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非线性光机腔中的稳态纠缠、冷却和三稳
S. Shahidani, M. H. Naderi, M. Soltanolkotabi, and S. Barzanjeh
Department of Physics, Faculty of Science, University of Isfahan, Hezar Jerib, 81746-73441 Isfahan, Iran
Quantum Optics Group, Department of Physics, Faculty of Science, University of Isfahan, Hezar Jerib, 81746-73441 Isfahan, Iran
School of Science and Technology, Physics Division, Universita di Camerino, I-62032 Camerino (MC), Italy
Corresponding author:sareh.shahidani@gmail.com
摘 要
研究了非线性光学机械系统中单模场与弱克尔介质和参数非线性的相互作用。由于光学机械耦合和克尔下转换引起的非线性导致了平均内腔光子数的双稳态和三稳态。此外，我们的研究还表明，通过控制参数非线性和驱动场的相位，解析边带机制的下限和最小可获得声子数可以达到比制造空穴低的程度。此外，我们还发现，在系统中，机械模式和光学模式之间的纠缠度的大小取决于系统的两个稳定参数。对于冷却和纠缠，当参数非线性增加光机耦合时，弱克尔非线性对于将稳定区域扩展到可达到最小有效温度和最大纠缠的理想范围非常有用。此外，如本文所示，本方案允许我们在中、下分支的三稳态中有明显的纠缠，这使得本方案与光机械系统不同。
1 引 言
作为研究宏观自由度从经典到量子态转变的一个很好的候选者，光机系统最近受到了极大的关注。该系统还为实际应用提供了新的途径，如重力波的检测和干涉测量和量子有限位移传感。这个系统的标准和最简单的设置是一个法布里-珀罗腔，其中一个反射镜比另一个反射镜轻得多，因此它可以在辐射压力的作用下移动。
最先进的技术允许实验演示将机械振荡器的振动模式冷却到其基态以及机械振荡器的振动模式与腔场之间的强光机耦合。这种耦合本质上是非线性的，因为腔的长度取决于场的强度，类似于克尔材料的光学长度。因此，它可以实现场的有质动力压缩、光子阻塞、机械和光学模式的非经典状态的产生、光学双稳态和双稳态中的声子-光子纠缠。除了这种固有的非线性之外，腔内存在光学参量放大器（OPA）或光学克尔介质也为非线性光学和光学力学结合以增强量子效应开辟了一个新的领域。据预测单模法布里-珀罗腔中的OPA会导致振荡镜与腔模之间的强耦合，这是由于腔内光子数的增加。此外，当光机腔含有具有强非线性的光学克尔介质时，光子-光子排斥和腔光子涨落的减小为控制微镜动力学提供了一条可行的途径。
另一方面，单模场与克尔介质和参数非线性的相互作用是一种众所周知的量子光学模型，已被提出用于产生腔场的非经典态。
在这里，我们考虑了一个固有非线性光学机械系统中单模场与弱克尔介质和参数非线性的相互作用。特别地，我们研究了多稳性、强度、反作用冷却和固定光机纠缠。克尔下转换非线性介质的实验实现方法不同，它可以是由克尔和下转换非线性组成的两层非线性介质。光学聚合物材料由于其可加工性、透明度和较大的光学非线性，可能是这种组合的最佳候选材料。此外，最近的实验证明，低语通道谐振器的特性能够同时产生固有的二次谐波和三次谐波。因此，考虑中的模型最自然的实现之一可能是由具有和克尔非线性的各向异性材料制成的回音廊道谐振器。
结果表明，在这种混合光机结构中，平均内腔光子数除了具有双稳态外，还具有一定范围的三稳态，可以由系统的内、外非线性控制。然后，基于协方差矩阵（CM），研究了克尔下变频非线性对反射镜背作用基态冷却的影响，确定了改进后的冷却最优方案。我们将证明，通过控制参数非线性和驱动光放大器的场的相位，解析边带区的下限和最小可获得声子数可以小于光腔的下限。此外，弱克尔非线性可用于将稳定域扩展到有效失谐的期望范围，其中系统的有效温度最小。然后我们证明，对于一个固定的有效失谐，尽管光腔是空的，但稳定参数（双稳态参数的对应物）之一是输入功率的非线性函数，它允许我们在反射镜基态冷却的同时接近显著的纠缠。在论文的最后一部分中，我们将重点研究非线性条件下的静态纠缠的产生，并指出纠缠不仅不是光机械耦合强度的单调函数，而且系统的两个稳定参数也是使纠缠度最大化的关键参数。基于这些结果，我们发现在三稳态下，对于第一和第二分支，在分支末端的纠缠度最大，而对于第三分支，声子-光子纠缠度为零。简而言之，在其他相关研究中（即参考文献[18–20]）考虑到自作用OPA（而不是参考文献[19]中所研究的交叉作用OPA）和弱Kerr非线性（而不是参考文献[20]中所考虑的强Kerr非线性），本征光机械非线性被忽略，这使得我们能够实现强光机械耦合并扩展稳定性领域，从而使目前的方案对于增加光机系统中的量子效应（特别是纠缠）更有用。
2 物理模型
如图1所示，我们考虑一个由退化的OPA和非线性克尔介质组成的克尔下转换光机系统，该非线性克尔介质放置在由一个固定的部分透射镜和一个可移动的完全反射镜组成的法布里-珀罗腔中，在温度下与热浴平衡。可移动反射镜可沿腔轴自由移动，被视为有效质量、频率和能量衰减率的量子机械谐振子，其中Q是机械质量因子。腔场由频率为、振幅为的输入激光场通过固定镜连续驱动。此外，系统由耦合场驱动，产生参数振荡，并在腔中产生克尔非线性。在我们的研究中，我们将模型限制在单腔和机械模式的情况下。单腔模式假设在绝热极限下是合理的，即，其中c是真空中的光速，L是无空腔场时的空腔长度。我们还假设腔和克尔介质的共振频移远小于腔中的纵模间距。此外，当选择检测带宽时，可以将其限制为单一机械模式，这样它只包含单一的、隔离的、机械共振和模式-模式耦合可以忽略不计。
图1 本文中研究的设置的示意图。该腔包含克尔下变频系统，该系统由耦合场泵浦，产生参量振荡，并在该腔中产生克尔非线性。
在这种情况下，在以激光频率旋转的框架中，系统的总哈密顿量可以写成
(1)
其中
(2a)
(2b)
中的前两个项分别是湮灭（产生）算符的空腔场的自由哈密顿量和共振频率和无量纲位置和动量算符q和p的可移动镜的自由哈密顿量。第三个项描述了空腔场和机械振荡器之间的光机耦合。由于耦合常数为的辐射压力，中的最后一项描述了用输入激光驱动腔内模。此外，中的两个术语分别描述了内腔场与OPA和克尔介质的耦合；G是OPA的非线性增益，与泵功率驱动振幅成正比，是驱动OPA的场的相位，是与克尔介质三阶非线性磁化率成正比的非协调性参数。输入激光场通过部分透射镜填充腔内模，腔中的光子对可移动镜施加辐射压力。在对系统动力学的实际处理中，应考虑通过不完全反射镜的光子泄漏引起的腔场阻尼以及与振荡反射镜与其热浴耦合有关的布朗噪声。利用量子光学的输入输出形式，我们可以考虑这些噪声和耗散源在量子朗格文运动方程中的影响。对于给定的哈密顿量（1），我们得到以下非线性运动方程：
(3a)
(3b)
(3c)
式中，kappa;是通过输入镜的腔衰减率，是输入真空噪声算子，其特征是以下相关函数：
（4a）
（4b）
布朗噪声算符xi;描述了热浴在温度下对反射镜的加热，其特征是具有以下相关函数：
（5）
其中是玻尔兹曼常数
我们对稳态状态和稳态的小波动感兴趣。因此，我们得到了p、q和a的稳态平均值
（6）
（7）
式中表示可移动反射镜的新平衡位置，和是腔体的有效失谐，包括辐射压力和克尔介质效应。我们选择了的相位，这样就可以被取为实相和正相。很明显，光路和腔失谐是以强度依赖的方式改变的。第一种修正是机械非线性，它是由可移动反射镜和腔场之间的辐射压力引起的耦合引起的，第二种修正是由光学机械系统中非线性克尔介质的存在引起的。由于稳态中的平均内腔光子数满足一个三阶方程，它可以有三个实解，因此在一定的参数范围内，系统可能表现出多稳性。多分辨率区域存在于和之间的腔内强度值，
（8）
如果且需要，则解的多稳性失效。
为了研究克尔下转换非线性的存在对光机械系统稳态响应的影响，我们考虑了一个长度为L=1 mm、衰减率为的腔，该腔由波长为lambda;=810 nm的激光器驱动。振荡端镜的质量、机械频率和阻尼率分别为m =5ng、和，环境温度为，这组参数接近几个光机实验。在图2中，我们绘制了平均内腔光子数作为输入功率P=15mW的光失谐的函数，用于各种值的 [图2（a）]、G[图2（b）]和 [图2（c）]。图2（a）表明，当时，固有的光机非线性和克尔非线性的存在移动了共振中心，而曲线接近洛伦兹曲线。然而，对于，空腔的共振频率移到较低的值，并且的三阶多项式方程有三个实际根，即。由于克尔非线性，腔模和多解的频移可以通过项减少或补偿，该项作用于的腔共振频率向右移动[图2（b）和2（c）]。
图2 作为归一化光失谐量函数的平均腔内光子数：（a）对于和的非协调性参数的不同值，（b）对于和的参数非线性的不同值，以及（c）对于不同的值，对于和的参数非线性的不同值。
3 小波动动力学
为了研究系统的动力学特性，我们需要研究稳态附近小波动的动力学特性。我们假设系统中的非线性较弱，并将式（3）中的每个算符分解为其稳态值和零均值的小波动之和，
（9）
将系统算符的上述线性化形式插入式（3），并定义空腔场象限和以及输入输入噪声象限和，波动算符的线性化量子朗格文方程可以是以紧凑矩阵形式写入
(10）
其中，为波动矢量，为噪声源矢量，矩阵M由下式给出：
（11）
其中是增强的光机耦合率，是和的实部（虚部）。
A 解的稳定性分析
在这里，我们集中讨论系统的静态特性。为此，我们应该考虑由式（10）控制的稳态条件。只有当矩阵M的所有特征值的实部为负时，系统才是稳定的，这也是线性化方法有效性的要求。系统稳定的参数区域可从Routh–Hurwitz标准中获得，该标准给出以下三个独立条件：
(12a)
(12b)
(12c)
违反第三个条件，表明区域不稳定。对于空腔，这种情况会降低到蓝失谐激光区域的不稳定性。在这个频率范围内，有效机械阻尼率变为负值，自持续振荡设置在[37,38]。违反第二个条件，，表明区域的稳定性。对于空腔，这种情况会导致系统的双稳态特性。给出了一个附加的稳定条件，它总是满足光空腔的要求，并给出了参数振荡阈值的条件。因此，对于，我们可以定义以下稳定性参数：
(13)
(14)
对于减小到众所周知的“双稳态参数”。
克尔下转换非线性产生的主要特征之一是反射镜出现三种稳定状态。图3显示了当（蓝色失谐激光）时腔内平均光子数的迟滞环。在这个图中，不稳定解用虚线表示。结果表明，根据的值，反射镜的稳态响应可以是单稳态、双稳态和三稳态。从实验的角度来看，通过在输入字段[40]上添加一个脉冲序列，实际上可以实现可控的三态切换。这种三稳定性可用于全光交换，用作光计算和量子信息处理的存储设备。
图3 平均光子数与处的输入功率的关系。实线和虚线分别对应于稳定和不稳定的分支。参数为、和，其他参数与图2相同。
B 系统量子涨落的相关矩阵
由于线性化方法和噪声算符的高斯性质，量子涨落的渐近稳定状态是零平均高斯状态。因此，稳态可以完全由CM，V来表征。这种形式主义为探索机械振荡器的冷却和声子-光子纠缠提供了一个统一的框架。
当满足等式（12）的稳定条件时，我们可以求解4times;4平稳相关矩阵V[41–43]的等式（10）。
(15)
其中，相关矩阵V的元素定义为，是对角扩散矩阵，其中我们使用以下近似值：
(16)
式中。稳态CM的李雅普诺夫方程（15）可直接求解。然而，一般的精确表达式太繁琐，这里不会涉及。
4 克尔下转换非线性对基态冷却和稳态纠缠的影响
已经证明在每个光机械腔中，辐射压力耦合可以使系统进入一个具有真正量子特性的静止状态，包括向基态冷却谐振器和光子-声子纠缠。因此，研究克尔下转换非线性下的
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