本科毕业设计（论文）
外文翻译
弦乐，驻波和谐波
作者：悉尼，新南威尔士州立大学，物理学院（网站物理知识）
国籍：澳大利亚
出处：http://newt.phys.unsw.edu.au/jw/strings.html
震动，琴弦，管乐器，打击乐。
我们如何产生音乐声？为了发出声音，我们需要振动的源。如果我们想产生音符，通常需要有一个几乎恒定频率的振动：它意味着稳定的音高。同时，我们还需要一个可以容易被演奏者控制的频率。在电子乐器中，这是用电路或时钟和存储器来实现的。在非电子乐器中，形成驻波可以实现稳定、可控的振动。这里我们讨论弦的工作方式。这也是对研究管乐器有用的介绍，因为振动的弦比乐器中的空气振动更容易视觉化。两者都没有打击乐器的敲击杆和鼓皮膜的振动那么复杂。有关驻波物理介绍，可以看多媒体教程。
弦中的行波
小提琴、钢琴等琴弦紧绷的时候，震动得非常之快，以致于难以用肉眼观察。如果你能找到一个长弹簧(一种很好用的叫做“Slinky”的玩具)或几米长的弹性胶管，你可以尝试一些有趣的实验，这将使你很容易理解弦是如何工作的。(软橡胶是比较好的道具，而软管相对不够灵活。)先握住或夹住一端，然后将另一端握在一只手内，将其拉紧一点(不要太紧，有一点下垂也无妨)。现在用另一只手把它拉到一边，使它扭结，然后释放。(在慢动作中，这就是当你拔出一根绳子时会发生的事情。)你可能会看到扭结沿着“弦”向下移动，然后又回到你的身边。它会突然把你的手拉平，但如果你紧紧抓住它，它会再次反弹。
首先，你会注意到，如果你把弦拉得越紧，它的速度就会越快。这对于调谐仪器是有用的。它也取决于绳子的“重量”,在同样的张力下，在一根较重的绳子中的运动速度比在一根相同长度的较轻绳子中的要慢得多。(严格地说，每单位长度的张力与质量之比决定了速度，如下所示。)
接下来，让我们仔细看看固定末端的反射。你会注意到，如果你一开始把绳子拉到左边，扭结就会向左移动，但它会以扭结的形式回到右边——反射是倒转的。这种影响不仅在弦乐器中很重要，在打击乐中也很重要。当一个波遇到一个边界时，它不会移动或改变(或不容易改变)，反射会倒转。(实际上它是倒置的，最后产生的位移为零)然而，任何相位变化的反射都会产生驻波。
弹拨弦
如果你在吉他或贝司上弹奏其中一根琴弦，你就会遇到类似的情况，虽然这里的琴弦固定在两端。你将弦拉出一点，然后如图所示释放它。随后的运动将很有趣，但很复杂。初始运动如下所示。然而，运动的高频成分（弦中的急剧弯曲）会很快消失 —— 这就是为什么吉他音符的声音在你弹拨之后会变得更加圆润，持续时间会更长一些。
通过拔弦引起的运动的扭结反射的图。在由（e）和（m）表示的时刻中，弦是直的，因此它已经失去了与侧向拉动相关的势能，但它具有最大动能。请注意，在反射时，扭结的相位改变180°：从上到下，反之亦然。还要注意当它们在中间相遇时，扭结是如何“穿过”的。
为什么会反射倒置呢？如果我们假设它被夹住或绑在一个固定的物体上，那么反射点实际上并没有移动。但是可以通过比较图中不同时间的表示来查看弦的运动。请注意扭结背后的弦向后移动到未受干扰的位置（在图中向下）。当扭结接近末端时，它会变小，当它到达不可移动的一端时，根本就没有扭结 —— 此时这个弦是直的。但是弦仍然具有向下的动量，并且它超过了静止的位置，并在另一侧产生扭结，然后向另一个方向移动。（波浪在弦中的运动在“行波”中有更详细的描述。但是，在这个页面上，我们将专注于音乐含义。）
如上所述，这种运动仅在弹奏后立即观察到。随着高频分量失去能量，尖锐的扭结消失，形状逐渐接近振动的基本模式，这些我们将在下面进行讨论。
弓弦的表现相当不同
首先，它具有连续的能量来源，因此可以无限期地保持相同的运动（或者至少超出范围）第二，匹配均匀移动的弓所需的弦形状是不同的。
拉动弓弦引起的运动的扭结反射图。
运动的波和驻波
如果您尝试通过反复向上和向下挥动一端来沿着弦发送简单的波，则会产生一个有趣的效果。如果您找到合适的弹簧或橡胶软管，请尝试一下。否则，请查看这些图表。
右图是与时间序列相同的图表——时间从上到下增加。您可以将其视为代表一系列波浪的照片，拍摄速度非常快。红波是我们在这样的照片中看到的。
假设右边限制是不可移动的墙。如上所述，波在反射时反转，因此，在每个“照片”中，蓝色加绿色在右侧边界上加起来为零。反射（绿色）波具有相同的频率和幅度，但是以相反的方向行进。
在固定端，它们不产生运动——零位移：毕竟这是不动的条件导致倒置反射。但是如果你看一下动画或图表中的红线（两个波的总和），你会发现在其他点上，弦永远不会移动！它们相隔半个波长。这些静止点称为振动节点，它们在几乎所有仪器系列中都起着重要作用。节点之间是波腹：最大运动点。但请注意，这些峰值并非沿着弦线传播：沿相反方向传播的两个波的组合会产生驻波。
这在图中显示。注意两个行波总是抵消的位置（节点），以及它们相加的其他（波腹）给出最大振幅的振荡。
您可以将此图表视为弦上五次谐波的表示（不按比例），该弦的长度为图表的宽度。这将我们带到下一个主题。
谐波和模式
乐器上的琴弦（几乎）固定在两端，因此琴弦的任何振动都必须在每一端都有节点。现在，这限制了可能的振动。例如，长度为L的弦可以具有波长为两倍的驻波（波长lambda;= 2L），如下一系列的第一个图所示。图中给出了两端的节点和中间的一个波腹。
这是弦的振动模式之一（“振动模式”仅仅意味着振动的行为或方式）。在两端固定的弦上还允许哪些其他模式呢？下一个图中显示了几个驻波。
具有固定长度的理想化拉伸弦的前四种振动模式的图。纵轴被扩大了。
让我们计算出这些模式的频率之间的关系。
对于波，频率是波的速度与波长的比率：f = v /lambda;。
与弦长L相比，您可以看到这些波的长度为2L，L，2L / 3，L / 2。
我们可以把它写成2L / n，其中n是谐波的数量。
基波或第一模式具有频率f1 = v /lambda;1= v / 2L，
二次谐波具有频率f2 = v /lambda;2= 2v / 2L = 2f1
三次谐波具有频率f3 = v/lambda;3= 3v / 2L = 3f1，
四次谐波具有频率f4 = v/lambda;4= 4v / 2L = 4f1，
并且，为了概括，第n次谐波具有频率fn = v /lambda;n= nv / 2L = nf1。
弦中的所有波以相同的速度行进，因此具有不同波长的波具有不同的频率，如图所示。频率最低的模式（f1）称为基频。注意，第n模式的频率是基频的n倍。所有模式（以及它们产生的声音）都被称为弦的谐波。频率f，2f，3f，4f等称为谐波系列。这个系列对于大多数音乐家来说都很熟悉，特别是对于号手以及自然号角演奏者。例如，如果基波是音符C3或中提琴C（标称频率为131 Hz：请参见此表的链接），则谐波将具有下图所示的音高。这些音高近似为最接近的四分音。八度音程恰好是八度音阶，但所有其他音程与等音阶的音程略有不同。
该图显示了C弦上前12个谐波的乐谱。第七和第十一次谐波落在相同钢琴音阶的音符之间的中间位置，所以用半尖锐音符表示。
这些音高可以在拉伸的琴弦上产生：它在吉他，大提琴或贝司的低位弦上最容易。从末端（其中n为1,2,3等）的长度的1 / n处轻轻触摸弦，然后将弦向弓形靠近末端。或者，在距离末端1 / n点的位置轻轻触摸琴弦，将琴弦拉到靠近末端的位置，并在弹拨后立即释放第一根手指。触摸该弦会产生一个触摸的节点，因此您（主要）激活那里有节点的模式。你会发现你可以使用两到六个弦的谐波来演奏号角音。
（*如果你刚刚完成了这个实验，你可能已经注意到了一些特殊性。用于产生八度音程的第十二个音品，不到弦长度的一半，所以你触摸琴弦的位置产生二次谐波 —— 沿弦的一半 —— 不是直接位于八度音柱之上。我说上面的“理想化”弦的意思是一个完全柔韧的弦，因此很容易在两端弯曲。实际上，琴弦的弯曲刚度有限，因此它们的有效长度（上述公式中使用的“L”）略小于它们的物理长度。这就是为什么较大的弦通常在薄芯上缠绕的原因之一。那就是为什么桥通常是一个角度，它能使得较长的弦更长，以及为什么古典吉他上的（实心）G弦在较高音品上的调音很差。由于琴弦被推动时额外的拉伸也会产生影响到指板，对钢弦有相当大的影响。）
吉他手练习
在以通常方式调谐的吉他上，B弦和高E弦大致调谐到低E弦的3次和4次谐波。如果除了在三分之一的路径之外你在任何地方拨动E弦，B弦应该开始振动，由桥梁中的振动驱动第一弦的谐波。如果你除了在四分之一的路程之外在任何地方采用低E弦，那么顶部E弦应该被类似地驱动。
吉他中的和声调音
吉他手经常以下列方式开始调音：首先调低低音E弦的四次谐波，将A弦的第三个音调和顶部E调到同一个音符。右图显示了两个最低弦上的谐波系列。
接下来，他们将B弦（B3）调谐到第一个（E2）的三次谐波；然后将A弦的四次谐波调到D弦的第3个。这种方法不能成功地扩展到G弦，因为它通常太厚而且很僵硬，因此使用音符可以更好地调整八度音。由于多种原因，这种调整方法只是近似的，之后需要重新调整八度音阶。最佳调音通常是在考虑您将演奏的和弦以及您在指板上演奏的位置后必须做出的选择。
吉他调谐谐波。（这些都是真正的音高：吉他音乐通常会转换成八度音阶。）
音乐中的谐波
作曲家经常要求弦乐器上的这种谐波：最常见的是“触四”。演奏者先用一根手指停止琴弦以产生特定音符所需的长度，然后，使用另一根手指，在音阶所需的位置非常轻微地接触琴弦（因此得名）。该位置是弦的四分之一，因此它产生停止音符的四次谐波。四次谐波的频率是基频的四倍，因此为两个八度音高。对于弦乐演奏者来说，谐波被称为“自然波”。该图显示了如何播放第四个自然触摸，以及小提琴A弦上第四个触摸的符号。为清楚起见，放大了图表的垂直轴。
音符的音高取决于琴弦振动的速度。这取决于四件事：
- 更厚，更大的琴弦振动更慢。在小提琴，吉他等上，琴弦的开口长度不会改变，通常张力也不会发生太大的变化（它们同样难以向下推）。所以低音弦更厚。
- 频率随着弦的张力而增加。这是您使用机头或调音钉调整乐器的方法：琴弦更紧张，音高越高。
- 可自由振动的弦的长度也很重要。例如，当您将琴弦放在大提琴的指板上时，会缩短有效长度，从而提高音高。
- 您也可以通过改变振动模式来改变音高。当您演奏谐波时，您会感觉到弦乐产生的波浪长度通常是由该长度的弦乐产生的波浪的一小部分。
我们可以把所有这些放在一个简单的表达式中。如果弦的振动部分有长度L和质量M，如果弦中的张力是F，如果播放第n次谐波，则得到的频率是
fn=（n/2L)(FL/M)1/2=(n/2)(F/LM)1/2
在小提琴和吉他等乐器中，所有弦的开口长度和张力是相当相似的。这意味着，要使音降低一个八度，在保持相同长度的同时，你必须使M/L的比值翻两番，如果弦是用相同的材料做的，这意味着将直径加倍。然而，琴弦通常是合成的：一个薄薄的核心包裹着绕组，使它们更大，而又不让它们更难弯曲。
让我们看看这个表达式是从哪里来的。频率f=1/T=v/lambda;=v/lambda;，波在振动的一个周期T中传播一段距离，即v=lambda;/T。所以f=v/lambda;。我们还看到，对于基频F1，弦长度是lambda;/2，所以F1=v/2L。波速由弦张力F和单位长度质量或线密度mu;=M/L，v=(F/mu;)1/2=(FL/M)1/2决定。因此F1= (F/LM)1/2。将两边乘以n，得到上述谐波的频率。
我们可以重新排列这个，给出弦的张力公式：F=4f12LM。
谐波调谐的并发症
任何吉他调音都有几个问题，包括使用以上建议的谐波。
最明显的近似是与音程有关的：如果吉他弦是理想的，且理想的音高间隔为相同的音程，那么把调和的四分之四调成E——A和A——D对，再加上D弦上的两个相同的回火半音，使D弦上最低的E和第2阶FRET之间的间隔约为4分平(4/3)222/12=1.996)。这将导致干扰频率每几秒钟一次。
另一个明显的复杂的谐波调谐是，弦不完全弯曲，完全轻松通过螺母和桥梁(如上文所讨论)。因此，弦乐上的第一个泛音比八度略尖，第二个甚至比第十二个音更尖锐，依此类推。所以把E弦的第四和弦调到A弦的第三和弦，使它们的开口间隔超过第四和弦。因此，这倾向于弥补音程问题。
另一个问题与烦扰和桥位有关。当你按下第十二跳的弦时，你会增加它的长度。(按它之前，螺母和桥梁之间的距离比较短。 )在延长它的时候，你增加了它的张力。由于这一点，同时也由于弦端的弯曲效应，如果第12阶FRET在螺母和桥梁之间的中间，则间隔将大于一个八度。(你可以在无磨擦的仪器上进行实验检查。)因此，桥梁到12 FRET的距离大于螺母到12 FRET的距离。不同弦的效果不同。在一些电吉他，个别调整位置的每一个桥是可能的。
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本科毕业设计（论文）
外文翻译
Strings, standing waves and harmonics
作者：School of Physics,the University of New South Wales, Sydney
国籍：Australia
出处：http://newt.phys.unsw.edu.au/jw/strings.html
Introduction: vibrations, strings, pipes, percussion....
How do we make musical sounds? To make a sound, we need something that vibrates. If we want to make musical notes you usually need the vibration to have an almost constant frequency: that means stable pitch. We also want a frequency that can be easily controlled by the player. In electronic instruments this is done with electric circuits or with clocks and memories. In non——electronic instruments, the stable, controlled vibration is produced by a standing wave. Here we discuss the way strings work. This also a useful introduction for studying wind instruments, because vibrating strings are easier to visualise than the vibration of the air in wind instruments. Both are less complicated than the vibrations of the bars and skins of the percussion family. For the physics of standing waves, there is a multimedia tutorial.
Travelling waves in strings
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The strings in the violin, piano and so on are stretched tightly and vibrate so fast that it is impossible to see what is going on. If you can find a long spring (a toy known as a slinky works well) or several metres of flexible rubber hose you can try a few fun experiments which will make it easy to understand how strings work. (Soft rubber is good for this, garden hoses are not really flexible enough.) First hold or clamp one end and then, holding the other end still in one hand, stretch it a little (not too much, a little sag wont hurt). Now pull it aside with the other hand to make a kink, and then let it go. (This, in slow motion, is what happens when you pluck a string.) You will probably see that the kink travels down the 'string', and then it comes back to you. It will suddenly tug your hand sideways but, if you are holding it firmly, it will reflect again. First you will notice that the speed of the wave in the string increases if you stretch it more tightly. This is useful for tuning instruments —— but were getting ahead of ourselves. It also depends on the 'weight' of the string —— it travels more slowly in a thick, heavy string than in a light string of the same length under the same tension. (Strictly, it is the ratio of tension to mass per unit length that determines speed, as well see below.) Next lets have a close look at the reflection at the fixed end. Youll notice that if you initially pull the string to the left, the kink that travels away from you is to the left, but that it comes back as a kink to the right —— the reflection is inverted. This effect is important not only in string instruments, but in winds and percussion as well. When a wave encounters a boundary with something that wont move or change (or that doesnt change easily), the reflection is inverted. (The fact that it is inverted gives zero displacement at the end. However, reflection with any phase change will give a standing wave.) |
Plucked strings
If you pluck one of the string on a guitar or bass, you are doing something similar, although here the string is fixed at both ends. You pull the string out at one point, then release it as shown. The motion that follows is interesting, but complicated. The initial motion is shown below. However, the high frequency components of the motion (the sharp bends in the string) quickly disappear – which is why the sound of a guitar note becomes more mellow a second or more after you pluck it.
A sketch of the reflection of travelling kinks caused by plucking a string. At the instants represented by (e) and (m), the string is straight so it has lost the potential energy associated with pulling it sideways, but it has a maximum kinetic energy. Note that, at the reflections, the phase of the kink is changed by 180°: from up to down or vice versa. Notice also how the kinks pass through each other when they meet in the middle.
Why is the reflection inverted? Well, if we assume that it is clamped or tied to a fixed object, the point of reflection didnt actually move. But look at the motion of the string by comparing the different times represented in the left hand sketches. Note that the string behind the kink is moving back towards the undisturbed position (down in the sketch). As the kink approaches the end, it becomes smaller and, when it reaches the immovable end, there is no kink at all —— the string is straight for an instant. But the string still has its downwards momentum, and that carries it past the position of rest, and produces a kink on the other side, which then moves back in the other direction. (The motion of waves in strings is described in more detail in Travelling Waves, which has film clips and animations. On this page, however, well concentrate on the musical implications. )
As mentioned above, this motion is only observed immediately after the pluck. As the high frequency components lose energy, the sharp kinks disappear and the shape gradually approaches that of the fundamental mode of vibraiton, which we discuss below.
A bowed string behaves rather differently
First, it has a continuous source of energy, and so can maintain the same motion indefinitely (
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