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高阶非线性薛定谔的带隙和点孤子具有周期性势能的方程
摘要：在一维双调和非线性薛定谔（NLS）方程中的局域化和动力学研究了外部周期性电位的存在。带隙结构使用弗洛凯—布洛赫确定理论和其色散曲线的形状作为四阶色散耦合常数beta;的函数讨论。与经典的NLS方程（beta;= 0）相反，外部周期性的势能在其中有一个缺口频谱开始为任何非零的潜力，在这里发现，对于某些负的beta;，存在非零潜在强度的阈值低于此值时，不存在间隙。为了增加电位幅值，色散曲线的形状急剧变化，导致局部非线性模式的形成，在经典的NLS限制中没有对应物。引入捕获的高阶双频带紧束缚模型并直观地解释了与光谱波段相关的大部分数值结果。格子孤子对应到位于半无限和第一带隙中的谱特征值被构造。在反常色散,即，beta;lt;0（其中对于自聚焦非线性，在不存在时不存在局部非辐射孤子的外部电势），具有存在于第一带隙中的特征值的非线性有限能量平稳模式被发现并且他们的属性被讨论。通过线性研究了各种局域晶格模式的稳定性稳定性分析和直接数值模拟。
一．引言
线性和非线性光波在非均匀介质中的传播是具有重大科学意义的主题，具有深远的技术应用[1,2]。 控制这种光波现象的方程是存在外部电势时的非线性薛定谔方程。 在均匀介质中，线性波通常倾向于分散或衍射，而非线性倾向于抑制或增强这种行为，或导致形成复杂的相干结构。
另一方面，不均匀性的存在可以深刻地改变波动力学，其线性和非线性行为在很大程度上取决于其传播的介质是周期性的，准周期性的还是随机的。 一般来说，对于在周期性介质中传播的线性波，频谱由由间隙分开的闭合间隔（称为频带）的无限联合组成。 场密度（或强度）呈现周期性模式。 如果介质是随机的，那么图片是完全不同的。 在这种情况下，频谱密集并且相应的本征函数局限于空间中，这种现象称为安德森定位。 最后，对于在准晶体中传播的波（周期性和随机之间的状态），光谱可以呈现具有相应的局部化在空间中的本征函数的分形结构。
在周期性结构中，波动力学通常受色散和自聚焦（吸引）或自散焦（排斥）非线性之间的相互作用支配。这两种效应之间的微妙平衡导致形成非线性相干结构，在文献中称为晶格孤子[3]。这些非线性晶格波首先由Christodoulides和Joseph [4]在离散情况（耦合波导阵列）中预测，后来在光折变光学晶体[5-7]中预测。在这些开创性的论文之后，大量的研究工作已经出现，报道了周期性，准晶体和随机介质中各种奇异晶格孤子结构的存在和稳定性[8-23]。此外，在向列型液晶中也报道了离散传播和晶格空间孤子。在这方面，非局域性引起了新颖，丰富和可控的现象，例如各种Floquet-Bloch频带之间的全光朗道齐纳隧穿，开关以及可调波导阵列中的波束控制[24-28]。
到目前为止，大多数关于晶格孤子的研究都集中在结合外部电势（线性和/或非线性），类Kerr和/或光折变非线性以及几乎不关注的二阶衍射或分散项的模型上 全部）在具有更高阶色散或衍射的周期性结构中定位。
在本文中，我们研究了一维时间周期晶格中的波传播，这种晶格由经典的自聚焦和散焦非线性薛定谔（NLS）方程在四阶色散
在本文中，我们研究了一维时间周期晶格中的波传播，这种晶格由经典的自聚焦和散焦非线性薛定谔（NLS）方程在四阶色散
其中在光学的情况下，复数值函数E（t，z）对应于电场的缓慢变化的幅度，z是缩放的传播距离，t是时间变量，beta;是取决于 为正（正常色散）或负（异常色散），并且g =plusmn;1。 在等式 （1）中，V（t）表示时间晶体，其可以通过干扰具有不同频率的两个时间谐波而在光学上形成（作为示例）。 确定相应线性化问题的光谱性质，并确定其带结构作为耦合常数beta;的函数。我们发现，在反常色散体系中，对于某些beta;值，只有超过非零阈值的潜在强度才会打开频谱中的间隙。 这与经典的beta;= 0情况相反，在这种情况下，光谱中的间隙（对于线性问题）打开任何任意强度的周期性势能。 有趣的是，我们注意到，随着势能的增加，色散曲线（即曲率）的几何结构将其形状从凹面向上改变成凹面。 对于beta;的正值和负值都可以观察到这一点。这些数值结果中的一部分是使用双带离散双原子链解析解释的。 在半无限和第一间隙中对应于特征值的格子孤子是数值构造的。 重要的是，我们在反常色散情况下发现了固定的局部态，在没有外部周期势（g = 1）的情况下，它们不存在。 解决了各种非线性模式的稳定性问题。
本文的结构如下,在第二部分,我们使用Floquet-Bloch理论建立了一个用于构造能带结构的通用框架，随后对离散曲线的几何形状进行了详细的数值研究。 在第三部分我们提出了一个双波段离散紧束缚模型来直观地解释我们在前几节中找到的结果。第四部分讨论具有零节点和多节点的非线性晶格模式以及在第五部分中讨论稳定性（基于线性稳定性分析以及直接数值模拟）。最后，第六部分总结。
Ⅱ. FLOQUET-BLOCH理论和光谱带隙
我们考虑一个具有基本周期T的格子，并用表示它的双重周期。 为了确定带隙结构的性质，我们将方程 （1）通过写，，并以为单位获得以下谱特征值问题：
F=lambda;F (2)
受准周期边界条件的限制
F(t T)=F(t) (3)
其中mu;是Floquet指数和
方案的解决方案。（2）满足方程 （3）使用Floquet-Bloch（FB）理论构建，该理论使人们能够分解产品形式中的本征函数F
F（t,）=G(t,) (5)
其中G（t）是一个T周期函数。等式（2）至（5）构成了本征函数G（t）和相应特征值lambda;的周期性边值问题。当beta;= 0时，已知的谱由由间隙分开的称为谱带的闭合间隔的无限联合组成。正如我们后面将会看到的，beta; 0情况下的带隙结构是非常平凡的，它的色散曲线表现出根本不同的形状（因此支持新型晶格孤子）取决于四阶色散项是正常的还是反常。
A.正常分散状态
首先，我们考虑在数量为的近无格情况下的问题（2）。 （潜在大小的一个度量）与1相比非常小。在这个极限中，频带曲线近似给出（以的前导顺序）
(6)
其中。该表达式对于离开布拉格点的频率mu;有效，其由，整数，在布拉格点s附近，对于s =plusmn;1，色散关系的正确形式是利用一阶退化摄动理论
(7)
对于满足的频率有效（1）其中，现在有几个说法是顺序的：（ⅰ）第一个布里渊区（BZ）边缘的间隙的量度，即独立于beta;（至少与中的前导顺序）（ii）任何足够小的周期性势能都会在光谱上产生一个类似于beta;= 0时出现的缺口。BZ边缘附近的色散带（或有效质量）的曲率确实会发生变化，并随beta;的增加而增加大。 正如我们后面将要看到的那样，对于中等和大的电位振幅值，会发生剧烈变化，导致频带中心（和边缘）频散曲线的曲率发生变化。
为了系统地探索带隙结构的形状并验证扰动结果，并突出其新特征，我们将在整篇文章中考虑周期性形式的潜力
(8)
我们已经数值求解方程。（2）使用附录A中概述的傅里叶搭配方法（条件（3））（该方法在物理学文献中也称为部分波展开）。 为了比较，我们还使用了谱和有限差分矩阵[29,30]。 图1（a）和1（b）显示的前三个带隙。阴影区域（称为FB或谱带）表示支持具有实数mu;的有界Bloch波（5）的特征值和电势振幅对（，而非阴影区域（带隙）对应于的复数值。 后一种情况可以支持从BZ边缘或中心分叉的局部点阵孤子[31,32]。 此外，实线（虚线）描绘每个单一波段的最小值（最大值）。 从图1（a）可以看出，在浅晶格极限中的色散曲线的整体一般特征与beta;= 0情况类似，即间隙的立即打开。 为了比较，我们在图1（c）中示出beta;= 0的情况。 然而，我们指出，对于中等晶格强度，会出现与分散带的几何特征有关的显着和意想不到的行为。
第一个BZ中心（边缘）的第一个带的局部曲率在时从正值（负值）改变为时的负值（正值）（见图2）。 当然，翻转第一频带的局部凹度所需的临界值取决于四阶色散项：beta;越大，越高。 类似的观察已经在[33]中报道了曲折离散模型，其中色散带的曲率仅在BZ的边缘处发生变化。 这种局部行为同样延伸到高阶频段。 例如，在时，第二个频带在BZ的中心改变其曲率，但是这次从负向改变为正。 值得注意的是，第一和第二FB带最小值和最大值点处的曲率符号不会改变（见图2中的第一和第三行）。
一般而言，Floquet-Bloch模式的对称性和周期性决定了将从带边分叉的晶格孤子的种类。 考虑到这一点，我们在图3中示出了典型的实数值FB模式，其周期2和4分别对应于和。 当从半无限（第一）间隙接近第一频散曲线时，带边位置（单位为）取决于。在浅晶格极限中，这发生在模式具有如图3（a）或3（b）所示的周期2（4）。
然而，在深点阵极限中情况并非如此，对于相同的beta;，从半无限（第一）间隙遇到的能带边缘现在位于处，并且新的对应FB模式现在具有 期间4（2）。 与FB模式的周期性相关的相似论点以及边缘的翻转同样适用于第二个带[图。 3（c）和3（d）]。 正如我们将在第四部分看到的那样布洛赫模式的这种切换将导致形成从新形成的频带边缘分叉的新型格子孤立波。
B.异常分散状态
在本节中，我们研究负beta;的能带结构。 我们已经确定了两个主要的特征，它们在状态中没有任何对应关系，首先，在浅的晶格极限中，我们已经数值地发现了一个非零的阈值，这个阈值取决于beta;，在此之下没有频谱间隙。 与beta;= 0的情况形成鲜明对比，对于任何非零的周期性势能，存在一个间隙，这种行为在图4中清楚地说明了。
我们的数值实验似乎表明，只有在时才需要打开间隙并改变为变小。
为了支持我们的数值结果，我们诉诸微扰理论，假设一个浅的晶格极限和耦合常数beta;满足.在这种情况下，曲线和在点处相交。 在该点检查式（7）表明对于任何都有一个的。 （回想和是任意小的），因此不存在全球差距。 我们想指出，缺乏小势能的全球差距让人联想到具有周期性的V的二维线性薛定谔方程时才存在谱中的间隙。 所以实质上，维度与高阶色散之间存在“权衡”。 对于，图5显示了全范围的特征值与电位幅度。我们观察到的第二个有趣的性质是中等数值处的第二频带的变平和局部凹度变化，随后在较高U0处的第一频带变化。 请注意，这与情况下发生的情况相反。 具体来说，图6显示了BZ中心的频带动态放大。 第二个色散谱带从中等电位值的V形曲线演变为更高强度的单一驼峰形式。
尽管与beta;gt; 0相比，异常情况下的频带曲线发生急剧变化，但FB模式似乎在很大程度上保留了BZ中心的对称性和周期性，而边缘处的奇偶性略有不同 的BZ（见图7右栏）。
III.紧结合限制：高阶双原子链
在前面的章节中，散射带曲线的一些有趣的结构是在中等到深的晶格状态下获得的。 正是在这个极限中，可以使用简化的线性离散双频段紧束缚模型，直观地理解和解释前面结果的一部分。 我们想到的配置如图8所示。基本单元由沿着整数索引n的点阵周期性扩展的两种“原子”组成。 两个原子的第n个位置分别标记为和。 我们假设的最近邻居和次最近邻居之间的耦合常数分别为 由1给出，。
描述这种线性耦合双原子链中波传播的方程由下式给出
然后，我们假设一个平面波解，即所谓的离散Floquet-Bloch模式
其中A，B是恒定的振幅，nu;是纵波数（空间本征能），Q是位于减小的BZ [-pi;，pi;]内的实Bloch动量。用方程 （11）和（12）代入方程 （9）和（10）我们发现只有当波数nu;满足时才存在非平凡解
(14)
注意承认对称性
在整篇论文中,我们将模型参数固定为例如c=2和，并且只考虑的正值。我们的结果可以通过使用对称关系（15）扩展到负的,j=1,2的情况。对于的各种值，色散关系如图9所示。很明显，分支形状（即曲率翻转）的局部几何结构有深刻的变化，而下部（）的图几乎不受影响。我们注意到，如果且为负值，那么较低频带曲率的符号变为增加，留下较高的波段不受影响。在第二部分的中观察到类似的定性行为。其中第一和第二带的“重定向”发生在中等至较大的电位幅度（接近紧密结合极限）。为了说明色散关系的局部行为，我们考察时的长波极限。在这种情况下， 方程（13）的产量
然而
仔细研究的表达式可以看出，较低的色散分支总是类似于具有正定曲率的向上抛物线，而上面的一个在某些时将其局部曲率从负变为正值。 进一步增加kappa;2的值导致间隙消失，并且对于所有较大的值，它都保持关闭[见图9（d）]。 当然，这是不切实际的，因为当次最近邻接耦合比最邻近耦合更占优势时发生这种情况。
群速度和群速度色散很容易从方程 （13）分别给出
如预期的那样，下分支的曲率在BZ的中心处保持为正，在边缘处保持为负。 另一方面，在时，上分支的群速度色散从负（正）变为正（负）。 这些离散的群组速度和曲率如图10和11所示。 图2和图6讨论分离和定性的问题
在图11中可以看出，下分支群速度色散的斜率在时为正，在时为负。上分支明显地将其群速度色散从负变为正 BZ的中心。
Ⅳ.格子和孤子
在这一节中，我们找到了方程的间隙孤子解。 （1）非线性系数g =plusmn;1，特征值驻留在第二部分的ⅡA和ⅡB中识别的半无限或第一带隙中。使用附录B中概述的定点光谱重整化方案，数值构造对应于中等电势振幅以及大振幅的正和负beta;解的族。回想一下，在没有外部潜力的情况下，已知[34,35]在回忆中，在没有外部潜力的情况下，已知[34,35]在g= 1的反常色散状态中，公式（1）不存在。 在这里，我们表明，存在一个周期性的势能可以“俘获”辐射，并导致
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