特征值、特征向量及对角化在环境科学中的应用
作者：坦维尔·普林斯；涅夫斯·安古洛
国籍：美国
出处：《Applied Ecology and Environmental Sciences 》
中文译文：
摘要：特征值和特征向量通常在学期中期讲授，这个模块可以在对角化的主题之后立即实施。与其他模块相比，学生将看到一些前言课题的应用。这也显示了特征值和特征向量在环境科学中的一种快速应用。人口增长模型有不同类型的建模，但在这个模块中，我们将引入莱斯利（Leslie）类型的矩阵来模拟人口。更恰当地说，这个模块属于“人口生态学”的领域。
关键词：工程；教育；线性代数；模数；STEM
1.介绍
把理论和应用连接起来是一个具有挑战性但很重要的问题。这对所有学生都很重要，尤其是主修 STEM 的学生。我们需要激励我们的工程专业学生，使他们能够在教育和职业生涯中取得成功。正如我们从数学和其他 STEM 相关学科的多年教学经验中看到的那样，从本质上讲，激励并不是一件容易的事。谈到 STEM 教育，这将成为一项更加艰巨的任务。这在一定程度上可能是因为在 STEM 相关学科中，要求学生更加专心、更加努力来理解困难的概念。最重要的是，我们正在研究的学生群体大多数是承担家庭责任的全职员工。他们中的大多数是少数民族学生，在他们的个人和职业生活中还有许多其他社会、经济和政治问题需要处理。对于夜班的学生来说尤其如此，他们在经过一天的长时间工作后，在课堂上难以集中注意力，即使他们理解了讲座内容，也难以在未来（尤其是在考试期间）掌握知识并加以运用。事实上，我们微积分I班的一名学生发表了以下评论：“我真的很难睁开眼睛，在讲座的前 20 分钟后保持注意力对我来说几乎是不可能的。渐渐地，随着学期的进行，教室变成了我的卧室。”
上面的评论与研究结果非常吻合。麦基奇指出以下几点：在典型的50分钟讲座中，学生保留了前10分钟所传达内容的70%，但仅保留了后10分钟的20%。如果我们真的想传达我们的信息，我们需要在学生学习风格的范围内以多方面的方式编排“材料”。 （麦基奇，1994 年）。
类似的评论可以在(Engle amp; Tinto, 2008), (Banks, 1988), (Susan amp; Linda, 1998), (Ormrod, 2003)和(Bailey amp; Alfonso, 2005)上找到。因此创建模块提供了一种将枯燥的理论与现有应用程序联系起来并激发和吸引学生兴趣的方法。该模块尤其是线性方程组的应用，可以在各种应用中出现，包括以下内容：
1.各种现实生活的自然数学模型的应用；
2.非线性模型的近似；
3.解决其他数学问题的一个步骤。
包括常微分方程和偏微分方程人口建模是一项复杂的任务。另一方面，学生们很早就被介绍了非常特殊的建模类型，特别是在微积分前，学生们在那里学习了指数增长和衰减。当然，在现实生活中，影响人口规模和增减速度的因素有很多。在 Leslie 矩阵模型中，我们特别考虑了不同的“年龄组”以及相应的死亡率和繁殖率。有时年龄组会被生命周期的不同阶段所取代，例如，在青蛙的情况下，我们可能会考虑“幼虫”、“蟾蜍”等。
我们将从一个鸟类的例子开始，并解释这个过程。但在此之前，让我们从预微积分的热身示例开始。
2. 学生学习成果
1.了解种群动态和种群生态的概念
2. 应用对角化来分析人口动态的长期行为。
3. 理解 Leslie 矩阵来模拟人口。
4. 使用特征值和特征向量分析人口模型。
5. 理解 Leslie 矩阵的不同元素代表什么。
6. 使用 Mathematica 进行计算。
3. 理论背景
在这个模块可以在课堂上实施之前，学生将学习以下主题：
1.特征值和特征向量；
2.对角化矩阵；
3.使用对角化求矩阵的n次方。
以下主题将作为本模块的一部分涵盖，并且不需要在课程开始之前教授实施，但如果有人想这样做会有所帮助向学生介绍这些想法：
1. 使用“mathematica”查找特征值和方阵的特征向量。
3.1. 热身示例：指数和多项式增长/衰减
对于某个城市（在这个例子中称为城市 A），下面给出了从 1980年开始的30年期间的总人口图表。政府每五年统计一次人口，因为这是一项昂贵的任务。人口以千为单位。
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1980 |
1985 |
1990 |
1995 |
2000 |
2005 |
2010 |
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12 |
14 |
20 |
31 |
48 |
74 |
109 |
我们将t=0表示为起点，t以五年为单位。所以t=1表示1980年之后的五年，t=2表示1980年之后的10年等等。这样测量将与表格完美对齐。
问题1：将上表中的数据绘制在一张绘图纸上。 轴表示时间，轴表示总人口。 因此您将使用 t = 0、1、2、3、4、5 和 6 的七个值。
问题2：找到近似建模数据的三次多项式。换句话说，从 开始，目标是找到最接近给定数据的 a、b、c 和 d 的值。如您所见，我们需要找到四个未知数，因此我们至少需要四个方程。代入表中的前四个点（t = 0,1,2 和 3 的数据）并写出四个方程。 现在使用mathematica或任何其他CSA来求解系统。检查函数在t = 4、5 和 6 处的值。您的近似值有多接近？
问题3：现在找到相同的未知数（a、b、c 和 d），但这次使用最后四个点——与 t = 3、4、5 和6相关的点。所以你会得到一组不同的线性方程。你得到完全相同的函数还是你的 a、b、c 和 d 值有点不同？ 检查 t = 0,1 和 2 的函数值。
问题4：现在尝试为给定的表找到一个指数模型。所以我们正在寻找形式为的函数，其中c是初始人口（在我们的例子中当然是12千），k是增长率。在这种情况下，我们只需要一个点（除了初始点）来找到“k”的值。使用 t=1,2,3,4,5和6的点为指数函数找到六种不同的模型。对于每种情况，填写其他值的表格（四舍五入到最接近的千位）并进行比较。因此，例如，对于t=2，对应的k=0.24684值（跳过计算）和函数模型是并且在这种情况下的完整表是：
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1980 |
1985 |
1990 |
1995 |
2000 |
2005 |
2010 |
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12 |
14 |
20 |
31 |
48 |
74 |
109 |
使用t=2找到的函数模型g(t)的近似表。
3.2. 典型例子及问题介绍
在热身示例和一些讨论之后，学生们准备好解决实际的原型问题。通过这个例子，我们将向学生介绍莱斯利矩阵的基本思想。
首先，让我们考虑亚马逊雨林中特定种类兔子的某些雌性种群。假设这种兔子只有以下四个年龄组：
P0 = 0 岁 = 在当前繁殖季节出生的任何兔子。
P1 = 1 岁 = 存活到年底并进入下一阶段的任何0岁兔。
P2 = 2 岁 = 存活到年底并进入下一阶段的任何1岁兔。
P3 = 3 岁 = 存活到年底并进入下一阶段的任何2岁兔。
我们将假设该种兔子的生命周期在这四个步骤中结束。也就是说，任何在年底生存在年龄组3中的兔子，全部（或大部分）都会死亡。幸存下来的有限数量不会影响总数，可以忽略。
现在每个年龄段都有一定的死亡率和一定的繁殖率。我们现在将在下面描述：
P0 = 这个组太年轻了。所以这没有繁殖率。
P1 = 假设这个年龄组平均产生1.2只能存活的雌性兔子。
P2 = 这是年轻代，因此繁殖率最高。假设这个年龄组平均会生产1.5只雌性兔子，它们会存活下来。
P3 = 由于这是最老的年龄，我们可能会猜测这个年龄组的繁殖率最低。假设这个年龄组平均会生产0.7只雌性兔子，它们会存活下来。
我们还将对每个年龄组到下一个年龄组的存活概率做如下假设：
50%的P0种群从t到t 1存活；
35%的P1种群从t到t 1存活；
15%的P2种群从t到t 1存活；
0%的P3人口从t到t 1存活（记住年龄组在 P3 停止——这是假设）。
问题5：与小组讨论——上面给出的这些数字有意义吗？有哪些因素会影响现实生活中的计算？
在任何给定时间，我们将总人口表示为一个向量：
这代表每个年龄组在时间“t”中的人口。
我们想从中找到。这将简单地由以下矩阵乘法给出（使用上述所有信息）：
问题6：小组讨论——上面给出的数据如何拟合上面的矩阵方程？这个四乘四矩阵被称为莱斯利矩阵。由于我们只考虑了四个年龄组，我们最终得到了一个四乘四的 Leslie 矩阵。
问题7：让我们假设初始人口由（以千为单位）给出，时间“t”以年为单位。
使用这个初始人口和矩阵方程来找出 1 年后和 2 年后的人口。
3.3. Leslie矩阵的特征值和特征向量：在mathematica的应用
首先输入我们在前面的例子中考虑过的Leslie矩阵：
在数学中，我们使用列表的列表来输入矩阵。所以上面的矩阵写成：
请注意，我们将此Leslie矩阵命名为“L”。“特征系统”命令用于查找特征值集和相应的特征向量。
特征系统[L]
问题8：首先证明如果是矩阵，是实数特征值是对应的（复数）特征向量，其中是实部，是虚部，那么 和都是 具有特征值的的特征向量。
问题9：在这种物理情况下，所有的正特征值和相应的特征向量是什么意思？ 在这种物理情况下，所有负特征值和相应的特征向量是什么意思？
问题10：小组讨论——使用 Leslie 矩阵的人口建模与使用“多项式”或“指数”函数的人口建模有何不同？
3.4. 分析 Leslie 矩阵的长期行为
我们要分析 Leslie 矩阵 L 的长期行为。也就是说
我们将使用 mathematica 的“Table”和“MatrixPower”命令来完成。 要列出 L 的前三十次幂，我们将使用：
问题11：小组讨论——查看 Leslie 矩阵的前30次幂。你看到任何限制行为吗？尝试计算更多功率并进行更多分析。
我们还可以计算应用于特定初始向量的矩阵的幂。也就是说，我们将从给定的初始种群和 Leslie 矩阵开始，并尝试找到初始种群接近的长期种群（如果有的话）。现在返回问题7并使用该问题中给出的相同初始条件。我们只需使用以下命令：
这将使人口在10年后。
问题12：使用上面的命令查找 15 年后、20 年后和 50 年后的人口。 基于此，您的结论是什么？ 如果初始种群是？
事实上，我们可以用 mathematica 做更多的事情。实际上可以使用命令：
这将象征性地计算L的k次方。现在我们可以使用“Limit”命令来找到限制行为：
问题13：你
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