiyar在圣约瑟夫学院教书的时候，他开始认识了Francis Spring，在那时Spring在特里奇诺波利服务于铁路行业。1900年，应Francis Spring的邀请，Narayana Aiyar被任命为马德拉斯港口信托办公室的办公室经理，Francis Spring当时已成为马德拉斯港口信托的主席，他在1911年被授予爵位，成为Ramanujan最热心的支持者之一。在某个时候，在1912年2月Ramanujan申请担任文员时，Narayana Aiyar被提拔为总会计师，他的职位因此成为港口信托中排名最高的印度人，在那里，他一直工作到1934年退休。为了表彰他的服务，政府授予他“Rao Bahadur”的称号，这是英国授予那些为国家做出巨大贡献的个人荣誉称号。
Narayana Aiyar和他的妻子Avibakthanayaki有两个女儿，Meenakshi和Kamakshi，和一个儿子，Subbanarayanan。1925年，Narayana Aiyar的女婿（Kamakshi的丈夫），Venkataraman（1902-1967），到马德拉斯港口信托办公室工作。1947年印度独立时，他担任交通经理，随后成为第一位担任马德拉斯港口信托主席的印度人。上任后，他收集了与Ramanujan有关的所有文件，并将其移交给新德里的国家档案馆。这些论文的副本由诺贝尔奖获得者Chandrasekhar为当前作者保管，其中许多被转载于作者与Rankin合作的著作《Ramanujan：信件和评论》[7]。Narayana Aiyar的儿子Subbanarayanan也加入了马德拉斯港口信托，担任助理部门主管，退休时担任办公室经理。
Narayana Aiyar一生中有一件事经常被他的后代拿来消遣。Narayana Aiyar的妻子为她的妹妹安排了一位未来的丈夫，并要求Narayana Aiyar拜访这位年轻人并给他一些宝贵的意见。因此，Narayana Aiyar拜访了这位未来的新郎，只问了他一个问题。他对这个答复很满意，同意了这桩婚事。他问的问题是，“pi;的值是多少？”
Narayana Aiyar以简朴而闻名。尽管他能负担得起更舒适的交通方式，但他还是乘坐普通人的普通交通工具——有轨电车上下班。他甚至没有一台收音机，尽管在晚上他经常拜访他的女儿Kamakshi，在她的收音机上听英语新闻。按照经文的规定，他坚持在吃饭的时候保持绝对的沉默。他笃信宗教，恪守诚信，有独立的思想，是印度独立（沉默）的拥护者。尽管他患有轻微的糖尿病，但他很好地照顾自己的身体健康，并过着正常的生活，直到他于1937年1月17日去世前不久。
如上所述，白天在马德拉斯港口信托办公室工作后，Narayana Aiyar和Ramanujan经常在晚上一起研究数学。有趣的是，Narayana Aiyar向《印度数学学会杂志》发表了两篇简短的论文，总结了Ramanujan在素数理论中的一些发现，以及他在计算积分时“主定理”的一些应用[3，4]。在这两篇论文交流的时候，Ramanujan已经在《印度数学学会杂志》上发表了三篇论文和几个问题，所以人们很自然地问，为什么他没有亲自把这些结果告诉《印度数学学会杂志》。这个问题的答案可以从Ramanujan和Hardy之间最初的通信中隐约看出。Hardy急切地要求Ramanujan提供一些证明，尤其在素数理论方面。然而，Ramanujan非常不情愿提供这样的证明。我们认为这样的原因是Ramanujan很清楚他在素数理论中的证明是不严谨的。事实上，后来Ramanujan确实给Hardy寄去他在素数理论中的一些论点，实际上在他的回复中，Hardy仔细地向Ramanujan指出某些过程是不合理的[7,pp.87-89]。类似地，Ramanujan在计算大类积分和对许多无穷级数求和时的有力步骤缺乏严谨性。由于Ramanujan很可能害怕提交其结果没有得到严格证明而不能发表论文，因此要求Narayana Aiyar提交研究公告是一种手段，通过这种方式，他可以在不使自己的方法受到严格要求的情况下获得一些荣誉。
Ramanujan写给Hardy的两封信是在Narayana Aiyar的帮助下写的，他强烈建议Ramanujan接受Hardy的邀请去剑桥。Narayana Aiyar和Ramanujan前往纳马卡尔的寺庙，在那里，女神Namagiri允许Ramanujan接受Hardy的请求。Narayana Aiyar随后不得不与Francis Spring爵士达成让步，以便Ramanujan可以离开他在港口信托的职位。尽管Francis Spring爵士始终支持Ramanujan，但他在办公室遵守严格的规定。Narayana Aiyar经常在家开玩笑地称他为“oosi milagai”，一个指代各种热带的绿色辣椒的泰米尔语名称。
4.数学贡献
1907年，Narayana Aiyar成为印度数学俱乐部的创始成员，不久之后，该俱乐部被改名为印度数学学会。他从1907年到1910年担任第一助理秘书，后来从1914年到1928年担任财务主管。显然，在他离开圣约瑟夫学院后，他所担任的行政职务阻碍了数学活动，但在1907年，他显然获得了新的生命，因为他开始为《教育时报》提供问题和解决方案。两年后，他开始在新成立的《印度数学俱乐部杂志》上投稿和解题，该学报于1912年更名为《印度数学学会杂志》。除了将Ramanujan的定理两次传达给印度数学学会外，Narayana Aiyar本人还在《印度数学学会杂志》上发表了两篇论文[5，6]，更早的一篇发表在《印度数学俱乐部杂志》上。
二十世纪早期，印度学校和大学的数学教学反应了英国的数学教学。重点是在解决问题上，而不是发展理论。《印度数学学会杂志》上发表的文章的内容在本质上与《杂志》上发表的问题和解决方案没有什么不同。此外，如果有人检查Ramanujan的早期论文和发表在《印度数学学会杂志》上的几个问题，其中发表在《杂志》同一期的几个清楚地反映了数学的本质，当时还在印度教授。而Narayana Aiyar的问题和解决方案也反应了当时印度流行的那种数学。Narayana Aiyar在《教育时报》上的问题和解决方案将首先被描述。然后我们简要地讨论他在《印度数学俱乐部杂志》和《印度数学学会杂志》上的问题和解决方案。提交给《教育时报》的问题的平均难度可能高于提交给《印度数学俱乐部杂志》和《印度数学学会杂志》的问题的难度，所以我们将重点放在前一组问题上。
在1907年至1911年期间，Narayana Aiyar一共提交了26个问题给《教育时报》。在同一时期，他对其他投稿人提出的问题的14个解决方案也发表在《教育时报》上。事实上，除了一个添加的解决方案，他提出的问题和解决方案都在1907年至1911年间发表了。所提出的26个问题中，有12个是分析，主要是关于积分的；13个是几何学，大多出现在1909年和1910年；剩下的问题是行列式。在Narayana Aiyar解决的问题中，只有三个是分析；四个是代数，包括行列式；七个是几何，在他解题期快结束时；一个是组合数学；一个是概率。Narayana Aiyar的许多问题，尤其是在分析和几何方面，都非常困难。事实上，他提交的26个问题中有13个没有公布解决方案。Narayana Aiyar的几何问题大多是关于初等欧几里得几何（主要是二次曲线），并以阿波罗涅斯方式综合解决。术语“综合几何”指的是欧几里得式公理几何，与基于坐标或其他分析手段的几何组织形式形成对比。在个人交流中，伊利诺伊州的同事John Wetzel认为“我认为使用综合方法来解决这些问题需要相当的独创性，”而希腊几何学家Hatzipolakis说“它们很有趣，在我看来值得几何学家的注意。”
那些在《教育时报》上提出并解决问题的人，除了Narayana Aiyar，还包括几名印度数学家，他们同样也在《印度数学学会杂志》上突出地发表了文章和问题。这些人包括Naraniengar、Narayanan、Sanjana和Ramaswami Aiyar，印度数学学会的创始人，也是Ramanujan在1910年寻求其办公室职位的人。Narayana Aiyar解决了Sanjana提出的三个问题，Sanjana解决了Narayana Aiyar的一个问题。回想Ramanujan发表的第二篇论文，题目是“关于Sanjana教授的问题330”[12][13,pp.15-17]。“问题330”指的是Sanjana在《印度数学学会杂志》问题部分提出的一个问题。在[12]中，R
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