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摘要：
我们提出并研究了一种新的演化网络模型,包括新的局域世界连接的概念，它存在于许多物理复杂网络中。局域世界演化网络模型代表了一种幂律和指数缩放的过渡，BA无标度网络模型仅仅只是它的特例之一。我们发现这种局域世界演化网络模型能够保持无标度网络的鲁棒性并且能提高在对抗蓄意攻击的时候的网络的稳定性，这是大多数的无标度网络的脆弱的地方。
1．介绍
好一个复杂网络，当我们在面对因特网和万维网的时候，它们仍然在以一个加速度扩张，所以这会是我们通常会有的自然反应。实际上，我们住在一个复杂网络的海洋里：电信枢纽网络，甚至我们身体里的蛋白质蛋白质相互作用网络。如何去对如此复杂的网络建模呢？数学家们第一次尝试去描述这样的网络可能要追溯到1736年，他们正在解决著名的七桥问题。随着图论的几个世纪的发展，erdos和renyi在1960年建立了他们的随机图理论来对随机性复杂多样网络建模。受到现实生活网络显著偏差和如今经典的随机图理论的激励，一些新的复杂网络模型最近被提出来了。其中之一是WS小世界模型，适用于现实世界中的大聚类系数和小平均路径的现象。富者更富的现象存在于许多现实生活的复杂网络中，但是不能被E-R随机图很好的解释，为了解释这一现象，BARABASI和ALBERT提出了一种无标度模型，一个复杂的网络可以通过这以P(k) sim; k-3的形式产生一个幂律度分布形式。在这里，一个节点的度K表示为该节点与网络中的其他节点连接的边的数量。最近在因特网，万维网和科学合作网等无标度模型中发现了BA无标度网络模型的两个特殊的特征：指数增长和优先节点连接。
尽管BA无标度网络网络模型拥有幂律度分布这一基本机制，它仍然是一种有局限的极小的模型，它只能预测一个固定指数的幂律度分布，虽然测量的实际网络的指数各不相同（主要是在1和3之间），它们可能有非幂律特征如指数临界值或小变量饱和度。为了克服这些差异并且进一步了解各种微观过程受网络拓扑结构和演化的影响，出现了几个有前途的尝试。演化因素大致可以分为不同类型的优先连接，增长，局域事件，竞争和其他。在某种程度上，krapivsky 等人通过节点i处的度ki 的概率研究了一种非线性优先连接方案，这个概率由prod;（ki）~kyi 给出 ，其中的y是常数。他们宣称只有当gamma;=1的时候才会出现幂律度分布，当 gamma;lt;1的时候产生一个拉伸指数而当gamma;gt;1的时候产生一个星状结构。 Mendes研究了加速增长的定向网络。他们之前的工作表明逐渐老化的增长约束影响网络的标度指数。局部事件比如内部边缘之外重新布线并去除， Dorogovstsev 和 Mendes都有研究，其中指数和幂律缩放因子存在于一些局部事件制度中。考虑到距离优先，Jost 和 Joy提出的一种演化网络模型为研究“和你现在的朋友交朋友”这种优先距离现象做出了模拟。
是否还有其他显著的网络标度指数呢？一个复杂网络中幂律和指数缩放是什么关系呢？虽然许多演化网络模型已被用来分析在特定演化机制下的可能的隐藏关系，但我们注意到了一些以前的调查所忽视掉的重要的因素。在世界贸易网中，我们观察到全球优先连接机制对于那些只与少数国家有贸易往来关系的国家并不起作用。然而在另一方面，许多国家都致力于加强与各自区域经济合作组织内部的国家之间的经济合作和贸易关系，这些组织包括欧盟，东盟和北美自由贸易区等。这指出在世界贸易网络中，优先连接机制是存在于某些区域经济体中的。类似的，在因特网中计算机网络是基于域路由器的结构来组织管理的，一台主机通常是只与同一域内的其他主机相连，而路由器则代表它内部域的主机与其他路由器相连。所有的这些都表明了一个共同的特点，那就是优先连接机制并不适用于全局网络，而是适用于每个节点的局域世界。这里的局域世界可以代表着一个区域经济合作组织，计算机网络中的一个域和蛋白质-蛋白质作用网络中的家族或超家族。甚至在人们的社团组织中，每一个人实际上也生活在各自的局域世界里；根据他们个人收集到的信息和判断，每个人都有着他自己的世界观；
每个人都有着自己的朋友圈和个人关系。信息迅速广泛地产生并传输以至于一个人掌握到的信息总是局部并且小范围的。所有的这些都指向了现实复杂网络中存在的局域世界结构的概念。因此，建立并研究一个局域世界网络模型能让我们更好地理解并描绘更多的现实复杂网络。两个最自然的问题出现了：怎样建立这样的一个模型和一个局域网络模型在其网络标度指数，无标度特性和复杂动力学方面有多大的影响？这篇论文尝试着回答这些问题。
论文的剩下部分是这样安排的：第二节提供一个关于BA无标度网络的初步生成算法的总结，在第三节中，介绍了基于BA无标度算法的新的局域世界模型，讨论了其同步模型，在第四节中讨论了其鲁棒性和脆弱性。最后在第五节对整个研究做出了总结。
2.BA无标度模型
随着BA无标度网络模型的提出，我们现在能够将一个复杂网络与幂律度分布联系起来。BA无标度模型的网络生成算法如下：
（i）增长：从一个具有m0个节点的网络开始，每次引入一个新的节点，并且连到m个已存在的节点上，这里mle;m0。
(ii)优先连接：一个新节点与一个已经存在的节点i相连接的概率prod;i与节点i的度ki，节点j的度kj之间满足如下关系：
在经过t步后，这种算法产生一个N=t m0个节点，mt条边的网络，基于连续场理论，主方程法和速率方程法的理论分析和数值计算都指出这个网络演化成了一种规模不变的状态。BA网络的度分布函数可由幂指数为3的幂律指数近似描述。
3 新的局域世界演化网络模型
BA无标度网络模型根据公式来计算每一个节点的优先连接概率，由此得到幂律形式的网络度分布。然而，在许多现实的网络中，由于局域世界连接性的存在，每一个节点都有各自的局域世界，因而也只占有和使用整个网络的局部连接信息。局域世界演化网络模型就是用来描述这种情形的，模型的构造算法如下：.
- 网络初始时有m0个节点和e0条边
- 随机地从网络已有的节点中选取M个节点，作为新加入节点的局域世界。
- 每次新加入一个节点和附带的m条边，新加入的节点根据优先连接概率来选择与居于世界中的m个节点相连，其中LW由新选的M个节点组成。
这里，并且这里的局域世界指的是所有跟新加入的节点有关联的节点。
在每一时刻，新加入的节点从局域世界中按照优先连接原则取m个节点来连接，而不是像BA无标度模型那样从整个网络中来选择。构造一个节点的居于世界的法则依赖于实际不同的局域连接性而不同，上述模型中只考虑随机选择的简单情形。
显而易见，在t时刻，mle;Mle;m0 t。因此上述局域世界演化网络模型有两个特殊情形：M=m和M=t m0.，这是我们接下来所要讨论的。
A情形：M=m
这时，新加入的节点与其局域世界中所有的节点相连接，这意味着在网络增长过程中，优先连接原则实际上已经不发挥作用了。这等价于BA无标度网络模型中只保留增长机制而没有优先连接时的特例。此时，第i个节点的度的变化率为
。
网络度分布服从指数分布
B情形：M=t m0
在这种特殊情形，每个节点的局域世界其实就是整个网络，随着时间的发展，不断增长的。因此，局域世界模型此时完全等价于BA无标度网络模型。第i个节点的度的变化率为：
并且度分布遵循幂律。
从上面这两种特殊的情况可以看出，当Masymp;m时的网络度分布曲线与情形A的度分布曲线非常接近而成指数分布。而Masymp;m0 t时的网络度分布曲线则与情形B的很相似，服从幂律分布。而当mlt;Mlt;m0 t时，局域世界模型的度分布会显现出在指数分布到幂律分布之间演化。
例如，固定m=3，然后将局域世界的规模M从4增至30时，在对数坐标系中可以观察到网络的度分布，从一条指数型的曲线渐渐地被拉直绷紧成为一条幂律型的直线。如果一个固定规模的局域世界的节点M远大于m
就如上图所示一样，局域世界演化网络也有无标度特性，跟BA无标度网络相似。一种基于连续场理论的解释如下：
由于在t时刻在建立局域世界连接性的节点选择的随机性，节点i被选进M个节点的局域世界网络里面的概率为，因此，2式可以写成：
假设ki是一个连续型的实变量，ki的变化率是和成比例的，因此ki满足前面的动力学公式：
因为节点的随机选择有助于局域世界在每一步的连接，局域世界的累积程度取决于随机选择。为了简化接下来的分析，我们假设
这里，度的平均值，这里是初始连接到m0个节点的边的个数。整合上面两个式子我们可以得到：
这也意味着，在假设成立的情形下，分布和BA无标度网络一样满足同一个幂律即。这揭露了为什么一个局域世界演化网络在的时候也遵循幂律度分布。
可以证实等式对于情形B也是成立的，当M=m0 t的时候。至于情形A，当M=m时，它服从下面的等式：
这也意味着如果M=m，那么对于一个局域世界网络来说就是一种没有优先连接的增长情况。在一个均匀的网络如ER随机网络模型中是合理的。此外，我们认为这对于局域世界网络加快网络异质性是一个线索，由决定。局域世界越大，演化的网络越多样，由上式可以看出。
4同步鲁棒性和脆弱性
无标度网络同步的鲁棒性和脆弱性。这表示无标度网络对于随机的节点故障是有鲁棒性的但对于节点的蓄意攻击是很脆弱的。这一特征主要是因为
它具有明显的不均匀性，这里少量的度很高的节点在维持整个网络的同步稳定性方面扮演了很重要的角色。正如局域世界的连接性决定了演化网络的多样动力学，研究局域世界演化网络的同步的鲁棒性和脆弱性是非常重要的。
无标度网络的鲁棒性和脆弱性已经在疾病传播和因特网的容错性上面研究过了，这里我们沿着同一条线对于无标度动力网络的同步性进行研究。
4.1多复杂网络中的同步性
考虑一个由N个相同的节点构成的连续时间耗散耦合动态网络，其中第i个节点的状态方程为：
这里，x为节点i的状态变量；常数c为网络的耦合强度，如果节点i和节点j有连接的话，，如果他们之间没有连接的话，。这里k为节点i的度数。
假设网络是连通的，那么A是一个不可约矩阵。由矩阵理论可以知道，耦合矩阵A有且仅有一个重数为1的零特征值，它对应于网络的不变同步流形，而A其余的特征值均为负实数。
如果当t趋近于无穷大的时候，满足上式，就称动态网络式达到完全同步。这里s可以是孤立节点的平衡点，周期轨道，甚至是混沌轨道。
我们需要下面这种同步稳定性的证明：
假设存在一个 的对角阵，以及两个常数和使得对于所有的，都有
这里为单位阵，如果所有的特征根都满足，可以得到动态系统式同步流形指数稳定。
4.2同步的鲁棒性和脆弱性
通常分别用随机地或特定地从网络中去除部分节点，来模拟网络中节点发生随机故障或受到恶意攻击的情形。
当网络发生随机故障时，相当于从网络中随机地去除部分节点，由于无标度网络1的极度不均匀性，此时被去除的节点大多都是度很小的节点。因此，网络的同步能力基本保持不变，然而，如果网络被蓄意攻击, 一小部分大节点被移走了，原始的网络改变很大甚至分崩离析，接着原始的多重网络的同步性也大幅度的减弱甚至被破坏掉。这就是无标度网络的鲁棒而脆弱考虑到它的动力同步学。
在另一方面，没有优先连接机制而只是不断增长的同步指数网络对于攻击更加有抵抗性而对随机故障不那么具有鲁棒性。主要原因同样是因为其性质比一个无标度网络更均匀。
在提出的局域世界演化网络模型中，局域世界的连通性影响了网络的不均匀性。正如之前指出的，局域世界演化网络代表了指数分布和幂律度分布之间的一种过渡。由于新加入的节点地局域世界是随机地从已有的网络中选取的，局域世界演化网络中的度很大的节点要比无标度网络少一些。局域世界演化网络的度分布要比无标度网络更均匀一些。因为优先连接机制，局域世界网络没有指数网络那么均匀。因此，在遇到随机故障和蓄意攻击的时候，局域网世界演化网络同步的鲁棒性和脆弱性也展现出了一种无标度网络和指数网络的过渡。
5.总结
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