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对PDH激光稳频技术的简介
摘 要
这篇文章介绍了在现代光学中一项优雅而强大的技术：PDH激光稳频技术。这篇简介主要是概念性的讲解，但它也包含了足够的定量的细节，让读者可以立刻设计一个适用于科研或工业应用的真实的设备。文章的目标受众是第一次学习该技术的科研人员和希望在高等物理和电气工程课程中讲解现代激光锁定技术的教师。
I.引言
PDH激光稳频技术是提升连续激光频率稳定性的一项强大的技术，1,2而且它还是干涉式引力波探测仪技术的重要组成部分。3使用商业激光器的这项技术已经被用于演示和脉冲星一样相对稳定的频率标准。4,5
PDH技术的物理基础除了引力波探测外还用很广泛的应用。一项紧密相关的技术被用于原子物理，在那里它被称为调频光谱学，而且被用于探测光学共振。（在参考文献6-8中提到。两种技术都和微波应用中的一项在四十年代被R.V.庞德发明的旧方法相似。9）调频光谱学和PDH激光锁定的概念基础十分相似。如果你可以理解其中一个，你就会很好地掌握另外一个。
PDH方法的原理很简单:利用法布里-珀罗腔测量激光的频率，然后将测量结果反馈给激光器以抑制频率波动。测量采用了一种零锁相检测的形式，它将频率的测量结果从激光强度中解调出来。该方法的一个额外优点是系统不受法布里-珀罗腔响应时间的限制。你可以测量并抑制频率波动，该速度快于腔体的反应速度。
这项技术不仅简单而且很强大；它可以在一门本科高级实验课程中讲解。10我希望这篇文章可以对PDH方法提供一个清晰的概念简介。我打算讲解技术的物理基础和它根本上的限制。我同样希望对技术更广泛的理解将会促进激光频率稳定（或者可能是调频光谱学）更长远的发展。
在这篇文章中，我打算聚焦于频率测量，也被称为误差信号。这是这项技术的核心，这同样也是人们第一次接触它时最大的困惑之处。频率测量同样也是调频光谱学中的重要部分，对它不错的理解将给读者在这个领域中的发展形成一个良好的开始。
在这篇文章中，我将会假定读者已经对在介绍性的光学课程中被提到的法布里珀罗腔有了一定的了解。（在参考文献11和12中提到）对于一些非常好的控制理论和法布里珀罗腔方面的全面介绍材料可见参考文献13-17.一个非常不错的关于干涉式引力波探测器的简介可见参考文献18.
II.一个概念模型
假设我们拥有一个激光器，我们想将其用于一些实验，但我们需要比激光器所能提供的更加好的频率稳定性。很多现代激光器是可调的：它们自带一些调谐端口，人们可以输入一些电学信号来调节激光的频率。如果我们可以精确地测量激光的频率，那么我们可以将测量结果经过适当地放大和滤波后输入调谐端口，来（粗略）控制频率恒定。
测量一束激光光束频率的一个好办法是将其输入一个法布里珀罗腔，然后观察投射（或反射）了什么出来。回想只有在两倍的腔长等于光波长的整数倍时光才能在法布里珀罗腔中传输。另一种形式来说明就是光的电磁波频率必须是腔的自由光谱程的整数倍，其中是腔的长度，是光速。腔可视为一个滤波器，拥有传输线，或叫共振峰，其间隔自由光谱程均匀地分布在频率中。图1展示了光透射通过法布里珀罗腔的分数和光频率的关系。
图1.法布里珀罗腔对入射光的透射和频率的关系。这个腔拥有一个十分低的精细度，大约为12，使得透射线结构容易被看到。
如果我们只在某个共振峰的一边进行操作，但离共振峰非常近时一部分光可以进行传输（例如最大传输光强的一半），然后光频率的一个微小变化将会导致透射强度成比例的变化。我们可以测量光的透射强度然后将这个信号反馈给激光器来控制这个强度（激光频率）恒定。
这是在PDH方法发展以前常用的激光锁定的方法，并且它还遇到过一些瑕疵，其中一个是系统无法区分会导致透射强度变化的激光频率波动和激光自身强度的波动。
我们可以建立一个独立的系统来稳定激光的强度，这在七十年代早期已经取得了一些成功，19但是更好的方法是测量反射强度并将其保持为零，这样可以减弱强度和频率噪声。这个计划唯一的问题是反射光束的强度是关于共振峰对称的。如果激光频率相对腔的共振峰发生漂移，你不能光从观察反射强度来确定频率需要增加或减少来使得它回到共振峰上。然而，反射强度的导数对于共振峰是反对称的。如果我们测量这个导数，我们会得到一个误差信号，我们可以用它来锁定激光。幸运的是，这并不难做到:我们可以稍微改变一下频率，看看反射光束是如何响应的。
频率在共振峰以上时，反射强度对激光频率的导数为正。如果我们把激光的频率在一个小范围内作正弦变化，那么反射强度也会作正弦变化，与频率变化的相位一致。（可见图2。）
频率在共振峰以下时，这个导数是负的。这里反射强度与频率相差180○。在共振时，反射强度达到最小，频率的微小变化不会引起反射强度的变化。
图2. 法布里-珀罗腔的反射光强度是激光频率的函数，接近共振峰时。如果你调制激光的频率，你可以通过反射功率的变化来判断你在共振的哪一边。
通过比较反射强度关于频率的变化，我们可以知道我们在共振峰的哪一边。一旦我们测量出反射强度关于频率的导数，我们就可以把测量结果反馈给激光器，使其保持共振状态。PDH方法的目的就是这样做。图3显示了基本设置。这里的频率被一个由本地振荡器驱动的波克尔斯单元调制。20反射光被光学隔离器（一个偏振分光镜和一个四分之一波片形成一个优良的隔离器）接收并送入光电探测器，光电探测器的输出通过混频器与本地振荡器信号进行比较。我们可以把混频器想象成一种设备，它的输出是其输入的乘积，所以这个输出将包含直流（或十分低频的）和两倍调制频率的信号。我们感兴趣的是低频信号，因为它会告诉我们反射强度的导数。位于混频器输出端的低通滤波器将低频信号滤出，然后通过伺服放大器进入激光器的调谐端口，将激光锁定在腔内。
图3所示的法拉第隔离器防止反射光束返回到激光器中并使其不稳定。这个隔离器对理解技术来说不是必需的，但在实际系统中是必要的。在实践中，通过光学隔离器的少量反射光通常足以使激光不稳定。类似地，移相器在理想系统中不是必需的，但在实际应用中可以补偿两路信号的不相等延迟。（在我们的例子中，它可以很容易地在本地振荡器和波克尔斯单元之间移动。）
图3. 锁定激光腔的基本布局。实线是光路，虚线是信号路。输入激光器的信号控制其频率。
只有当缓慢地抖动激光频率时，这个概念模型才真正有效。如果使频率抖动太快，光在腔内的共振将没有时间完全建立或稳定下来，输出将不会遵循图2所示的曲线。然而，该技术仍然适用于更高的调制频率，而且噪声性能和伺服带宽都得到了显著的改善。在我们处理一个适用于高频机制的概念图之前，我们必须建立一个定量模型。
III.一个定量模型
A. 单色光束在法布里-珀罗腔中的反射
为了定量地描述反射光的行为，我们可以在腔外选择一个点，测量电场随时间的变化。入射光束的电场强度可以被写为
，
反射光束（在同一个点测量）的电场为
，
我们让E0和E1为复数来描述两个波之间的相对相位。反射系数F(omega;)是Eref和Einc的比值，对于一个无损耗的对称腔，可以被写成
， （3.1）
其中r是每个镜面的振幅反射系数，另外是对于长度为L的腔的自由光谱程。
从法布里-珀罗腔反射的光束实际上是两束不同光束的相干和:立刻反射的光束，它从第一个反射镜反射，从未进入腔内;以及泄漏光束，它是腔内驻波的一小部分，它通过第一面镜子泄漏回来，这面镜子并不能完全反射。这两束光频率相同（对于我们的无损耗对称腔），接近共振峰时它们的强度也几乎相同。然而，它们的相对相位很大程度上取决于激光束的频率。
如果腔和激光谐振得很好，那么激光的频率恰好是腔的自由光谱程的整数倍，那么立刻反射的光束和泄漏光束具有相同的振幅，相位恰好相差180°。在这种情况下，两束光相互抵消，总反射光消失。
如果腔和激光谐振不是很完美,即激光的频率不是整数倍的自由光谱程，但接近到足以建立一个驻波,然后两束光之间的相位差不会180°,它们不会完全互相抵消。（他们的强度仍将会大致相同。）一些光被腔反射，它的相位告诉你激光频率在共振峰的哪一边。图4为共振附近的反射系数的强度和相位图。
图4. 法布里珀罗腔反射系数的大小和相位。和图1相同，精细度约为12。注意相位的不连续性，这是由于共振时反射功率为零造成的。
我们会发现研究复平面上F(omega;)的性质是很有用的。（见图5）不难发现F的值总是落在复平面里的一个圆上（见附录A）, 圆心在实轴上,与omega;相关的参数决定了这个圆F将在哪里。给出了反射光束的强度,它是由常见的的艾里函数所给出。F是关于共振对称的，但是它的相位是不同的，这取决于激光的频率是高于共振峰还是低于共振峰。当omega;增大时，F沿圆周逆时针运动。对于我们考虑的无损耗对称腔，当频率处于共振时，F=0，这个圆经过原点。非常接近共振峰时，F几乎位于虚轴上，频率比共振峰低时，位于下半平面；频率比共振峰高时，位于上半平面。
当我们尝试理解定量模型的结果时，我们将在复平面上使用关于F的图示。
图5. 复平面上的反射系数。随着激光频率的增加，F(omega;)画出一个圆。大多数情况下，F在圆的左边缘靠近实轴。只有接近共振峰时，F的虚部才明显增大。在共振时，F为零。
B. 测量反射光线的相位
想知道激光的频率是高于还是低于腔的共振峰时，我们需要测量反射光束的相位。在写这篇文章的时候，我们还没有办法制造能直接测量光波电场（从而得到相位）的电子器件，但是PDH方法（和调频光谱学）为我们提供了一种可以间接测量相位的方法。
我们的概念模型表明，如果我们抖动激光的频率，将会给我们足够的信息来表明频率在共振峰的哪一边。一种更定量的思路来这种频率抖动是:调制激光的频率（或相位）会产生与入射光和反射光有确定相位关系的边带。这些边带的频率与入射和反射光束的频率不同，但仍然存在确定的相位关系。如果我们让反射光与边带互相干涉，干涉后的光将在调制频率上显示一个拍频图案，然后我们可以测量这个拍频图案的相位。这个拍频图案的相位将告诉我们反射光的相位。边带有效地设置了一个相位标准，可以用这个来测量反射光束的相位。
C. 调制光束：边带
我在定性模型中谈及改变光束的频率，但是在实验中调节相位更加容易。虽然两者的结果基本上是一样的，但是用数学描述相位调制要比描述频率调制简单。使用波克尔斯单元实现相位调制也很容易，正如图3所示。当光束通过波克尔斯单元后，其电场受到相位调制而变成以下形式：
，
我们用贝塞尔函数来对该表达式进行展开，得到21
（3.2）
我用这种形式来写出它的电场是想展示实际上有三束不同的光束入射到腔上：一个角频率为omega;载波，和两个频率为的边带。这里Omega;是相位调制频率，以及beta;被叫做调制深度。如果是入射光束的总功率，那么载波的功率为（目前忽略干涉的作用）
，
每一个一级边带的功率为
，
当调制深度很小时，几乎所有的功率都在载波和一级边带上，
.
D. 被调制光束的反射：误差信号
为了计算有多个入射光束时的反射光场，我们可以独立处理每一束，并将每一束光乘上频率所对应的反射系数。在PDH装置中，我们有一个载波和两个边带，总反射光是
我们实际上想知道的是反射光束的功率，因为我们用光电探测器测量的是功率。这可以表示为，经过一些代数运算后
（3.3）
我们添加了三种不同频率的波，omega;处的载波，处的上边带和下边带。所得结果是一个名义上频率为omega;的波，但拥有一个显示了双频率拍频图案的包络线。Omega;项来自于载波和边带之间的干涉，2Omega;项来自于边带之间的相互干涉。
我们感兴趣的是在调制频率Omega;下振荡的两项，因为它们携带了反射载波的相位信息。这个表达式中有两项：正弦项和余弦项。通常，其中只有一个是重要的。而另一个会消失。具体哪一个会消失，哪一个会保存下来取决于调制频率。在下一节我们将展示在低调制频率（低到腔内的场有时间来响应，或）情况下，几乎是纯实数，而且只有余弦项保存下来。在Omega;很大，且接近共振峰时，几乎是纯虚数，且只有正弦项保存下来。
我们会测量每种情况下的值，并且以此来确定激光频率。
E. 测量误差信号
我们用高频光电探测器测量式（3.3）中给出的反射功率，正如图3所示。这台光电探测器的输出信号包括式（3.3）中的
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