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用简单的梯形递归卷积技术分析德鲁德-洛伦兹模型频变时域有限差分法
电气和电子工程师学会成员Jun Shibayama，电气和电子工程师学会高级成员 Ryoji Ando, Akifumi Nomura, Junji Yamauchi,电气和电子工程师学会院士Hisamatsu Nakano
摘要--当前，常通过梯形递归卷积（TRC）技术对德鲁德-洛伦兹模型中频变时域有限差分（FDTD）理论的简单公式化进行分析。和递归卷积（RC）技术一样,TRC技术需要解单卷积积分，但是却和需要两个卷积积分的分段线性递归卷积（PLRC）技术具有一样的精确度。引入TRC技术不仅仅是为了分析传统的显式时域有限差分法，也是为了对基于局部一维（LOD）系统的无条件稳定的隐式时域有限差分法进行分析。通过对表面等离子体波导的分析，TRC技术的有效性已经被显式的FDTD和LOD-FDTD以及现存的RC和PLRC技术所证明。
索引词--时域有限差分法（FDTD），分段线性递归卷积（PLRC），表面等离子体激元，梯形递归卷积（TRC）。
一、简介
最近，已经有相当大的科研力量投入在分析由金属和介质材料构成的等离子体器件。分析金属分散度经常使用德鲁德模型。我们经常利用基于递归卷积法（RC）和分段线性 递归卷积（PLRC）技术的频变时域有限差分法（FDTD）来对德鲁德模型进行时域分析。尽管PLRC方法比RC方法精度更高，但它公式复杂，需要处理两个卷积积分。而另一方面，梯形递归卷积（TRC）方法计算结果的精度可以与PLRC相媲美，然而只需解一个单一的卷积积分。值得注意的是TRC技术的应用一直局限于德拜和洛伦兹模型，这两种模型均不能充分描述光波长在金属中的传播，并且没有人曾尝试将TRC技术应用于由等离子体器件建立的德鲁德模型。
在这篇论文中，我们将TRC技术引入到多个洛伦兹极的德鲁德–洛伦兹模型中。此外，洛伦兹项可以准确地解释从一个很宽的光谱范围中测量的金和银的介电常数，这一光谱范围从可见光到近红外区域。在这篇论文中，我们将TRC技术引入到多个洛伦兹极的德鲁德–洛伦兹模型中。但是由于存在德鲁德模型，电场值需要两个时间步骤。类似于RC技术，TRC技术的使用极大地简化了频变公式，却具有与PLRC相媲美的精确度。我们讨论了TRC公式和现存的RC和PLRC技术。我们进一步将TRC技术引入到基于局部一维系统（ LOD）的无条件稳定的隐式时域有限差分法中。该技术的有效性已经被对表面等离子体波导的分析结果所证明。
二、公式
线性极化，其中是磁化率，在时域中表示为
（1）
对于RC技术[2]，（1）近似为
（2）
其中,假定在范围内电场不变。对于PLRC技术[3]，（1）近似为
（3）
其中，它的电场是一个取决于的线性分段函数。请注意，和（2）相比，这一个公式出现了项，因此需要再进行一个额外的卷积积分计算。这个公式使得计算电场值时需要进行两次关于时间的积分[3]-[5]。
对TRC技术[4][5]，（1）在下列公式中连续两次步骤使用电场的平均近似：
。 （4）
显然，和RC技术一样，TRC技术只需要一个单一的卷积积分。需要注意的是，电场值在单时间步情况下的TRC技术（单时间步TRC）已经发展成了一个具有和PLRC相同精度的技术，但是是仅适用于徳拜和洛伦兹模型的PLRC技术[4][5]。不幸的是，单时间步TRC技术不适用于德鲁德模型，因为它的磁化系数并不是一个指数函数。然而，如下面展示的一样，由于只需处理一个卷积积分，TRC技术极大地简化了德鲁德–洛伦兹模型的频变公式。
尽管任何一个分散的模式都适合用单色源分析，但在这里我们对下面的德鲁德–洛伦兹模型（极作为洛伦兹功能[2]）用在脉冲励磁系统下一个时间周期获得的频谱进行分析
（5）
其中是具有无限频率的材料的介电常数，是角频率，和是等离子体电子频率，和是有效的电子碰撞频率，是磁极强度，是加权系数。
顺着RC的步骤[2]，我们通过（4）导出一个新的有限差分方程
（6）
其中和 。和表示如下：
其中，，，上述方程的参数分别表示为
其中代表复共轭。在PLRC技术中需要计算两个时间步的电场值[3]，[12]，而推出的这个公式较之更为简单，类似于相应的RC法得来的公式[2]。方程（6）结合标准差分方程的场可以显式地被解决。忽略洛伦兹模型的条件导致德鲁德模型只适用于近红外区的方程。
我们还开发了基于TRC 技术的二维频变LOD-FDTD。导出的TM波方程为
（7）
（7）作为上半步方程， 采用从LOD过程[13]中获得的关系（和代表中间领域）。对于场，使用标准的LOD-FDTD 方程。下半步的方程可以类似地推导出来。在PLRC-LOD-FDTD中，简化的TRC-LOD 方程是可解的[12]。
- 讨论
探讨TRC技术对德鲁德–洛伦兹模型的有效性，我们分析了夹在金属镀层之间的空芯区TM波的脉冲传输特性，结果如图1所示[12]。空气核的宽度固定为，选择金作为材料，其参量分别为,，，，，和[6][9][12],对应，得[2]。我们使脉冲传播的距离为，通过离散傅里叶变换后入射脉冲和发射脉冲之间的比率，我们计算出传输系数。由于横截面的对称性问题，只有一半的部分（）进行了分析。因为脉冲被紧紧地限制在空气芯区，所以没有特殊的吸收边界条件。
在研究每个技术的准确性之前，我们在这里强调使用金属与介质材料交界面之间的平均介电常数的必要性[14]。在这篇论文中，我们采用的介电常数是Au和空气交界处电场中的平均介电常数。图1为脉冲（）中心波长的传输系数与横向距离的关系。作为参考，给出了介电常数采用Au交界面上的介电常数（不平均）时获得的曲线图。显式FDTD的应用是基于TRC技术，通过将纵向采样宽度固定为对其上限库郎–弗雷德里希–莱维条件（）加以利用。可以看出，平均介电常数下获得的系数单调收敛，它近乎恒定值。相反，非平均介电常数下的系数不单调收敛，主要是因为它不是一个精确的模型[14]。因此，我们不得不将沿金属/电介质界面的平均介电常数用于公式（6）和（7）。
图1：透射系数随变化
我们现在探讨TRC技术遵从时间步长时的准确性。在这里，我们使用和，遵从（[12]中所述的应纠正为）。时间步长大小规定为CFLN= 。图2显示了传输系数与中心波长（0.7米）处的CFLN的关系。RC和PLRC技术的结果都包含在参考中。当CFLN1时，用显式FDTD，而当CFLN1时，用LOD-FDTD（CFL限制在图2中用虚线表示）。值得一提的是，TRC的结果与显式的及LOD-FDTD情况下的PLRC结果都几乎完全一样（RC结果小于FDTD的结果）。对于FDTD= 7，本征解的偏差（0.76451）仅为0.7%。在这种情况下，TRC-LOD-FDTD的计算时间减少到显式TRC和PLRC-FDTD计算时间的30%倍（TRC略（极少的百分比）比PLRC更快），其中PC是奔腾4处理器（3.46 GHz）处理的（计算时间节省程度取决于所使用的计算机）。
LOD-FDTD传输系数的波长响应如图3所示，同时将TRC技术与PLRC 技术技术的结果进行比较。尽管CFLN=1时的显式FDTD的结果没有附加在CFLN=1时的LOD-FDTD的结果中，并将两者进行比较。在相同水平的计算时间和所需的内存处的情况下，我们可以再一次发现TRC和PLRC结果非常一致。即使CFLN= 7，其结果的准确性依然存在于一个较宽的波长范围内。
图2：传输系数随CFLN变化
图3：透射系数虽波长变化
- 结论
我们讨论了TRC技术对频变FDTD的效果。发现与PLRC技术比起来，TRC技术简化了德鲁德-洛伦兹模型的公式。我们引入TRC技术不仅是为了解决显式FDTD问题也是为了获得无条件稳定的LOD-FDTD结果。表面等离子体波导的分析表明，TRC技术提供了与PLRC技术一样的精确度。因此，当对等离子体精确的频变理论进行分析时，基于TRC技术的FDTD方法可以成为实用的替代。与德鲁德-洛伦兹模型辅助微分方程方法的比较[7]–[11]正在研究中，这个将在别处讨论。
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