英语原文共 6 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
改进的显式方程式用于估算粗糙和光滑管道中的摩擦系数
伊娃·罗密欧，卡洛斯·罗约，安东尼奥·蒙松
萨拉戈萨大学理学院化学与环境工程系，西班牙萨拉戈萨50009 2001年3月26日收到； 2001年10月29日以订正表收到； 接受2001年10月29日
摘要:
本文综述了计算粗糙和光滑管道中摩擦系数的最常见的相关性。 根据这些相关性，开发了一系列更通用的方程式，从而可以非常精确地估算摩擦系数，而无需进行迭代演算。 新方程式参数的计算已通过非线性多元回归完成。 通过从Colebrook-White方程的两个或三个内部迭代中获得的那些方程，可以获得更好的预测。 其中，通过以下公式可获得最佳结果：
copy;2002 Elsevier Science B.V.保留所有权利。
关键词：摩擦系数 科尔布鲁克-怀特方程； Darcy–Weisbach方程； 管道压头损失； 非线性回归
1.引言
牛顿液体在管道中流动时由于摩擦而产生的能量损失通常通过Darcy-Weisbach方程[1]计算：
（1）
在该方程式中，f是所谓的穆迪或达西摩擦系数（分别为fM或fD）[1]，根据上述方程式，其计算如下：
（2）
除穆迪因子外，还可以使用范宁摩擦因子，其定义如下[2]：
（3）
从等式 （2）和（3）推导两个摩擦系数之间的关系：f = f M = f D = 4fF。摩擦系数取决于雷诺数（Re）和管的相对粗糙度ε/D． 对于层流（Re lt;2100），摩擦因数是根据哈根-泊瓦依方程计算的：
（4）
对于湍流，通过Colebrook和White [3,4]提出的方程来估算摩擦系数。
（5）
Colebrook-White方程对Re的有效范围为4000至108，相对粗糙度的值范围为0至0.05。 该方程涵盖了光滑管的极限情况，ε= 0，并且充分发展了湍流[3,4]。 对于光滑的管道，等式。（5）变成普兰特·冯·卡曼[3,4]：
（6）
如果流量得到充分发展，则可以证明Re（ε/ D）radic;fgt;200。在这种情况下，摩擦系数仅取决于相对粗糙度，可以通过冯·卡曼[3,4]推导的公式进行计算。一一一一一一一
（7）
除非事先知道卡曼数Reradic;f，即已知管道中流体的压降为等式。 （5）和（7）对于f的值是隐式的，并使用数值方法求解。 因此，如果将辅助变量F定义为1 /radic;f，则可以将Colebrook-White方程（等式（5））重写为通过逐次替换的方法求解：
（8）
另外，可以使用牛顿-拉夫森法。 根据该方法，再次使用变量F，计算公式中的f值。（5）涉及找到函数Y的根，定义为
（9）
根据上面的公式，通过以下表达式执行计算函数Y的根的迭代：
（10）
其中Y，n可评估为：
（11）
等式 （8）和（10）收敛非常快，尤其是在对摩擦系数有很好的初始估计的情况下。 为此，可以使用穆迪[1]生成的图形或文献中可用的任何显式方程式。 迭代方法的替代解决方案是直接使用显式方程，该方程足够精确以直接计算f的值。 对于光滑的管道，其中f仅取决于Re，Gulyani [5]提供了对更常用来估计摩擦系数的相关性的修订和讨论。 对于粗糙管的一般情况，自1940年代以来已经提出了许多方程式。 在这项工作中，提出了对那些更常用的修订。 根据这些表达式，还提出了新的方程式，从而改善了摩擦系数的直接计算。一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一
1.1、 回顾以前的公式来计算摩擦系数
自1940年代末以来，假定使用最广泛的方程式按发布顺序列出。
（i）1947年，穆迪[6]提出了以下经验方程式：一一一一一一一一一一一一一一一一一一y一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一
（12）
根据作者的说法，该方程对Re的有效范围为4000到108，ε/ D的值的范围为0到0.01。
（ii）后来，伍德[7]提出了以下相关性：
（13）
对于Re在4000至107之间且ε/ D值介于0.00001至0.04之间的情况，建议使用此公式。一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一
（iii）丘吉尔[8]使用丘吉尔和Usagi [9]开发的运输模型，推导出以下表达式：
（14）
（iv）Jain [10]从冯·卡曼–普朗特方程（等式（6））提出了类似于丘吉尔[8]的表达式：
（15）
（v）丘吉尔[11]再次使用丘吉尔和Usagi输运模型[9]，提出了以下方程，该方程对Re的整个范围有效（层流，过渡和湍流）：
（16）
上面的表达式包括层流的Haguen–Poiseuille方程（Re lt;2100）（等式（4）），等式。 （14）对于湍流（Regt; 4000）（等式（16）中的项A）和以下过渡态相关性（2100 lt;Re lt;4000）（等式（16）中的项B）[11] 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一
（17）
（vi）操纵方程式后。 （5）为了获得1 /radic;f的隐式表达式，并用Colebrook-White方程（等式（5））替换该表达式，Chen [12]提出了以下方程式：
（18）
此方法涉及对Colebrook-White方程进行两次迭代。 由于初始估计良好，因此从该方程式获得的结果的准确性很高。 Chen提出的方程对Re的有效范围是4000至4.108，ε/ D值在0.0000005至0.05之间。一一一一一一一一一一一一一一一一一一一
（vii）Round [13]提出了对Altshul公式[14]的以下更改，从而改进了该公式对ε/ D值较高的预测：
（19）
（viii）Barr [15]通过类似于Chen [12]的方法，提出以下表达式：
（20）
（ix）Zigrang和Sylvester [16]也遵循与Chen [12]所使用的相同方法，但是进行了三个内部迭代。 他们提出了以下等式：
（21）
（x）Haaland [17]通过以下表达式提出了相对粗糙度影响的变化：
（22）
（xi）Manadilli [18]使用他所谓的类似于信号的方程式，提出了以下表达式，该表达式对Re的有效范围是5235至108，并且适用于任何ε/ D值：
（23）
另外，对于Re的值介于2100和5235之间，Manadilli [18]提出了以下表达式来计算f：
（24）
这个方程类似于丘吉尔[11]提出的关于过渡制度的方程（方程（17））。
一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一
在等式中定义的术语
a，b，c常数。（13）一一一一一一一一一一一一
AIC赤池信息准则，等式。（26）一一一一一一一
D内管直径（m）一一一一一一一一一一一一一一
f摩擦系数一一一一一一一一一一一一一一一一
F公式中使用的辅助变量（8）并定义为根号f分之一
F的平均值F的值一一一一一一一一一一一一一一
FC–W用科尔布鲁克-怀特方程预测的F的值
Fcalc用建议的模型计算的F的值一一一一一一
g加速度重力（9.81m2 / s）一一一一一一一
hf压头损失（m）一一一一一一一一一一一一一
L管道长度（m）一一一一一一一一一一一一一
MSC模型选择标准，等式。（25）一一一一一一
n点数，等式。（25）一一一一一一一一一一一
NP参数数量，等式。（25）一一一一一一一一一
P压降（Pa）一一一一一一一一一一一一一一
Re雷诺数一一一一一一一一一一一一一一一一
u由等式定义的平均速度（m / s）
Y辅助变量。（9）一一一一一一一一一一一一
希腊符号
ε管道粗糙度（m）一一一一一一一一一一一一
micro;粘度（kg / ms）一一一一一一一一一一一一
rho;密度（kg / m3）一一一一一一一一一一一
tau;w剪切应力（Pa）一一一一一一一一一一一
1.2、 方程比较
使用指定为模型选择标准（MSC）[19]的统计参数通过以下表达式计算出的不同方程的统计比较，无论是文献中的方程还是本工作中开发的方程。一一一一一一一一一一一
（25）
从上式中可以看出，我们估计F的值（= 1 /radic;f）而不是摩擦系数的值。 该标准源自Akaike的信息准则[20]，并允许在具有不同数量参数（NP）的模型之间进行直接比较。 赤池信息准则（AIC）由以下表达式定义[20]：一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一
（26）
AIC试图通过将确定系数与获得拟合所需的NP（或等效自由度数）相关联，来表示给定参数估计集的“信息内容”。 当比较具有不同参数数量的两个模型时，此准则给具有更多参数的模型带来了负担，不仅具有更好的确定系数，而且还量化了认为模型更合适所必须达到的更好水平。 如上定义的AIC取决于数据点的数量以及观察的数量。 根据此标准，最合适的模型是AIC值最小的模型。一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一
MSC将在模型之间给出与AIC相同的排名，并且已经过归一化，因此它与数据点的缩放无关。 对于此标准，最合适的模型将是具有最大MSC的模型，因为我们要最大化模型的信息内容。 在表1中，示出了用于修正方程式的MSC值。 可以看出，最佳拟合与Chen [12]，Barr [15]和Zigrang 和 Sylvester [16]提出的拟合相对应。
表1以往模型获得的MSC值
Authors 作者 Equation方程 MSC
1.3、 拟议模型
提出了新的方程式，该方程式可以概括先前提出的最佳相关性（请参见表1），并可以估计摩擦系数，而几乎没有误差。 参数的计算是通过对Colebrook-White方程（数据称为FC-W）生成的数据F vs. Re和ε/ D进行多变量非线性回归来进行的。 对于21个ε/ D值（范围从0到0.05），有20条F vs. Re数据曲线（Re范围从3000到1.5times;108）。 为了确保所获得参数的统计可靠性高，已在每条曲线中计算了大约500点（n = 10548点）。
1.4、 模型1
这个模型，等式 （27），使用有理函数来表达Re数的影响，并表示丘吉尔（Eq。（14）），Swamee和Jain（Eq。（15）），Round（Eq。（19））的推广。 ）和Haaland（方程（22））方程：
（27）
表2列出了所研究的10种情况下获得的MSC的拟合参数（NP）的值和数量。 每种情况都是通过以下方程式的一些参数获得的。 （27）：n1，n2，a3和m，然后进行拟合，剩下的剩余参数可以自由估计。 表2中的结果表明等式。 （27）与以前的模型相比，显着改善了拟合结果，尤其是当包含参数a3（模型1F–1J）时。 从统计的角度来看，使用Model 1J（MSC = 10.90）可获得最佳结果，尽管Model 1I提供几乎相同的拟合（MSC = 10.75），并且使用更简单。
表2从模型1获得的子模型的参数。
a这些值已为每次拟合固定。一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一
1.5、 模型2
模型2，等式 （28）涉及Chen模型（等式（18））的扩展，并进行了Colebrook-White方程的两个内部迭代。 将模型1I的结果作为初始估计：
（28）
在表3中，显示了在6个案例中获得的结果，模型2C与Chen [12]提出的模型相似。 由于此函数的结构，即使对于最简单的情况（模型2A），MSC值也表明，所获得的所有配件均优于通过模型1研究的任何案例所获得的配件，甚至优于 用Chen模型获得。 包含参数a5可显着改善配件（模型2B，2D和2F）。 从统计的角度来看，尽管2D模型提供了几乎相同的拟合（MSC = 16.03），但使用起来更简单，而2F模型则提供了最佳拟合。
表3从模型2获得的子模型的参数
a这些值已为每次拟合固定。一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一
1.6、 模型3
模型3，等式 （29）是Zigrang和Sylvester模型Eq的扩展。 （21），并通过模型1I作为初始估计，在Colebrook-White方程中进行了三个内部迭代而获得（请参见表2）：
（29）
表4显示了用该模型研究的五个案例的结果。从这些结果可以看出，即使3NP具有相同的NP，模型3A相对于Zigrang和Sylvester模型所提供的拟合效果也是明显的。 这种差异是由于Zigrang和Sylvester [16]的工作中对参数a2，a4和a6的估计。 再次，等式的结构。 （29）导致所有拟合结果都优于模型1和2
剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
资料编号：[237736]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word
以上是毕业论文外文翻译，课题毕业论文、任务书、文献综述、开题报告、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
