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第四十九届IEEE决策与控制会议
2010年12月15-17日
美国佐治亚州亚特兰大希尔顿亚特兰大酒店
饱和量化线性系统的稳定性
摘要—本文提出了一些稳定性分析涉及输入饱和的系统的稳定条件和量化控制律，它们可以是两种类型:输入量化情况和状态量化情况。在这两种情况下解决了状态反馈控制设计问题。因此，基于使用一些修改的扇区条件和方法适当的变量变化，合成条件呈“准”线性矩阵不等式(准LMI)形式在区域中陈述(本地)稳定环境。基于LMI的优化问题计算控制器，以便最大化提出了闭环系统的稳定性。指数项—饱和度、量化控制律、区域稳定性。
一、导言
许多物理控制系统受数量限制输入的限制。这种类型的非线性可以减少闭环系统的性能甚至导致不稳定。因此稳定性分析或稳定化输入饱和的控制系统问题吸引了几十年的研究努力(例如，见[12)，[9]，[14])。此外，另一个重要特征在于工厂的产出可以注入到控制器通过量化器，这可能导致有限的周期和混沌行为，即使控制器是稳定的一个[10]，[8]。这是量化的原因之一在控制系统方面，最近已经成为一项积极的研究话题。事实上，当数字网络或信息有限的控制是反馈的一部分环路[17]，[4]。新兴的控制理论框架已经指出有限的信息(由于量化器)会影响结果的性能环路系统，因此可以是什么类型的解决方案调查[13]，[1]。因此，一些工具从健壮的控制理论可以用来处理稳定性性能目的，如H infin;性能或L 2稳定性，[6]，[7]，[11]。最近，结果寻址系统具有不确定性和/或延迟已发布:请参见例如，[16]，[3]，[5]和其中的参考文献。
本文讨论的是涉及输入饱和和量化控制的系统法律。考虑两种量化情况:输入量化操作情况和状态量化情况。在这两种情况下，国家反馈控制设计问题通过使用一些修改扇区条件和适当的变量变化。因此，所提出的方法允许表征内部和外部集合使得闭环轨迹始于外部的集合最终被限制在内部集合需要强调的是，所提出的技术不需要开环系统稳定。综合拟线性矩阵不等式(拟LMI)中的条件形式是在区域(本地)稳定环境中陈述的。这相关基于LMI的优化问题的目标就是最大化外部集合的大小(稳定域)，而内部集最小化。
这篇论文的贡献可以看作是[5]中介绍的工作的补充，在这个意义上块饱和度和量化器是分开的块。此外，在状态量化的情况下，状态反馈在饱和函数内部而不是外部。此外，所选择的处理非线性的方法饱和度和量化器是基于使用修正的扇区条件而不是LDI和相关多面体[9]中的表示工具。选择此工具的目的是简化了潜在相关的数值复杂性到这样的LDI工具[15]，[14]。最后，开发了该方法在本文中不需要在松弛变量中使用具体结构如[5】。
符号—1和0分别表示单位矩阵和合适维度的空矩阵。此外，1米 表示所有分量相等的m维向量到1。矩阵A isin; real; mtimes;n的元素表示为A (i，j)，i = 1，...，m，j = 1，...，na1i和A 0表示第11行和矩阵A的转置。他(甲)=A 证书A 0。|A|是由每个元素的绝对值给出的矩阵对于两个对称矩阵，分别是A和B，A gt; B。 A ge; B)表示A-B是正定的(分别为。半- 肯定肯定)。对于real; n的两个向量x，y，符号x ge; y意味着x(I)-y(I)ge;0，forall;i = 1，...，n .
二.问题陈述
考虑以下连续时间系统:
x(t) = Ax(t) Bsat(u(t)) (1)
其中x isin; real; n和u isin; real; m是状态和输入系统的。矩阵甲、乙是实常数矩阵合适尺寸的。给定任何矢量z isin; real; m，则饱和图sat(z) isin; real; m的经典定义来自具有正电平的对称饱和函数向量u 0:
sat(z (i) ) = sign(z (i) )min{u 0(i) ,|z (i) |},i = 1,...,m (2)
在下面，我们考虑系统的输入可以是两种不同量化控制规律的结果:(I)输入量化情况u(t) = q(K(x(t))) isin; real; m或(ii)状态量化情况u(t)=Kq(x(t))isin;real; m，其中k是合适维数的实常数矩阵。量化器函数q是一个映射，定义为:
其中sum;对于所有i = 1都是正的，...，l和表示量化误差界限。通过表示q (i) (z) = q(z (i))。量化器q(z)infin;。Z l通过以下内容进行描述条件:
minus;∆ le; q(z (i) )minus;z (i) le; ∆,i = 1,...,l (4)
注意，在输入量化情况下l =m并且在状态下量化情况l = n。
我们打算在两种输入情况下解决的问题量化(即u=q(Kx))和状态量化(即u=Kq(x))可以总结如下:问题1:确定稳定增益和字符-将两组S 0和s0sum;进行大小调整，以便对于每个初始条件x(0)属于S 0的闭合轨迹-环路系统(1)向∣收敛
三.主要结果
一、输入量化案例
首先注意系统(1)和(4)在输入量化中案例描述如下：
x = Ax Bsat(q(Kx)) (5)
对于该系统，以下假设被认为是[13]。假设1:在输入量化情况下，量化-化误差界限asymp;和饱和度u 0满足:
u 0(i) minus;∆ ge; 0,forall;i = 1,...,m (6)
这意味着饱和水平足够高以确保从z到sat(q(z))的映射没有简化为a映射等于{ u 0(i)，0}。通过定义phi;(Kx)= sat(q(Kx))q(Kx)，它是一个死-由(2)和psi;(Kx)直接定义的区域非线性q(Kx)Kx，这是一个直接由下式定义的非线性(4)、系统(5)还写道:
x = (A BK)x Bphi;(Kx) Bpsi;(Kx) (7)
备注1:让我们在原点，系统(7)开环运行。事实上，当没有饱和发生(即sat(q(Kx)) = q(Kx))和q(Kx) = 0然后得到phi;(Kx) = 0和psi;(Kx)= Kx。因此，系统(7)内容如下:
˙ x = Ax (8)
因此，如果开环系统不稳定，闭环轨迹不能收敛到原点。第一个问题然后考虑评估一个小的域尽可能确保轨迹将最终被束缚。这样一个域就是集合Ssum;。备注2:向量x使得两个sat(q(Kx)) =q(Kx)和q(Kx) = 0满足:
minus;∆ le; K (i) x le; ∆,forall;i = 1,...,m (9)
闭环系统(5)似乎可以被再现由等式(7)表示，因此是线性系统与两个不同的非线性phi;和psi;互连。为了提出解决问题的设计技术1，我们首先提出一个引理，它是引理1在[15]非线性phi;(Kx) =的情况下sat(q(Kx))-q(Kx)。
引理1:考虑矩阵G isin; real; mtimes;n，非线性phi;(Kx)= sat(q(Kx))-q(Kx)满足
phi; 0 T(phi; Gx) le; 0 (10)
对于任何对角正矩阵T isin; real; mtimes;m，如果x isin; S(u 0，isin;)定义者
(11)
证据:让我们首先给出每个组件的定义phi;的:
（12）
让我们考虑第一种情况，即phi;(I)= u 0(I)q(I)(Kx)，它根据定义是否定的。为了满足phi; 0(i) T (i，i) (phi; (i) G (i) x) le;0，当T (i，i) gt; 0时，验证phi; (i) G (i) x = u 0(i)就足够了q (i) (Kx) G (i) x ge; 0。从(4)开始，如下所示:u0(I)q(I)(Kx) G(I)xge;u 0(I)K(I)x G(I)x，因此，如果u 0(I)K(I)x G (i) xge;0，则得到phi;(I) G(I)x = u 0(I)q(I)(Kx) G(I)xge;0，满足关系(10)。在另外两种情况下phi; (i) =0和u 0(I)q(I)(Kx)，可以使用相同的推理。然后通过使用引理1，以下命题为可以说明解决问题1的增益K的设计。命题3:如果存在两个对称正定义-real; ntimes;n中的nite矩阵w，q，两个对角正矩阵real; mtimes;m中的S 1，S 2，real; mtimes;n中的两个矩阵y，z，三个正矩阵标量tau; 1、tau; 2、tau; 3满足：
（13）
（14）
（15）
（16）
那么K = YW 1是一个稳定增益，设置S 0和Sor;定义者:
S 0 = E (P 1 ) = {x isin; real; n ;x 0 P 1 x le; 1}, P 1 =W minus;1 (17)
S infin; = E (P 2 ) = {x isin; real; n ;x 0 P 2 x le; 1}, P 2 =W minus;1 QW minus;1 (18)
这就是问题1的答案。
证明:为了证明系统的稳定性(7)，让我们考虑二次李雅普诺夫函数V(x) = x 0 P 1 x，P 1 = P 0时1gt; 0。V(x)沿的时间导数系统(1)或等同于系统(7)的轨迹，内容如下:ˇ
v(x)= x 0((A BK)0 P1 P1(A BK))x 2x 0 P 1 Bphi;(Kx) 2x 0 P 1 Bpsi;(Kx)。我们想核实一下ˇ
V(x)lt;0，对于所有x，当P 2 = P 0时，x 0 P 1 x le; 1且x 0 P 2 x ge; 1，2gt; 0。此外非线性psi;(Kx)满足：
psi;(Kx) 0 1 0 (i) 1 (i) psi;(Kx) le; ∆ 2 ,forall;i = 1,...,m
通过使用S过程，可以编写:
V(x)minus;tau; 1 (x 0 P 1 xminus;1)minus;tau; 2 (1minus;x 0 P 2 x)
minus;tau; 3 (psi;(Kx) 0 S minus;13psi;(Kx)minus;∆ 2 1 0 m S minus;131 m ) le; 0,
tau; 1，tau; 2，tau; 3有一些正标量和一个正对角线矩阵S 3。这个不等式相当于两个不等式如下所示:ˇ
v(x)tau;1 x 0 P1 x tau;2 x 0 p2 xtau;3psi;(Kx)0 S13
psi;(Kx) le;0和tau;1tau;2 tau;3asymp;2 1 0m S131 m le;0。关系的满足(16)暗示椭球面S 0 = E (P 1)，随着变量P1 = w1，G = ZW，K = YW 1包括在内在(11)中定义的多面体集合中。因此，对于引理1中的任何x isin; S 0都可以写:ˇ
v(x)tau;1 x 0 P1 x tau;2 x 0 P 2 xtau;3psi;(Kx)0 S13psi;(Kx) le;
v(x)tau;1 x 0 P1 x tau;2 x 0 p2 xtau;3psi;(Kx)0 S13psi;(Kx)2phi;(Kx)S11(phi;(Kx) Gx)，为正。对角矩阵S 1。此外，非线性psi;(Kx)也满足
psi;(Kx) 0 S minus;12(psi;(Kx) Kx) le; 0, forall;x isin; real; n
对于正对角矩阵S 2。因此，对于任何x isin; S 0，都可以写:
对于正对角矩阵S 2。因此，对于任何x isin; S 0，都可以写:
通过发展这种不平等的右手项tains:ˇv(x)tau;1 x 0 P1 x tau;2 x 0 p2 xtau;3psi;(Kx)0 S13psi;(Kx) le; xi; 0升xi;随着
带U = 2S 2tau;3 S2 S13S 2。为了简化，我们选择S 3 =S 2，这允许写入tau;1tau;2 tau;3asymp;2 1 0m S131 m le; 0，通过使用舒尔补，作为关系(14)。
因此，关系(13)的满足意味着L lt; 0，因此如下ˇv(x)tau;1 x 0 P1 x tau;2 x 0 p2 xtau;3psi;(Kx)0 S12psi;(Kx) lt; 0。
此外，我们必须证明集合s0 = E1(P1)包含集合Ssum;= E(p2)。如果一个人得到x 0 P 1 x le; x 0 P 2 x le; 1，或者等效地，p2 P1 = w1 QW 1w1ge;0。由于关系的满足，这一点得到了证实(15)。
备注4:类似于[2]，命题3的关系可以用发展起来的形式主义来重新表述[9]和LDI的框架。这样的选择解决方案强制测试2 m顶点处的稳定性条件因此可能增加数值复杂性(这与行数和决策数密切相关LMI优化设置中的变量)。
备注5:在命题3中，内椭球sum;=E2不是不变集。然而，这是可能的确定形状为以钨为特征并含有E (P 2)为此，就足够了来计算最大标量
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