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条纹轮廓和拟合
4.1条纹检测使用手工数字仪
如果一个大的倾斜是在一个完美的平面波前与参考平面波前发生干涉的泰曼–格林型干涉仪中提出的，那条纹会看上去直的、平行的、等间距的。如果分析的波前不是平面的，那条纹会是弧形的而不是直的。这些条纹被称作等厚条纹因为它们代表了和恒波分离的点的轨迹。波前像差可以很容易地从对他们偏离直线的目视检查中估算出来。如果理想的直形型条纹的最大偏差是Delta;X并且平均条纹之间的距离等于s，那它在平面上的波前偏差（波长上的）等于Delta;x/s。
这种直观的方法给予了我们取决于做出测量的人的技能的精确度。在最好的情况下，我们可以近似到lambda;/20；规范已建立用于定义和分类视觉检测错误（Boutellier和zumbrunn，1986）。即使图像质量可以由干涉图中的人工测量确定（普拉特等人，1978）。一些测量设备被提出来帮助这种条纹测量（戴森，1963；露，1964；扎诺尼，1978），并且这样的生产依旧在很多用测试板作为参考的生产基地中使用。
最简单的干涉定量分析方法包括视觉识别和跟踪干涉条纹中的条纹。在这种方法中，拍摄干涉图，然后数码版用来某些选定的x，y坐标位于干涉条纹峰值处的干涉图点输入计算机中。相比之下，京斯莱克（1926–1927）通过测量上的几个在干涉图中的条纹峰上的点来计算初级像差系数。
或者，为了避免拍照的需要，可以用电视摄像头捕捉干涉图的图像并显示在电脑屏幕上，在那里条纹的峰值可以手动采样（Augustyn et al.，1978；奥古斯汀，1979a，B）。当用电视摄像机对图像进行数字化时，机械振动会产生误差。但有些方法可以减少这些错误(Crescentini and Fiocco, 1988; Crescentini, 1988)。
对于手动采样，条纹被分配成从一个边缘增加到下一个的连续数字。这个数字是干涉级数（m）。一个大到足够消除闭合条纹的倾斜是没有问题的。每次选中一个条纹上的点时，x和y坐标由图形板或计算机读取并且指定了级数。这个数是每一次新的条纹开始被测量时由电脑操作员输入的。在条纹采样点上的波前变型W（x,y）是：
W（x,y）=mlambda; (4.1)
在所有测量中，n的值可能与实际m数不同，但这不重要。更重要的是了解m数在哪个方向上一定会增加；否则，波前变型的迹象将不确定。从干涉图像的单一图案中去确定条纹级数在哪个方向上增加是不可能的，除非任何元件的像差标识都是已知的。比如说，知道倾斜的大小就足够了。这个标识必须在调整干涉仪去拍摄干涉图像时确定。
- (b)
图4.1 干涉条纹中某些点的条纹位置和阶数的选取：（a）开放条纹和（b）闭环条纹。
如果有些条纹形成闭合环状，那么级数的分配就比较困难但如果仔细做也不是不可能（图4.1）。许多系统已经开发了实时对固定的干涉图像进行半自动分析(Jones and Kadakia, 1968; Augustyn,
1979a,b; Moore, 1979; Womack et al., 1979; Cline et al., 1982;
Trolinger, 1985; Truax and Selberg, 1986/87; Truax, 1986;
Vrooman and Maas; 1989)。有关自动分析条纹的问题的评论已由几位作者发表(e.g., Reid, 1986/87, 1988; Choudry, 1987)。
4.2 条纹跟踪和条纹框架
自动化过程的下一个阶段是检测条纹，通过用二维光探测器或电视摄像机读取干涉图来分配级数，并对图像进行计算机分析。本文的目标是通过基于线跟踪、阈值比较或自适应二值化的算法来搜索条纹的最大值或最小值。自20世纪70年代末以来，条纹极大值的自动定位就可使用了(例如 Hot and Durou,1979)。当最大值已被定位，进行后续的条纹变薄或框架化(Tichenor and Madsen, 1978; Schluter, 1980; Becker et al., 1982; Yatagai et al., 1982b; Nakadate et al., 1983; Robinson, 1983a,b; Becker and Yung, 1985; Button et al., 1985; Osten et al., 1987; Eichhorn and Osten, 1988; Gillies, 1988; Hunter et al., 1989a,b; Liu and Yang, 1989; Matczak and Budzinski, 1990; Yan et al., 1992;Huang, 1993; He et al., 1999)。框架化是基于在自适应阈值，梯度算子，分段近似，细化程序或空间频率滤波的基础上的分割算法来实现的对当地辐射峰的搜索。其结果是由一行像素构成的干涉图的框架。
Servin等人（1990）描述了一种他们称之为橡皮筋的技术来发现条纹的形状。该方法基于用一种吸引这些点至条纹的最大处的类似 橡皮筋的方式来将一组点连接在一起。
在取样条纹之前，对干涉图加上倾斜是很有用的。这种倾斜的直条纹，条纹间距的减少，使其更均匀。倾斜的另一个好处是，它使条纹测量和级数识别更容易。当在条纹上定位时，条纹之间的宽间距增加了准确性。另一方面，条纹的大数量增加了必须取样的条纹数目和测量信息的数量，所以最好确定一个最佳的中间倾斜。对于数字采样的情况，Macy (1983) and Hatsuzawa (1985) 使用二维光探测器阵列确定最佳的条纹间距产生了大约四像素的条纹分离。
条纹分析程序可以概括为以下（Reid, 1986/87, 1988）：
- 图像空间滤波
- 条纹极大值的识别
- 条纹级数的分配
- 条纹间插值结果
接下来的几节将详细讨论这些步骤。
4.2.1图像空间滤波
空间滤波是用来降低噪声的。这种降噪可以用几种不同的方式进行(Varman and Wykes, 1982)。如果噪声的空间频率高于条纹的空间频率，则宜采用低通滤波。当噪声的空间频率远小于条纹的空间频率时（比如，由于不均匀光照），高通滤波可以改善条纹对比度。空间频率噪音与条纹相似时会出现更困难的情况。有时噪音会固定在光圈上（比如，由于衍射粒子在干涉仪组件里）；在这种情况下，我们可以在移动条纹并改变lambda;/ 2的光程差来得到第二个干涉图，所以两个干涉图是互补的（即一种图案中的暗纹对应另一种图案中的明纹）(Kreis and Kreitlow, 1983) 。如果我们从另一个方向减去一个条纹图案，固定的噪音将大大减少。
4.2.2条纹极大值的识别
框架技术发现了在整个数字化干涉区域的条纹峰值。可以用许多不同的方法来检测条纹峰值。Schemm和Vest（1983）使用非线性回归分析的最小二乘拟合的辐照度测量中的一个小区域来降低噪声和定位条纹峰值。Snyder（1980）在和条纹垂直的方向描绘条纹轮廓，这是通过使用能找出条纹图案对称点的自适应数字滤波器来还原数据和第一平滑做到的。易等人（2002）用最小二乘法拟合发现条纹的最大值。Mastin and Ghiglia (1985) 通过快速傅里叶变换将条纹图案框架化，然后定位的主导空间频率在每个条纹附近，还用在一个条纹峰值附近的一套逻辑变换。也采用过零算法(Gasvik,1989)。
（a） (b)
(c)
图4.2 Yatagai矩阵寻找条纹最大值（见文本）。
这些峰值也可以使用5times;5像素矩阵检测（图4.2），被Yatagai等人提出（1982b）。假设在图4.2a矩阵是顶部的中心垂直条纹。然后，在图4.2b阴影像素的照度平均值将小于点像素中辐射的平均值。同样的原理也适用于水平条纹和倾斜条纹（图4.2c）。因此，检测条纹极大值的条件是：
P00 P0-1 P01=P-21 P-20 P-2-1 （4.2）和
P00 P0-1 P01=P21 P20 P2-1 （4.3）
在x方向；
P00 P-01 P10=P-1-2 P0-2 P1-2 （4.4）
和
P00 P-10 P10=P-12 P02 P12 （4.5）
在y方向；
P00 P-1-1 P11=P-22 P-21 P-12 （4.6）
和
P00 P-1-1 P11=P2-2 P2-1 P1-2 （4.7）
在x,y方向；
P00 P-11 P1-1=P22 P21 P12 （4.8）
和
P00 P-11 P1-1=P-2-2 P-2-1 P-1-2 （4.9）
在-x,y方向。
当满足这些条件中的至少两个时，该点被假定为在一个条纹上。图4.3展示了一个用这个方法的条纹框架的示例。Yu等人（1994）表明，如果干涉图照明有很强的调制（例如，如果使用大口径高斯光束），则条纹的中心峰值横向偏移量很小。当干涉图照明的较大斜率存在时，这种偏移就更大。提取的框架可能包含许多断开，因此下一步是找到这些并做一些修正。许多复杂的方法已经被设计来执行这个操作（Becker等人，1982）。对于在第三章中描述的简单的干涉图噪声低、对比度好、矩阵算子可以用到。
4.2.3 条纹序号的分配
将序号分配给条纹是非常重要的一步。在计算波前变形时，一个条纹的误差就会导致显著的误差。如果引入大量倾斜来消除闭合条纹，则此步骤可以非常简单(Hovanesian和Hung, 1990)。 在这种情况下，序号从一个条纹到另一个条纹单调地增加。有时，然而，当这样的一个大的倾斜是不可能的或不实际的，我们可以用两个不同颜色或略有不同的光程差的干涉图（Livnat等人，1980）。这种方法相当于光学工厂中使用的方法，工厂的测试板用来确定表面是否相对于测试板呈凹面或凸面(Mantravadi等人, 1992)。Hovanesian and Hung (1990)研究了三种相似的方法来识别条纹序号。
图4.3 框架和干涉条纹细化：（a）最初的干涉，（b）一个方向峰值检测结果，（c）两正交方向峰值检测结果以及（d）去除瞳孔外噪声的薄框架。(改编自 Yatagai, T.,in Interferogram Analysis, Digital Fringe Pattern Measurement Techniques, Robinson, D.W. and Reid,G.T.,Eds.,Institute of Physics,Philadelphia, PA,1993.)
Trolinger（1985）讨论了全自动条纹分析的问题，而且在自动方法比较困难的情况下，经常需要通过条纹的视觉观察来确定序号，在这种情况下交互式程序是方便的。这些半自动算法允许操作员在干涉图处理过程中与计算机进行交互。Yatagai等人（1982b）报道了一个用来分析干涉的交互系统，在这个系统中经营者们使用光笔表明决定。Funnell (1981) 开发了一个操作员通过键盘命令帮助机器进行条纹识别的交互系统。然而Yatagai等人(1984)报道了另一种交互系统来进行超大集成电路圆片平面度测试。最终，Parthiban
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