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一维光子晶体受光束束缚
崔立勇，小李1，陈军1，曹永银2，杜贵强4，Jack Ng 1,5
（1香港浸会大学物理系，中国香港）
（2山西大学理论物理研究所和极光学协同创新中心，山西）
（3哈尔滨工业大学物理系，哈尔滨150001）
（4山东大学威海分校空间科学与物理学院，威海264829）
（5中国香港九龙塘香港浸会大学计算与理论研究所）
摘 要
通过严格的模拟和光散射进行诱导，研究了一维光子晶体的光学结合。对应于通带，带隙和带边缘的光学力在质量上是不同的。结果表明，光可以诱导介质板组织成稳定的光子晶体，其较低的带边缘与入射光频率一致。还考虑了具有奇偶时间对称性的光子晶体。
一 引言
光学陷阱，定位，操纵由激光束产生的小颗粒这三个步骤，已经成为跨越基础科学和应用科学的宝贵工具[1-7]，无论是多么小的颗粒，都可以用来作为工具。与此同时找到了巧妙的方法来塑造激光束以实现新颖的功能，但是处理近处的粒子集仍然是具有挑战性的。粒子散射光会重新分布空间光强度，改变光学力[8-10]。换句话说，光学力不仅仅由入射场决定，而且还由粒子的分布决定。这种相互作用被称为“光学结合”[8]并且已经通过理论[20-29]和实验[11-19]进行了验证。
本文主要研究由在空气中周期性排列的介电板组成的一维光子晶体(PC)进行光学绑定。通过使用传递矩阵方法[30]，可以计算由N个电介质板组成的一维PC中的电磁场，其中N的取值范围为20到1000。然后，使用麦克斯韦应力张量的表面积分来计算时间平均光学力，继而使用分子静态模拟[31]来搜索PC的平衡配置。最后，我们使用线性稳定性分析方法验证PC的稳定性。
由交替的电介质层和空气层组成的一维PC可以通过调整，并且用PC的较低频带边缘的激光来照射它，使它达到稳定。动态矩阵方法也用于验证具有无限多单位单元的PC的稳定性。
我们还研究了具有奇偶校验时间的一维PC（PT）的对称性，其中介电常数现在满足。物理可观测量的算子的隐性是量子力学的基本公理，它保证了真实的特征值谱。本德等人表明PT-对称哈密顿量也可以保证真实的光谱。研究表明，光学系统也可以具有PT对称性[32]。在这里我们展示了当PT对称性准确时，一维PC通过光学绑定也可以将自身组织成稳定的PC。
二 结果
A一维介质PC中的光学力
我们主要研究一种由交替的双电层和空气层组成的N-slab PC。 其单元电池如图1所示。图1（a）通过标准传递矩阵法[30]计算出相应的光子带结构，如图1（b）所示，其中=4(电介质的介电常数)，(电介质的磁导率)，(电介质的厚度)，(空气的厚度)。使用类似的介电常数和晶格常数后，相同的物理学规律将会被发现。在激光照射下，光学历被施加在平板上，用于收集平行在无限大气中的介电板，时间平均光学力F（以下简称为“光学力”）是由以下公式给出：
（1）
其中a表示表面面积，表面1-4在图1（a）中用黄色虚线表示，表面5和6是由表面1-4形成的矩形的顶盖和底盖。空气中的时间平均麦克斯韦应力张量（表面1和2）[33]由下式给出
. (2)
其中E和B表示电场和磁场，是自由空间的介电常数，c是真空中的光速，是3times;3单位矩阵, 表示采用复共轭。由于对称性，来自表面3和4以及5和6的作用被取消。对于TE和TM变化率，式（1）可以简化为
. (3)
图1:（a）示意图,显示出适应强度为的线性偏振平面波，其通常入射在由交替的电介质层和空气层组成的PC上（b）中。用于PC的光子带结构,这里的q是布洛赫波矢量，且, 光子带隙以蓝色阴影显示。
这里是每单位面积光学力的z分量，是入射角, 和 是板左侧前后电场的振幅（表面1）, 和 是右侧（表面2）的相应数量。
图2:在图1（b）中用彩色箭头标记的是四个代表性频率上作用在单个板上的光学力。蓝色实线：20块板; 红色虚线：40块板。（a）通过带点划线的橙色箭头标记的通带，（b）带有绿色箭头标记的带隙，（c）由红色虚线箭头标记的较低波段边缘，（d）由紫色虚线箭头标记的上带边缘。
图3：在4处作用于的光学力，由图1（b）中的箭头标记的代表性频率，（a）通过带点划线的橙色箭头标记的通带，（b）带有绿色箭头标记的带隙，（c）由红色虚线箭头标记的较低波段边缘，（d）由紫色虚线箭头标记的上带边缘。
图2和图3绘制了在垂直入射时由图1（b）中箭头标记的四个选定频率照射时作用在PC上的光学力。在通带照射时，如图2（a）所示，由于前向和后向传播波之间的干涉，光学力沿着PC的长度产生振荡。由图可知，由于具有20和40块板的PC的反射波不同，它们的光学力也不同。光学力的振荡特性适用于在通带内以相应频率照明的PC。需要注意的是振荡力的振幅为,其中是空气中的入射波长。这个条件对应于每个板上的单位传输，所以力变为零。与第一带隙内的入射波长相关的力如图2（b）和图3（b）所示。当磁场传播通过PC时，磁场迅速衰减，力也是如此。图2（c）和3（c）显示了与之相关的力，图2（d）和3（d）示出了与上带边缘相关的力。图2（c）和2（d）呈现出线性关系，但对于较大的PC如图3（c）和3（d）所示，线性关系不再成立。图2（c）和3（c）也显示了与之相关的力，图2（d）和3（d）显示了与上带边缘相关的力。图中的曲线图2（c）和2（d）呈现出线性关系，但对于较大的PC，如图3（c）和3（d）所示，线性关系不再成立。
B平衡配置
如第二节所述，IIA和图2中描绘的力在PC上通常是非零的。我们将探讨使用光诱导力绑定和自组织一维PC的可能性。为此研究了均衡配置，通过放松周期性PC，使用分子静态模拟[31]，作用在每个板上的力为零或相等。前者被称为静态平衡（零力），而后者被称为动态平衡（等力），其中整个结构将以其固定的形状移动。
仿真结果可归纳如下：松弛后，如果发现平衡构型，则板坯有时会将自身组织成非周期性结构（特别是对于小N），有时是板坯之间几乎均匀分离的PC（对于大N）。不考虑入射波长，使用分子静电发现的平衡（如果有的话）是动态平衡配置。当光的反射不为零时，在整个PC上进行制动的总量必须大于零。因为静态平衡必须具有零总力。所以，动态平衡是唯一的可能性。此外，更多板坯的动态平衡通常与每个板坯上的较小力相关联，如每个板坯的（每个板坯的单位面积力的值，动态平衡，N = 50） 在入射光强度为时，N=50，500，1000分别对应和，单位为。相邻板坯之间的平衡分离（晶格常数）如图4所示。晶格常数通常是均匀的，除了PC除外。当用一对相同的反向传播平面波（相干或非相干）照射PC时，我们还确定了相应的静态平衡，如图5所示，对于相干和非相干反向的传播波，晶格常数如图5（a）和5（b）所示，它们的高度是均匀的。
图6绘制了PC之前的带结构（实心蓝线）和之后的松弛（红色虚线）。初始PC在其第一带隙的上带边缘被线性偏振平面波照射。松弛之后，PC将其自身重新排列成另一中PC，其较低的频带边缘与入射光频率一致，在我们所进行的模拟中都观察到了相同的现象。实际上，在我们的所有模拟中，如果平衡配置是PC，则其较低频带边缘波长总是与入射波长一致。板坯越多，从均衡配置到理想PC的偏差就越小。
图4：稳定PC中两个相邻板块之间的分离（或晶格常数），其中50（实线蓝线），500（红色虚线）和1000（黑色虚线）板被光束缚。
图5：PC的晶格常数由一对相同的反向传播平面波照亮，可以是相干的（a）也可以是非相干的（b）。
C稳定性分析
我们采用了Ref的线性稳定性分析[21]来研究光学结合PC的稳定性。简而言之，它们的稳定性由自然振动频率决定，通过对的依赖性，其中Omega;是固有振动频率。根据固有振动频率的性质，平衡配置的振动模式可以是稳定的（实际频率），不稳定的（虚频率），中性（零频率）或者复杂不稳定的（复杂频率）[21]。我们发现的所有周期性平衡配置都满足入射频率与PC的较低频带边缘之一匹配的条件。而且，这些都是稳定的，因为它们的固有振动模式是实数。
然后我们考虑了无限PC的稳定性，使用附录[34]中概述的动态矩阵方法。计算所需的动力矩阵，大约通过使用由有限PC形成的矩阵，具有50，500和1000个板。其中50（实心蓝线），500（红色虚线）和1000（黑色虚线）平板的结果在图7中相互吻合，这一事实表明我们的结果正确。如图7所示，固有振动频率都是真实的；很明显，当PC在较低频带边缘被照亮时，即使对于无限PC，我们也能找到稳定的平衡状态。当板的布置和场图案都是对称时，力是零，这种情况只在带边缘处发生。另外，平板布置对称，但因它不是场，因此力不是零。在较低频带边缘，电磁能量主要位于电介质中；由于梯度力倾向于将电介质驱动到高强度区域，所以预期平衡是稳定的。相反，对于上带边缘，即使它也对应于平衡，其电磁能量也定位在空气中，使其不稳定。
图6：初始PC（实心蓝线）的带结构，新形成的PC（红色虚线）。显然，最终PC的较低频带边缘与入射频率对齐。
图7：计算无限PC的固有振动频率，通过使用动态矩阵方法，其中动态矩阵由具有50（实线蓝线），500（红色虚线）和1000（黑色虚线）板的有限尺寸PC的近似。不同N的良好协议表明良好的收敛性，频率都是正的，表明稳定性。
D 具有PT对称性的一维PC
在这里，我们考虑具有PTsymmetry的一维PC系统。一维PT对称PC如图8（a）所示，其中带结构的实部和虚部如图8（b）和8（d）所示，其中(空气的厚度)，(具有增益或损失的电介质的厚度),并且。带结构中的两条线合并在一起的点是异常点[32,36-38]，超出该点，带结构形成一个虚部，对应于破坏的PT对称性，意味着频率中的非零正虚部场随时间无限地增加（，它随着t的增加而发散。因此，当PT对称性被破坏时，光学绑定将更复杂,并且是时间依赖性问题。这些情况我们不考虑，因为它们不是均衡配置。（q，Y）空间中M的例外点的轨迹如图8（c）所示。灰色区域代表PT精确相位，而白色区域代表PT断开相位。可以看出，对于，任何q都没有PT精确相位。对于PT精确相位区域内的q和（阴影），我们在本文前面部分描述的PC的稳定光学绑定类型是可能的。
与无损PC类似，较低频带边缘对应于稳定配置。如果我们修正入射波长，图9(a)显示具有= 2,4,5的PC重新排列成具有不同晶格常数的PC。然而，在所有情况下，它们的较低波段边缘与入射波长一致，如图9(b)所示。或者,除了拥有在相同波长下的平衡配置，我们可以使具有= 2,4,5的PC共享相同的晶格常数。对于每个，我们选择恰当的入射波长以匹配所需PC的较低频带边缘。松弛后PC的能带结构如图9（c）所示，它们的晶格常数非平衡点如图9（d）所示，对于不同的，它们基本相同。最后,计算了具有50,500和1000块板的PT对称PC的固有振动频率，这表明平衡配置是稳定的。
图8：（a）示出一维PT对称PC的示意图。（b）(空气的厚度)，(具有增益或损失的电介质的厚度),并且。这里q是布洛赫波矢量，晶格常数是。（c）（q，Y）空间中M的例外点的轨迹。灰色区域代表PT精确相位，白色区域代表PT断开相位。
图9：（a）两个相邻板块之间的分离新形成的PC（N = 50），其中 = 2.0（实线蓝色），= 4.0（红色虚线），并且 = 5.0（黑色虚线）。入射频率为0.5625（omega;pi;/2pi;c）。（b）新形成的PC的带结构，其中 = 2.0（实线蓝色）， = 4.0（红色虚线），或 = 5.0（黑色虚线）。很明显，新形成的PC的下带边缘与入射频率一致。（c）新形成的PC的带结构，其中= 2.0（实心蓝线），= 4.0（红色虚线），并且= 5.0（黑色虚线）。（d）两个相邻板之间的分离（晶格常数）。
E倾斜发生率
晶格常数在平衡状态下，入射角为30°，45°，60°，80°和80°所对应的波长分别为，，和。最初，与四个入射角相关联的较低频带边缘处于不同的频率； 在松弛之后，PC重新排列，使得它们的所有较低频带边缘与入射波长一致。通过线性稳定性分析也验证了稳定性。
三 结论和讨论
在过去的二十年中，研究人员一直试图建立大规模的光学约束“材料”，但到目前为止，并没有成功。有些人认为失败是由于有限的实验设置，如激光功率的可用性低，有人认为这是光学的内在存在不稳定性约束结构[2,39]。我们展示了稳定的周期性一维结构的光学结合，该结构是在其较低带边缘之一处照射处的光子晶体。我们重复了对具有不同晶格常数和介电常数的PC的计算，并观察到了相同的现象。在我们看来，只要初始配置距离它不太远，我们就可以使用我们的方法构建任何单个单元格的单板PC。例如，如果我们想要建造一个具有一定周期的PC，我们可以使用频率等于所需PC的低频带边缘的激光照亮平板的集合。板块的集合将自动放松到适当的位置。
通过使用动态矩阵方法，我们展示了一个由无限数量的平板组成的PC可以稳定地界定。我们对光学力的详细研究还允许在由平板组成的微调器
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