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玻色-爱因斯坦凝聚物中晶格费米子的拓扑超流态
作者：Jonatan Melkaelig;r Midtgaard, Zhigang Wu, and G. M. Bruun
翻译：罗雨晨
我们计算了浸没在三维玻色-爱因斯坦凝聚物(BEC)中的二维格子中的全同费米子的相图. 在BEC中费米子交换密度涨落，这导致了一种吸引的诱导相互作用. 得到的零温相图展示了拓扑超流相和相分隔区. 我们展示了如何利用玻色-费米混合物的灵活度去调谐这种诱导相互作用，使得最邻近格点间的配对最大化，而源于长程相互作用的相位分隔被抑制. 最后，我们计算了晶格中拓扑超流的Berezinskii-Kosterlitz-Thouless临界温度并讨论了实验的实现.
1.引言
自从Majorana模式的拓扑超流和超导被预言存在后，探测它们成了一个主要的实验目标. Majorana模式的实验证据已经在一维的线性结构中被报道，同时是一个有前景的实现一种二维超导体的候选. 然而，对拓扑超导性和超流性的明确探测仍然没有实现，部分原因是凝聚态物质系统的复杂性. 现在有几种利用洁净和高度自由的原子量子气来克服这个困难的提议. 第一个方案是基于通过p波Feshbach共振的费米气相互作用，但这种系统的寿命很短. 其他量子气的提议包含了基于光晶格、人造自旋-轨道耦合、驱动消退、双极分子和混合维度的费米-费米混合体的方案. 不幸的是，目前其中任何一个系统都没有被实现.
最近，我们中的两位（Z.W 和 G.M.B）阐明了一种混合维度的费米-玻色混合体组成的很有希望实现二维拓扑超流体的系统. 在这个提议中，全同费米子被限制在一个二维平面，同时它们通过在周围的玻色-爱因斯坦凝聚物的密度调制实现相互作用. 由于玻色-爱因斯坦凝聚物很强的压缩性，诱导相互作用很强，而且可以通过改变BEC的相干长度来控制作用范围. 这种灵活性可以用来使拓扑超流体的临界温度很高，同时保持三体损失很小. 当前文章的目的是检验这个费米子在二维光晶格中运动的有前景的方案. 光晶格提供了单点分辨光谱这种特殊的优势，这也为探测和操控Majorana边缘模式呈现了独一无二的机会. 我们因此研究了全同费米子在浸没在三维BEC的二维方点阵中运动的相图，其中费米子之间会产生一种吸引的诱导相互作用. 由此得到结论，基态费米子是一种拓扑超流，但系统仍然存在源于潜在的晶格中粒子-空穴对称的相分离不稳定的问题. 考虑这两种不稳定性的竞争，我们计算了费米子的零温相图，作为玻色-费米耦合强度和填充率的函数. 我们展示了如何利用玻色-费米系统的灵活性去调谐相互作用从而使配对强度最大化，并抵抗相分离使系统稳定. 解决这个棘手的问题的关键是通过改变BEC相干距离来调节相互作用的范围，从而在临近格点引起配对，但并不会越过最近邻产生很强的长程相互作用效应. 我们最后计算了超流相的BKT临界温度，并讨论了实验的实现.
2.模型
我们考虑总质量为m的费米原子在一个xy平面的二维方晶格中运动. 晶格在由质量的原子组成的三维BEC中，其中存在满足的很弱的相互作用，因此可以用Bogoliubov理论准确地解释. 这里代表凝聚物密度，代表玻色-玻色散射长度. 该模型在图1中有说明. 哈密顿量为
, （1）
其中t是最邻近格点的费米子之间的跳行矩阵元，在格点i处产生一个费米子，以动量k和能量在BEC中产生一个Bogoliubov模式，其中. 我们使用单位元令. 在赝势近似下，费米子和玻色子的相互作用为
. （2）
其中和分别是玻色子和费米子的波函数. 耦合强度是，是玻色-费米散射长度，是约化质量. 对于一个深的光晶格，费米子波函数可以被近似为，其中是位于的格点i最低级的Wannier函数. 我们用高斯函数来近似Wannier函数，，其中是晶格平面的矢量，和分别是二维晶格垂直和平行平面的势阱的振动距离. 将其代入方程（1），我们得到
（3）
来表述玻色-费米相互作用，其中是系统的体积，产生一个动量为k的玻色子. 我们有普通Bogoliubov关系，其中及.
图1. 混合维度系统的图示. 费米子（蓝球）在xy平面的二维格子中运动，其中晶格常数为a，跳行矩阵元为t. 格子浸没在三维BEC中（红球），费米子和玻色子通过强度为g的接触相互作用来相互作用.
3. 费米子的有效哈密顿量
由于玻色子存在于三维空间，而费米子被限制在二维格子中，我们预计费米子对BEC几乎没有影响. 另一方面，费米子之间通过玻色子彼此间相互作用，并且在这一节我们得到有效哈密顿量来描述这个. 一个费米子不是吸引就是排斥玻色子，因而第二个费米子就会感受到BEC局域密度的改变. 这就导致了费米子之间的诱导相互作用
（4）
其中是一个二维动量，是一个三维动量，是玻色Matsubara频率. BEC的密度相关函数为
. （5）
方程（4）包含了对玻色动量的z分量的积分，因为这没有被方程（3）中给出的玻色-费米相互作用所保留.
为了简化，我们在接下来的过程中取极限和. 我们进一步假设BEC中的声速比ta大得多，其中a为晶格常数. 这就意味着延迟效应是可忽略的，从而在诱导相互作用中频率可设为0. 当变得和ta差不多时，我们预测延迟效应很大程度上抑制了配对，类似于所对应的非晶格的系统中发生的那样. 通过在方程（4）中令来忽略延迟效应，可得到普通Yukawa相互作用
， （6）
其中是BEC相干长度. 从方程（6）中可得出晶格中费米子之间的诱导相互作用被这个无量纲的参数决定
. （7）
方程（6）表明了另一个重要的事实：通过改变玻色密度和/或散射长度和，在实验中可控制费米子之间诱导相互作用的强度和距离（由决定）.
代入诱导相互作用，可得到费米子的有效哈密顿量
，（8）
其中由方程（6）给出，并且我们照旧减去化学势. 注意在粒子-空穴变化中，系统是对称的，其中填充率，跳行矩阵元，化学势.
4. 零温相图
利用方程（8）给出的有效哈密顿量，现在我们计算T=0时晶格中费米子的相图. 我们考虑由诱导相互作用导致的两种可能的不稳定性：超流体和相分离的不稳定性. 为此，我们减弱Hartree-Fork和BCS通道的相互作用. 假设k和-k态配对，平均场哈密顿量变为（除去一个常数）
， （9）
其中. 这里，是二维格子的动能散布，且有
（10）
是Hartree-Fork固有能量. Fourier变换由
（11）
给出. 其中N是格点数. 准粒子散布为，其中能隙参数由
（12）
决定.
通常，我们同数量方程
（13）
其中给出晶格的填充率，一起解方程（10）和（12）. 我们的数值计算在一个k值在第一Brillouin区的的格子上进行.
- 拓扑超流
在零温时，我们找到了一个具有对称的能隙的解. 实际上，这个能隙非常接近于单纯的角动量形式，如在图2中说明的那样.
图2. 对于耦合强度,BEC相干长度,填充率的情况，能隙参数作为动量k的函数. 蓝实线表示能隙参数的实部，红虚线表示虚部. 在上图中，; 在下图中，;
这个解在能量上最为稳定，因为它完全豁裂了费米面，比如与具有对称的解对比. 配对破坏了时间反演对称性，它是在边缘具有Majorana模式的D类拓扑超流体. 拓扑不变量就是陈数，
, （14）
其中. 这里通常通过将BCS哈密顿量写为来定义，其中是狄拉克自旋-1/2矩阵的向量. 在我们的模型中，陈数当填充率为/2时为，当为. 因此，在半满n=1/2时存在拓扑相变，此处谱隙在Brillouin区的点和闭合.
B. 相分离
当费米子之间的诱导相互作用过强时，系统会变得不稳定而趋向相分离，这是由于晶格导致的潜在的粒子-空穴对称性. 不稳定性源于对某些填充率可压缩性为负. 例如，我们在图3中绘制了当耦合强度，范围，温度，，和的情况下化学势和填充率n的函数关系. 对于和的情况，我们可以看到在某一范围的填充率下随n减小，这对应着负的可压缩性，标志着系统趋向相分离而不稳定. 相分离的区域可由麦克斯韦构造所决定. 由于粒子-空穴对称性，情况可以简化成一个具有平均填充率n的系统由决定而相分离为填充率和的两部分. 图3展示了时系统相分离处填充率的范围. 我们还可以从图3中看出这个范围随温度升高而缩减. 事实上，系统在时完全不分离. 原因是在非零温时混合的熵使系统稳定而不发生相分离.
图3. 绘制了，及不同温度的情况下，化学势作为填充率n的函数. 的蓝色实曲线由麦克斯韦构造所描述，对于垂直虚线之间的填充率，系统趋向相分离而不稳定，超流态在该区域之外. 红色虚曲线和黑色点虚线显示了相分离区如何收缩，最终随温度升高而消失.
C. 相图
我们现在把配对和相分离不稳定性考虑进来给出时的相图. 在图4中，我们绘制了在BEC相干长度为和两个值下填充率n和玻色-费米耦合强度G的函数关系的相图. 在灰色的区域中系统被相分离，而在其他区域中是处于的超流态.，其中色码显示了Brillouin区的最大值. 半填充处的垂直线表示陈数和的超流态之间的拓扑相变. 如预期的一样，耦合强度G的增大使配对增多. 然而，它也使系统相分离处的密度范围增加. 由于这种竞争，为了增多配对，不仅仅是关于增加G. 如果吸引作用太强，系统仅仅相分离为填充率接近和的区域，这严重地抑制了配对. 事实上，需要调谐G到一个中间值来最大化配对. 对一个给定的G，应该在相分离区域中选择一个平均填充率n，即. 系统则会相分离为填充率为和的两个超流区域，它们有相同的配对强度. 从图4中可以得到一个重要的结论是越短的相干长度通过调谐可以得到越高的配对强度. 实际上，通过调谐可以得到的配对的最大值为对应和，其中，对比对应和，其中. 最大量的状态和在图4中用编号圈①对应和②对应显示. 对一个更小的可得到更大的配对的原因是它决定着诱导相互作用的范围. 由于相分离主要由长程相互作用驱使，而配对主要由最近邻相互作用驱使，一个更小的范围对配对的抑制会弱于对相分离的抑制. 由于这个复杂的竞争，小的相干长度有效地促进了配对，因为在系统相分离之前它允许更高的耦合强度. 这表明我们提出的系统在晶格中实现拓扑超流态十分有用，因为它可以同时调谐诱导相互作用的强度和范围.
图4.以填充率和耦合强度为函数关系的费米子零温相图，左图对应，右图对应. 色码显示了对于给定的在Brillouin区能隙参数的最大级数. 中间灰色区域代表相分离，以半充满为中心. 编号圈表示了的值，此处在相图中配对最大化. 相分离区底部的结是由于G轴有限的分辨率. 相分离条件的检查表明区域的边界必须是光滑的并且在底部有逐渐减小的导数. 垂直虚线表示在具有陈数和的相之间存在拓扑相变.
5. 超流相的临界温度
由于这个费米系统是二维的，超流相通过BKT机制消散. 在这一节中，我们参照参考文献[47]中的方法计算了这种转变的临界温度. 消散由序参量的相位刚度决定，这个可以由和强加于系统相捻相关的自由能消耗计算得出. 如果序参量的整个相位（除了相绕组）沿着x方向在相邻格点间改变一个小量，则自由能相应的改变为
, （15）
其中是沿x方向的相位刚度. 在系统上施加这样一个线性相捻相当于在一个由标准变换的哈密度量
. （16）
描述的系统加上一个周期边界条件. 其中，是粒子l的x分量，由于序参量包含两个粒子，我们用半角来标准变换每个粒子. 由方程（15）可知，计算由于标准变换到的第二级引起的能量变化来确定超流刚度是足够的. 将方程（16）展开到的第二级并计算相应的能量修正，经过冗长但直白的计算后，得到
（17）
对应沿x方向的超流刚度. 其中，是具有动量k的费米子的数量，是费米函数. 对于沿y方向的相位刚度可用相对应的方程描述. 我们发现对于配对有. 超流相的临界温度现在可以由BKT条件确定
. （18）
在图5中，对于在图4中设置的两组参数①和②，我们绘制
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