高斯光束通过硬边光阑光学系统的不同光阑函数模型和相应的近似解析传输公式
原文作者 Haidan Mao and Daomu Zhao 单位 物理系，浙江大学
摘要：光束剖面被提议作为三种模式的硬孔径函数：复杂的高斯函数的总和，多项式高斯函数的总和由一些固定的偏移量的多高斯函数之和。通过展开光阑函数到这些模型，得到高斯光束通过具有光阑ABCD光学系统的近似解析传输方程。将这些模型本身与高斯光束通过这些模型的传播特性之间作了比较。它表明，在计算效率和仿真结果来看，对于应用到这样的衍射问题，在第一和第三类型的硬边孔径函数模型比第二类型更合适。此外，第一和第三个模型的适用性也有一些差异。 copy;2005美国光学学会
- 介绍
衍射是一个古老而经典的光学话题。一般来说，衍射研究的完成主要通过开展大量的光学实验，并通过数值计算取得结果。尤其是在具有边界的衍射条件情况下，我们很难获得解析解参数方程。然而，在许多领域，如理论分析和定量的非破坏性评价，获得一个解析解更好。1988年，Wen和Breazeale通过使用计算机优化方法找到一个近似的解析的参数方程。在该论文中，一个活塞式辐射的声场被取为一个例子，它证明了近似解析解与数值结果非常吻合。同样地，该方法可被引入来解决在光学许多衍射问题。通过展开硬边光阑这个函数，我们就可以根据菲涅尔近似Collins公式得到的解析表达式。研究通过有孔和未对准的ABCD光学系统的光束的传播或转化的特点，有孔分数傅里叶变换的系统和有孔的分数汉克尔变换系统已经做了解析。因此，已经证明这样的解析法是可行的。
把函数模型作为硬边光阑的做法对研究人员来说是十非熟悉的，而且已经在声学和光学中广泛应用。但其他类型的硬边光阑模型却极少被使用。最近，找到一个越平顶越好的光束分布是十分重要的，因为这样的光束剖面是在激光工程广泛应用。对这些平顶光束的传输变换特性的研究已经广泛开展。很少有研究涉及到将这些平顶光束轮廓作为一个硬边光阑模型。在本文中，我们采取平顶光束和多高斯光束模型作为对有限和复高斯函数硬边光阑模型的补充。其他类型的平顶光束剖面诸如超高斯光束和由Li限定的平顶光束不能被用作近似硬边光阑函数，因为不能获得相应的解析传输表达式。
在第2节，提出了三种硬边光阑模型，并给出高斯光束通过具有光阑的ABCD光学系统相应的近似解析传输方程。在第3节，举了在一个有孔的自由空间传播的这一个例子，比较通过不同模型的硬孔径高斯光束的传输变换特性。最后在第4节，提出了关于不同硬边光阑模型应用的一个简单结论。
- 三种模型的硬边光阑模型和高斯光束通过具有硬边光阑的ABCD光学系统相应的近似解析传输公式
在一维的情况下，硬边孔径的函数在数学上给出:
（1）
其中，b表示硬边孔的半宽度。根据柯林斯衍射公式，光束穿过一个开孔近轴ABCD光学系统时，其输出场分布被给定为：
（2）
其中，k是波数，而A，B和D是矩阵元素。在方程（2）一个不重要相位因子，为简单起见省略了。
将（1）代入式等式（2）中。（2）将被写成下面的形式：
（3）
为了获得形如式（3）的解析式，需要一个尽可能像平顶光束的硬边光阑函数模型。
为简单起见，取一个基本高斯光束作为一个例子，
(4)
其中，q1是高斯光束的复曲率半径。
- 展开硬边光阑为复高斯形状
Wen和Breazeale提出的一个复高斯形状，由一个有限总和复高斯函数叠加而成。它具有以下形式，
(5)
其中An与Bn表示的扩大和高斯系数，分别可以通过优化计算直接得到。图1（a）展示出了由方程（5）表示的硬孔模型的实部和虚部，其中N=10。方程式（5）与不同的光束N阶表示了不同的孔径。对于硬的光圈，N=10就足够了，复高斯函数的数量越大(即N越大)，模拟结果就更准确的。
运用积分公式：
(6)
将方程（4）和方程（5）插入方程（3）中，直接整合之后，我们得到了高斯光束通过具有光阑近轴ABCD光学系统的近似解析传输公式为：
（7）
图。1.不同的模型的硬孔径函数：（a）一种复合高斯形状的实部和虚部[方程5]（b）不同数值的多项式高斯[式方程（8）]，（c）不同的数值多高斯形状[方程（11）]。
- 将硬边光阑展开成多项式高斯形状
一维多项式高斯形状，也被称为平顶高斯光束，具有以下形式：
（8）
它也可以被写成如下形式的拉盖尔 - 高斯光束的叠加，
（9）
其中N代表平顶高斯光束的光束阶。等式（8）为该多项式高斯函数模型用于表示硬边光阑，如图1（b）所示。与第一种模式相反，这种模型的振幅分布是一个实数函数。随着光阶的增大，这种模式就越接近硬边光阑。同样，高斯光束通过具有硬边光阑的ABCD光学系统相应的近似解析传输公式可以很容易得到：
（10）
- 展开硬边光阑成多高斯形状
Tovar提出了一种多高斯形状由高斯函数分量的总和而成，每个都具有相同的1/ e半径或光斑尺寸，b。但每个高斯分布是由一些固定的数量抵消。多高斯形状具有如下形式：
（11）
硬边光阑的这种模式的振幅分布显示在图1（c）中。它只有一个实部。与图1（b）相比：在同一光束阶数N，第一个硬边光阑模型的边缘比第二个模型更加陡峭。
将式（4）和式（11）插入式（3）中，通过直接积分得到了.高斯光束通过具有硬边光阑的ABCD光学系统相应的近似解析传输公式：
（12）
当带孔的宽度趋于无穷大，例如，b→，从方程（7），（10），和（12）的输出场分布简化为如下形式：
(13)
很容易发现，此ABCD法则适用于一维高斯光束通过无孔旁轴多元光学系统的传播和转化。
- 确定一个硬边光阑函数不同模型孔径尺寸和比较高斯光束通过不同模型对应的传输特性
首先我们应该建立一个统一的标准来确定一个不同模型的硬边光阑孔径大小。这些模型的孔径大小被定义为1 / e最大振幅的半宽度，如下：
(14a)
(14b)
(14c)
其中W是不同型号的孔径尺寸。从方程（14）中可以看出，孔径大小W是光束阶数和光斑大小相关的高斯分量。本文以这些形状的光束被假定为N = 10。因此，高斯分量不同的光斑尺寸对应于不同孔径的W。
我们以受光阑限制的自由空间传播为例。矩阵的元素被给定为。等效菲涅耳数，其中是入射高斯光束的束宽。
图2显示一个高斯光束通过硬边光阑第一类模型的归一化振幅分布。实线是由解析表达式（7）计算而得，虚线是通过数值积分式（2）计算而得。图2（a），2（b）和（c）表明，高斯光束通过硬边光阑的大小为W = 1毫米的第一种类型的模型时，在不同输出平面的归一化振幅，输出平面分别为，，和。图2（a），2（b）和（c）表明，高斯光束通过硬边光阑的大小为W = 3毫米的第一种类型的模型时，在不同输出平面的归一化振幅，输出平面分别为，，和。通过这种硬边光阑的模型的传输和光束变换特性在许多文献中已经广泛的研究。结果表明，这种硬边孔径类型的模型为一个可以应用于处理的小尺寸孔的情况。对于大尺寸的光圈的分析结果和数值积分结果之间的差异变得更大。从图中可以看出，在平面的他的光束分布和在平面几乎是相同的，除了光束轮廓的在平面上有明显的差异。因此，在平面的光电场几乎达到稳定。该图还示出了在那些远场中分析结果与数值积分很好地符合。在一般情况下，展开硬边孔径成复高斯形状的这种方法是更适合小孔径尺寸的情况。
图3显示出了，高斯光束的通过硬边光阑的第二类模型的归一化振幅分布。可以很容易地从图中可以看出，在那些小尺寸的孔径的情况下，数值积分和分析结果符合得不是很好，如图3（b）和3（c）；然而，在那些大尺寸的孔径的情况下，数值积分和分析结果符合得很好，如图 3（e）和3（f）。这个属性与在图2中描绘是完全相反。因此，我们可以说，展开硬边孔径成复高斯形状的这种方法是更适合于应用到大尺寸孔的情况。就像图2所示结果，在近场分析结果与数值积分符合得不是很好。
4.结论
根据分析发现，将硬边光阑展开为复高斯形状的第一种方法和硬边光阑函数展开为多高斯形状的第三种方法都适用于光束通过有光阑ABCD光学系统的传输和变换。第一种方法更适合于小孔径下，第三种方法更适合于大孔径下。通过比较计算的时间，揭示出，第一种方法和第三种方法具有几乎相同的计算效率。将第二种方法和第一方法、第三中方法作比较，第二种方法在计算效率和仿真结果方面具有严重缺点。因此，第一种方法和第三种方法是值得在这样的衍射问题中应用的。虽然此文只有考虑一维的情况，但是此文介绍的方法也可以直接推广到二维情况下或圆柱坐标系统。
外文文献出处：H Mao, D Zhao. Different models for a hard-aperture function and corresponding approximate analytical propagation equations of a Gaussian beam through an apertured optical system [J]. Journal of the Optical Society of America A, 2005, 22(4): 647-653.
外文文献原文附后
剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
英语原文共 7 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
资料编号：[287065]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word
以上是毕业论文外文翻译，课题毕业论文、任务书、文献综述、开题报告、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
