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在纳米间距近场热辐射的最大能量转移
由于光子隧道和表面声子极化激元的激发使得在纳米间距热辐射转移可以超越黑体辐射几个量级。虽然在最近理解近场热辐射取得了重大的进展，然而一个显著的问题是对于在有限的分离距离下任意选择的材料特性是否存在一个近场辐射的上限。我们研究了真空间隙从0.1纳米到100纳米的两块平行板之间的最大辐射热流。通过假设一个与频率无关的介电函数和引入一个截止平行波矢量分量，我们发现两种介质的理想介电函数将使近场辐射传输最大化为-1 idelta;, delta;是虚部部分。对于大于1纳米的真空间隙，近场传热在delta;⪡1时达到峰值，在亚纳米间隙处，能量转移的峰值移向的delta;的最大值。在纳米间距最大辐射通量的测定将有益于近场辐射在能量收集和纳米热制造的新应用。
Ⅰ.引言
在纳米间距，辐射换热可以超过黑体辐射几个数量级。1-8这种增强在近场热光电池9-13、热辐射扫描隧道显微镜14,15、纳米制造16, 17中有潜在的应用。许多研究预测了不同材料和几何构型对近场辐射的增强作用。在低温近场热辐射的实验研究可以追溯到20世纪70年代的低温18-20以及最近用扫描探针头21-23和接近室温的SiO2平板24之间。对于折射率几乎恒定并且消光系数很小的介质（k⪡1）,辐射通量的增强受n2的限制，其中n是介电材料的折射率。9,25这种增强主要是由于光子通过真空中的倏逝波在介质中传播的隧穿效应，符合增强态密度和介质中的普朗克定律。26,27在室温下，可以观察到介质在短于热辐射的特征波长lambda;casymp;10mu;m微米级别的近场辐射。当距离d减小到100纳米以下时，热通量达到一个恒量n2sigma;（T4 1-T4 2）,其中sigma;是斯特藩-玻尔兹曼常数，T1和T2是介质的温度；9,25,27进一步减少d对热通量是没有作用的。
对于导电材料来说，情况完全不同，对于极性电介质材料来说，1-3表面声子极化激元可以被激发，5,6或者对于掺杂的硅来说，表面等离激元可以在近红外中被激发。7,8使用50年代后期发展起来的涨落电动力学，28几个组1,2,5,7表明，当分离两个表面的真空间隙d变得非常小时，近场传热随d-2而变化。这意味着热通量将以d趋于0而发散，研究者一直争论其物理意义。29,30需要注意的是，d-2依赖于p偏振电磁波的贡献，因为s偏振电磁波的贡献将在d→0时渐近达到一个常数。对于重掺杂半导体，s偏振波的贡献在d= 20 nm以下变化不大，当dlt;10 nm时，p偏振波的贡献优于s偏振波。8另一方面，对于金属，跨越可以在更短的距离发生取决于它们的电阻率。4,31
Chapuis等人31利用金属的非局域介电函数，证明了d-2依赖性在dlt;0.1nm，p偏振的热流将渐近地达到一个常数。V-olokitin和Persson研究了非局域介电函数的影响。4如果电磁场在介质微观结构定义的长度尺度上明显变化，介电函数中的非局部行为是可以预测的。一般来说，非局域效应对dgt;0.1 nm的预测热流影响很小。31值得注意的是，最近Pendry3讨论了最大近场辐射传输，他评估了近场相互作用中允许的模式或隧道。导出了反射系数的实部与虚部之间的关系，以实现真空分离的两块平板之间的最大传热。Volokitin 和Persson6也用这个关系来计算最大可能的近场能量转移。但是，只有在d→0时参考文献[3]和[6]中最大热通量表达式才能得到，不能看作有限分离距离下的最大近场传热。根据文献[3]，可以使近场热通量最大化的材料应该满足εPrime;⪢ε′,其中ε′和εPrime;分别为介电函数的实部和虚部。相反，据计算，在纳米尺度上良导体不会导致辐射传输的显著增强。2,4,7
本研究的目的是确定两个被有限宽度的真空间隙隔开的半无限平板间的p偏振辐射通量的上限，特别是0.1nmlt;dlt;100nm。一个详细的分析是推算一个频率无关的介电函数来确定最大热流对介电函数和真空间隙宽度的依赖关系。把晶格常数的阶数的截止值用作最小空间波长，从而设置平行于界面的最大波矢分量。随着真空间隙的减小，能量转移转换到更大的平行波矢分量上。施加的截止限制了光子隧穿的模式数。因此，当d→0时，辐射热流密度减小。在某些情况下，强制的截止能在一定距离范围内产生几乎恒定的热通量。摘要从两个半无限介质间近场传热的一般表达式出发，推导出真空间隙很小时能量传递与截止波矢量的简化关系。得到了介电函数实部和虚部的最优值，使近场传热达到最大。随后，研究了不同真空间隙条件下截止波矢量对净能量传递的影响。
Ⅱ.理论公式
可以用波动电动力学来描述辐射能量传递，在波动电动力学中，认为热发射是由于电荷在非零绝对温度下的随机运动引起的。7,24,32可以用偶极子来表示金属中的电子和极性晶体中的离子等电荷的随机运动，偶极子在整个空间产生电场和磁场。而场是随机的，场的平均值为零，场分量的空间相关性为非零，导致能量发射。图1是两个被真空间隙d隔开的半无限介质的示意图。高温的那个是发射器和另一个（介质2）是接收器。假设这两种介质是均质和各向同性的。由于对称性，可以使用柱坐标使空间变量为x=r z。注意beta;和gamma;j分别是波矢量Kj的r分量和z分量。注意beta;必须是真实的，并且在所有介质中都必须与边界条件所要求的相同，即电场或磁场的切向分量必须在任何界面上连续。因此, kj=beta;和他的量级是与是相关的，对于j=0，1和2.真空间隙称为介质0。k的量级与介电函数的k0=omega;/c,k1=。这里c是真空中的光速，并且ε1和ε2是介质1或介质2的介电函数（或者相对介电常数）。两种介质之间的总热流由7,8
, (1)
其中是光谱能量流。在等式（1）中，是普朗克振子的平均能量，其中ħ是普朗克常数除以2pi;以及kB是Boltzmann常数，X（omega;）是加权函数由
, (2)
在大多数研究中，等式（2）的上限设置为无穷大。固体中的电子以布洛赫波为特征的周期势运动，最大波矢为pi;/dc在第一布里渊区边缘，这里dc是晶格常数，是原子间距离的数量级。33这对平行于表面beta;c=pi;/dc的最小表面波长或截止波长施加了限制。注意Z（omega;，beta;）在等式（2）中一个并且可以用二元格林函数和两个波动电流分量之间的相关函数得到这个可交换的函数。可以用不同的波传播表达式来表示传播波（beta;lt;omega;/c）和消失波（beta;gt;omega;/c）。5,7在非常大的范围内beta;(i.e, 当beta;⪢omega;/c),Z(omega;, beta;)对s偏振来说是可忽略的，因此，s偏振波对能量转移的贡献可以忽略不计。而且p偏振的菲涅尔反射系数在beta;特别大的值时是无关的。7假设两种介质具有相同的介电函数，形式为，可以得到beta;⪢omega;/c的以下近似:
, (3)
这仅仅是基于p偏振波的贡献，可以看出等式（3）有最大值Zmax=0.25当, (4)
对于材料满足εPrime;⪢ε′如金属在长波长时，可以看作当d= 0时，等式（4）将满足并且对于足够大的εPrime;/ε′时等式（3）将趋近于Zmax=0.25。3取Z=Zmax，由等式（2）可知Xmax=。随着，可以看出，最大近场热通量变为
, (5)
它是Volokitin 和Persson得到T2的依赖关系。6应该注意等式（5）与参考文献[6]中最大热流的表达式相差2倍，因为s偏振的贡献不包括在等式5中。只有当d→0时，式中在等式（5）中给出的表达式是极限最大热流。即使在d=0.1nm时，beta;接近于beta;c，在很大范围内等式（4）中给出的情况不可能满足。随后，在有限的分离距离下，可实现的热通量远小于当εPrime;/ε′时等式（5）所给出的，此外，已经注意到，良好的导体通常不能提供最大的增强。为了确定近场辐射热流的最大值和为了方便，改写等式（2）为
, (6)
其中xi;=beta;d和xi;c=beta;cd。如果上界设为无穷大，可以看到Xprop;d-2，当距离接近零时，导致热通量发散。
Ⅲ.最大辐射能量转移
利用频率无关的介电常数，研究了有限间距下任意材料的近场热流极限。这将有助于确定介电函数实部和虚部的适当组合，以便在不同真空间隙下获得最大能量转移。为简单起见，假设发射器和接收器具有相同的介电函数。最大化热通量的关键是在等式（1）中X的最优化，因为它是一个加权函数可以修改光谱分布。在等式（3）中对短距离p偏振有效的近似值用来求等式（2）的值。图2，通过设置dc=0.5nm或者beta;c=pi;/dc=2pi;nm-1显示了对于不同的间隙厚度X相对于ε′和εPrime;。标准化了X的值，那么的最大值是1。在图中，ε′的值从-5到5，然而εPrime;的值从10-3到10。右边的色条显示的值（d=10nm的对数比例），最亮的颜色代表峰值。就如图2（a）显示的，当d→0时，就可以在εPrime;/│ε′│⪢1时在大范围内实现，图是关于ε′=0是对称的。在有限的距离上，d=10nm的情况如图2（b）所示，只要εPrime;的值不太大，的高峰位于ε′=-1的位置。此外，由于Z相对于beta;d的依赖性，当d=10nm时，的最大值小于0.01。从等式（3）（4）中，ε′=-1对应于参考文献[6]中讨论的类谐振条件。当ε′gt;0和εPrime;⪡ε′，这两种介质又为无损耗的介质时，对于大的beta;的值，贡献可以忽略不计。在这种情况下，近场辐射的增强是非常有限的，随着 d→0而趋于饱和。
为了进一步探索X依赖于ε′和εPrime;，图3绘出了在不同距离下，对于dc= 0.5 nm，X作为ε′和εPrime;的函数，固定的ε′或εPrime;。如图3（a）所示，当εPrime;=0.1时且对于dge;1nm，在ε′=-1时是最大值。但是，在d=0.1nm时，对于在-3.3lt;ε′lt;-0.3范围内存在一个跌落，并且在ε′=-1的值甚至小于d=1nm时。这是由方程2的上被积函数中强加的截止值B引起的，这将在后面讨论。当d→0时，峰值移到ε′=0在=1。当ε′如图3（b）所示保持在-1且在d=100和10纳米时，在0.001lt;εPrime;lt;10减少真空间隙会导致的增加。但是，在d=1和0.1nm时，在存在一个最大值并且d的进一步减少将导致的减少。随着d的减少，峰值向着更大的εPrime;移动。而且，随着d→0，当εPrime;⪢1时达到它的最大值（单位）。峰值的存在再次归因于beta;的强制截止。
当ε′=-1并且εPrime;⪡1，在等式（3）中给出的函数Z（omega;，beta;）在ebeta;d=2/εPrime;有一个峰值，可以从等式（4）中推导出。图4根据几个ε′和εPrime;值绘制了Z。随着d值的减小，峰向更大的beta;移动，大多数近场能量传递是通过这个峰值附近的模式。Xd2的乘积可以用等式（6）作为Z（omega;，xi;）xi;在xi;上的积分得到。由于beta;中的强制截止，在非常小的真空间隙下，计算从发射器到接收器的热流量时，会排除大量的能量。当d=0.1nm，dc=0.5nm时, xi;c=beta;cd=0.2pi;asymp;0.628。当d从1减小到0.1nm时，对于ε=-1 i0.1和其他情况，这会导致X减小。另一方面。设置beta;到
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