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EP 点附近损耗诱导的双稳态阈值回复
摘要
通过探索非埃尔米特矩阵系统中特殊点（EP）的特殊性质，我们在此证明损耗可以在控制双稳态中发挥作用。我们的实验，在微波状态下，在耦合谐振器的非厄米特元分子中实现了EP。通过增加损耗，我们首先观察弱耗散区域的双稳态抑制，然后观察强耗散区域的双稳态恢复。实验和理论分析都表明，双稳态的恢复是由于系统遇到EP后场强的恢复，尽管损失越来越大。我们的结果提供了一种控制和显示双稳态系统的替代方法，以实现不限于微波状态的柔性光子器件。
关键词：异常点，非厄米特系统，双稳态，美特分子
1.介绍
通常来说，在一个物理系统中大家喜欢减少或者回避损耗带来的诸多缺点，
例如能量损失、降低场强或者增加阈值等等。然而，近几年研究者却发现，由复
数的本征值和本征态描述的带有损耗的非厄米系统和传统的厄米系统模型大相
径庭。当调节上述损耗系统的关键参数时，系统会出现一个特殊类型的奇点，
该点处系统本征值和伴随的本征态将在一个平方根的相变点处合并，这个点也被
著名研究者 Kato 称为奇异点（Exceptional Points, EP）。并且，EP 点也可以出现在纯的介质晶体中，甚至在拓扑光子系统中，例如螺旋晶体材料或者超材料共振耦合单元。EP点附近的光学模式简并决定了本征模式非凡的传输特性和拓扑性质，如激光的反直觉现象、手征模式和能级排斥。特别的，点的物理学性质很多时候都会和宇称-时间（Parity-Time, PT） 对称联系在一起。PT 对称系统要求系统中损耗和增益部分达到完美的平衡，在这样的系统中研究者们已经观察到了相干完美吸收、损害诱 导透明和单向隐身等等奇特的现象。此外，非厄米系统的随机动力学还在 微波、光学、原子物理和电子波等系统中被研究。
最近，一对耦合波导或共振单元的模型引起了巨大的关注，因为上述结构能在光学系统中清晰演示一些现象。还有一些在激光范畴的实验也为我们提供了参考，例如增益诱导的激光死亡、自发的 PT 对称破缺和激光线宽增强。值得关注的是，在光子学领域中的“超材料分子（meta-molecule）”的描述在微波频段可以由超材料原子（meta-atom）来构成。这个方法也让研究者更好去探索非厄米系统中内在的物理学性质。
图1 (a)由一对超材料原子构成的超材料分子模型。(b)微波系统对应的实验样品。参数细 节请查阅最后小节。
在本章中，我们首先演示了如何利用一对微波频段相互耦合的共振单元构成
的超材料分子实现非厄米系统中的 EP 点。并且，通过单调的增加其中一个共振单元内的损耗让系统经历一个非理想的 PT 相变，实验结果通过系统的透射谱线呈现。这里，我们通过在构成超材料分子的其中一个超材料原子内引入非线性观察到了频率和功率的双稳态曲线。奇特的，我们在不断引入系统损耗的过程中，观察到了双稳态阈值的非单调变化，并在巨大的损耗引入分子后仍然可以观察到良好的双稳态现象。我们通过线性理论模型解释了该场强和阈值回复的现象，通过非线性理论模型实现了实现曲线的拟合重复。此外，我们利用仿真软件同济大学 博士学位论文 损耗诱导的宇称-时间对称破缺及奇异点的研究模拟的场强变化趋势也为理论和实验结果提供了支持。最后，我们在理论上将该现象推广到激光理论，提出了一种新型的激光器实现方案，即利用损耗过量的PT 系统降低实现一个高品质因子的模式诱导激光。本章的工作将丰富我们对 EP点物理的认识，为研究人员探索双稳态系统提供一个方案和微波的实验系统。
- 理论和实验结果
我们的系统基于微波光子分子，如图1（a）所示在本节中。该分子由一对耦合的电磁人造原子所构成， 图中绿色的为“亮原子”橙色的为“暗原子”。所谓“亮原子”（假设本征频率为）是表明它可以直接被入射波激励，而“暗原子”（假设本征频率为）只能通过近场耦合被“亮原子”间接激励。如果考虑两个电磁人造 原子内的辐射损耗和耗散损耗 Gamma;1,2，那么由它们所构成的超材料分子可以被认为是一个非厄米系统。为了准确的实现上述物理模型，我们精巧的设计了一套微波频段的实验样品，如图1(b)所示。如果考虑入射波从微带线TL1 进入系统,下部的共振单元a1（绿色）可以被Port1的能量直接激励为“亮原子”， 而上部的共振单元a2（橙色）通过经常耦合被激励为“暗原子”耦合在微带线TL2 上。我们在每个电磁人造原子上加载了集总元件方便调整系统参数，例如可 调电阻可以增加原子内的耗散损耗而可调电容可以补偿原子漂移的共振频率。为 了观察到双稳态现象，我们在“亮原子”上额外加载了一个变容二极管，其等效电容值C0 = 2.65 pF。因此，我们这里采用线性的耦合模方程对该系统进行描述：
（1）
（2）
为了简化理论模型增强实验效果，我们将两个电磁人造原子的本征频率设为相同1 =2 = 0，实验上通过调整加载的可调电容器实现。基于这个前提，系统的转移矩阵（开放系统的等效哈密顿量）可以被描述为：
（3）
并通过求解方程，可以获得该耦合系统的本征值为：
（4）
公式中，。我们根据实验样品提取的模型参数计算了该系统的本征值随“暗原子”内耗散损耗增加的演化结果，如图 2 (a)所示。上部为系统实部，可以观察到两个模式随着损耗增加慢慢靠近，并在 EP 点处合并，之后模式的工作频率为系统本征频率。下部为系统虚部，可以观察到虚部在 EP 点后发生劈裂，其中一个模式虚部将会减小，而另一个模式的虚部加速增加。这意味着，当系统越过 EP，两个模式相互独立的工作在本征频率，且其中一个模式的损耗会变小（非单调变化），而另一个模式损耗则增加。
为了继续探究共振结构上场分布的变化情况，我们将公式和（k=1,2）代入公式（1）,（2）中：
（5）
（6）
其中，Delta;1 =-1，Delta;2 = -2 表示入射波频率和系统本征频率的差值。我们进而在稳态求解公式（5），（6）得到两个电磁人造原子上的振幅的表达式：
（7）
（8）
类似的，这里我们设置两者的本征频率相同 Delta;0 = Delta;1,2 =-0。如此，基于公式（4）（7）的振幅我们可以得到两个共振单元在本征频率下工作示的场强。图2(b)描绘了位于本征频率plusmn; 处，系统中“亮原子”（绿色）、“暗原子”（橙色）和总体（蓝色）场强随“暗原子”内耗散损耗 Gamma;2 不断增强时的变化，其中我们在 Gamma;2 = 0 GHz条件下对计算结果归一化。
图2 (a)理论计算的系统本征值实部和虚部演化随“暗原子”内损耗增加结果。(b)对应的归一化场强计算结果。图中计算的系统参数为试验样品提取：其中两个原子的辐射损耗分别为gamma;1 = 0.032 GHz,gamma;2 = 0.028 GHz，而近场耦合强度 = 0.07 GHz。这里，我们设置Gamma;1 = 0 GHz，表示“亮原子”内没有额外的耗散损耗。上述参数也适用于本节其它理论计算结果。
我们发现在系统没有引入额外损耗的时候（Gamma;2 = 0 GHz），两个原子上的场强基本相同，这也符合通常对称和反对称模式下的结论。随着我们增加损耗，两个共振单元的场强同时下降，表明系统的一部分能量被损耗吸收。然而，随着系统接近 EP 点，“亮原子”内场强开始逐渐增加而“暗原子”内却一直下降。当系统内引入巨大损耗时，我们发现“亮原子”内的场强完全恢复甚至超过了开始的场强而与之对应的“暗原子”内场强则几乎消失。接下来，我们将在我们的实验中证明这种特征。
在第一组实验中，我们主要通过分析系统的透射率来得到系统本征值随损耗
增加的演化关系（增加系统的电阻来实现损耗增加）。从公式（7）中，我们可以进一步计算获得透射率T1→2：
（9）
图3 (a)透射率T1→2（Port1 入射Port2 出射）的理论（虚线）和实验（实线）结果。根据不同的损耗程度分为三个区域：（i）弱损耗区，（ii）中等损耗区，（iii）强损耗区。其中，底部实线为理论计算值而点为实验结果。(b)对应的场分布仿真结果:a1 表示“亮原子”a2 表示“暗原子”。第一组实验中我们用稳定电容检测场强，而第二组则替换为变容二极管观察双稳态阈值。图中可以看到“亮原子”场强在三个区域演化中存在明显的回复效
因此，我们描述了理论和实验结果（如图3（a）所示），并发现它们匹配得非常好。两个原子的内部辐射损耗与耗散损耗以及原子间的近场耦合强度共同描述了系统的本征模式以及复数的本征值。一开始，我们设置两个原子内的耗散损耗 Gamma;1 = Gamma;2 = 0 GHz(即R1 = R2 = 0 Omega;)。系统处于图中所示的弱损耗区域在该区域中，系统的两个本征模式位于不同的频率（即实部劈裂），由公式（4）中的实部所确定。当我们逐渐增加“暗原子”中的损耗时，本征值公式的根号内数值迅速下降，并在EP点处达到临界值两个模式实部合并，此时且Gamma;2 = 0.14 GHz。如果我们继续增加损耗，系统将过渡到强损耗区域此时本征值公式的平方根将出现一对共轭的纯虚数值，意味两个本征模式的实部相同，虚部一个增加一个减小。我们通过软件对上述实验系统进行数值仿真，获得的场分布如图3(b)所示。我们可以观察到，系统经历上述三个区域时，“亮原子”上的场强先下降后上升，有一个明显的回复现象。
图4 (a)输于 minus;2 dBm 下，频率正反向扫描透射率T1→2 实验结果。这里我们实 入功率处验测量的是minus;，由于变容二极管的双稳态总是出现在低频模式。(b)损耗诱导的双稳态功阈值（蓝色圆圈）和超材料分子场强回复（红色三角）。虚线标注minus;2 dBm 功率输入。
为了进一步证明复兴对双稳态的影响。我们设计的第二组实验中，我们使用了一个等效电容值相同的变容二极管代替先前的定值电容器（C0 = 2.65 pF）。当二极管两端的电压或者这里的场强大于阈值时，我们可以观察到透射谱线中的回线，即双稳态现象。双稳态产生的条件为变容二极管本身自带的非线性效应，我们将在本章的下面内容单独讨论非线性的非厄米系统。如图4(b)所示，为系统输入功率为 minus;2 dBm 时不同损耗速率下频率扫描谱线。其中正向和反向扫描我们分别用蓝色和绿色区分。那我们看到，当系统不引入额外损耗时（最顶端小图），两条曲线在共振模式处分离，说明此时系统大于功率阈值触发了双稳态可以被观察到。当我们增加系统内的损耗至 EP 点附近（中间小图），由于耗散损耗吸收了能量，可以明显观察到两个曲线区域重合，表示此时的功率没有达到阈值我们无法观察到双稳态，换言之，系统的双稳态阈值上升了，需要更大的功率才能达到阈值重现双稳态。在通常的系统中，需要减 少系统的损耗来增加同样功率下系统的场强才能降低双稳态阈值，而这里我们继续增加损耗直至一个非常高的状态。如最低端小图所示，在引入巨大的损耗后系统的正反向扫描谱线重新分离甚至比不引入时分离的更加明显，由于我们并没有改变输入的功率，说明系统的双稳态功率阈值不但降低了更是低于没有损耗时的阈值。此外，我们还在系统本征值下进行了功率扫描测试，实验结果如图4(a) 所示，也表现出了类似的回复现象。归一化强度和双稳态阈值之间的相反演化趋势告诉我们双稳态环确实是由非线性变容二极管引起的，这与其他线性元件拓扑工作中的参数环机制不同。
- 方法
本节的实验样品我们采用型号为 Rogers RT5880的双面覆铜，板材厚度为 0.787 mm 的板材，并通过激光烧蚀技术完成样品表面结构的制备（LPKF ProtoLaser 200）。在“亮原子”中我们使用的电容为C0 = 2.65 pF，且我们为了观察双稳态现象加载的变容二极管的等效容值也与之相同。我们还同时在两个电磁人造原子上加载了额外可调电容器来补偿样品制备时误差造成的频率漂移，可调电容器的电容范围为C1 = 1 minus; 3.6 pF。实验中，我们通过增加电阻实现“暗原子”中损耗速率的调整，加载的可变电阻器的组织范围为R2 =0 minus; 100 Omega;。我们制备的电磁人造原子的几何尺寸参
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