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四自由度仿生机器人系列之弹性机器人手臂的动力学建模的仿真与控制
托马斯透镜，于尔根·孔兹，奥斯卡尔·范斯特里克 德国达姆施塔特科技大学的仿 真、系统优化和机器人学小组
邮箱：{lens,stryk}@sim.tu-darmstadt.de
网址：www.sim.tu-darmstadt.de,www.biorob.de
摘要：
本文介绍了具有串联弹性驱动的轻型仿生机器人手臂的建模、仿真和控制器设计。我们描述了由缆索驱动和机器人手臂动力学引入的运动学耦合，包括弹性驱动器和马达、齿轮模型。我们展示了如何利用这些方程导出的逆动力学模型作为位置跟踪控制器的基础，能够充分阻止由高、非线性关节弹性引起振荡。我们给出了模拟结果，并简要描述了实际应用程序的实现。
关键词：
柔性关节机器人、模型、控制、仿生机器人、串联弹性驱动
- 介绍
机器人手臂驱动的弹性在长时间内是不理想的。在关节驱动中引入串联弹性，可以减少转矩和力的带宽，并且提高控制器的振荡阻尼和跟踪控制的复杂性。然而，关于一系列弹性驱动器的研究表明，由于解耦的关节和齿轮箱之间的扭矩和力峰值的低传递滤波，联合驱动中的机械柔度可以简化约束条件下力的控制，提高安全性。并且由于在弹性中储存自身能量的可能性，联合驱动也增加了特定任务的性能。例如在（18）中审查了投掷性能的提高；在（19）中，在不危及安全的情况下，每个接头增加转矩的两个电动机驱动的方法是检测；(17)给出了弹性关节驱动原理的分类。
柔性连杆机械臂也是当前研究的对象。但是，这些系统更难以控制，特别是在处理多个自由度时。与关节弹性相比，不能赛来显著的优势。（6）给出了对柔性关节和连接系统的研究，重点是柔性连接。（14）提出了具有简化模型的弹性关节机器人的建模方法。（15）推导了模型结构的完整模型和分析并由（7）补充。（16）给出了仅依靠基于电机传感器数据的弹性关节机器人控制器的控制方法。在（1）和（5）中审查了整个状态反馈的使用。（3）中涉及到了前馈反馈的控制规律。（4）给出了具有关节和连杆柔性的机器臂建模与控制的方法综述。
- 仿生机器人手臂的设计
在这项工作中，我们分析了一种平衡控制的刚性仿生机器臂。该机械臂的机械设计如图1所示。该臂包括一个非常轻的结构与刚性连接，弹性驱动有直流电机驱动，关节由滑轮和内置机械顺从的电缆驱动。诸如气动肌肉（8）这样的替代驱动概念表现出了固有的一致性，省略了齿轮箱的需求，但是速度比较慢，操作范围有限，并且只适用于非常有限的移动应用。另一方面，电动机是强劲的，允许高速运作，表现出了优良的可控性，很适合高度移动应用。（11,9）更详细地描述了结构和驱动的原理。
图1
驱动中串联弹性的一般特性见第一节。与其他系列的弹性概念相比，仿生机器手臂概念的具体特征是减少连接质量和惯性（总质量为4公斤）、降低功耗和显著降低连接刚性的扭矩（介于4和20之间），从而提高了人机直接交互应用的安全性。至于缺点，使用电缆和滑轮驱动增加了摩擦和串联弹性，特别是刚性较低的连接要求特殊的振荡阻尼。因此，我们就需要一个适当的控制器结构。
- 运动学模型
仿生机器人手臂由四个弹性驱动的关节组成。为了对机械臂的运动学进行建模，我们完全可以建立刚性连接结构模型因为在使用关节传感器时关节的弹性对动力没有影响。对于不超过额定负载的部分，连接弹性可以忽略不计。因此我们可以使用没有弹性的刚性连接机器人使用的建模方法建模。如图2所示，其中列出了DH参数。如上所述，动力学模型取决于关节角的位置 qi ，而不是取决于运动角度的位置theta;i.
图2
特别是对于控制来说，关节的平衡位置是非常重要的。关节的平衡位置是在马达和关节之间的弹性没有产生转矩的关节位置qi 和运动位置theta;i。通常来说，接头的平衡位置与电机的当前位置对应。但是，如果电机安装在连接上或一个链路上，则不是这样。这是我们有必要增加一个偏转。如图3所示，电机驱动关节4固定为连杆2，并与偏转轮（半径为rd3）在关节3和关节4处连接。由于连杆4、连杆3的运动耦合，该电机的平衡位置不仅取决于q4，也取决于q3。这是因为缆绳缠绕在导向轮上。在接头3周围的滑轮索的数量等于从滑轮传动接头4展开的索的数量：
|
rd3q3 = minus;r4Delta;q4 |
Delta;q4=- |
rd3 |
q3 |
(1) |
|
|
r4 |
在计算平衡位置时，必须考虑修正项。对于给定运动角位置theta;和关节位置q，机械臂产生的关节平衡位置的矢量为：
图3
- 动力学模型
动力学模型是被用于仿真和控制器的设计的。在仿真的过程中，我们可以研究模型的行为，无需进行耗时的实验，同时也可以避免硬件的磨损。这特别适用于检测诸如碰撞检测之类难以用硬件检测的的场景。我们也可以提供额外的难以测量的数据，比如碰撞反作用力。
然而，只有效果才能被充分准确的建模研究。最重要的效果是由刚性结构和关节弹性动力学组成的机器人手臂动力学，详见4.2节。电动机的动力学模型（4.1节）要求能够考虑到执行器饱和。这也允许我们模拟转矩载荷和碰撞引起的峰值。
动力学模型的基本要求是稳定状态下的精确度，这对控制器的设计具有重要意义。除了电机和机械臂的稳态方程和参数外，由于弹性低，弹簧绕度大，非线性关节弹性得到了准确的建模。第二个重要的要求是由关节弹性引起的关节振动的准确建模。这种精准的模型是的在仿真过程中更好地设计控制器。
4.1电动机模型
电动机可以被控制以提供所期望的转矩tau;m ，这可以被视为系统的输入。避免使用简单的转矩元模型，更完整的电动机动力学模型允许我们检查电机电流和电压，这在现实中是有界的。与电动机的其它动力学相比，电枢电感的影响可以被忽略。电气动力学可以描述为：
输入电压u、电枢电阻Ra，恒定转矩Kt，恒定速度Kv和驱动转子的电机转矩tau;m 。 自由旋转电机的机械动力学描述为：
当与机器人连接时，机械电机模型必须与机械臂一起建模从而获得耦合系统的机械动力学方程。以下部分描述了这一点。
在大多数情况下，电机要求齿轮箱达到预期的扭矩。这些可以用一个减小电动机速度theta;˙的传输比z来建模：
这样反而增加了电动机的转矩。齿轮箱还产生了附加摩擦力dg和惯性Ig. 为了紧凑的模型的表示，所有的电机变量和参数将作为反映变量用于连接侧：
所有标有星号的变量都反映了与连接计算的变量。此外，只有这些会被使用，为了简单起见，它们不会被标星号。
4.2机器人手臂动力学
如图4所示的仿生机器人关节模型可以转换为如图5所示的串联弹性促动接头模型。相比于其他机械臂部分的动能，如果电缆的质量和弹性的部分小到这些元件的动能可以被忽略，这转换是有可能的。在这种情况下，可以通过调整一些模型参数来执行转换。电动机的质量可以加到它固定的链路中，并且齿轮箱的传动比和电缆、滑轮元件可以增倍。然后，所有的变量可以作为在连接方面的反映变量，就如前一节所述。
图4
图五5
非线性关节弹簧特性曲线是其平衡位置qi的关节位置q^i偏差的函数，它通常是电机位置theta;i，但也可以依赖于前关节位置，如第3节所述：
图6显示了第四个关节的弹簧特性。根据期望最大的载荷转矩选择各关节的关节弹性。利用弹性关节机器人的简化模型，可以描述机器人手臂和电机的多体动力学。关于这些方程的形式推导，见（14,16）：
方程（10）描述了具有质量矩阵M,科里奥利矩阵C，重力转矩矢量g和对角摩擦矩阵D的刚性结构的动力学。方程（11）描述了具有对角电动机转子惯量矩阵I、对角摩擦矩阵D和电动机转矩的电机转子的动力学包括连杆的惯量和质量、电机质量，这些连接被加到安装它们的连杆上（参见图3）。电缆的质量和机械弹性可以忽略不计。该对角矩阵Im组成了转子旋转轴的电机转子惯量 Imizz 。这些是第4.1节所述的反映电动机的惯性值。
由于电动机安装在第一二关节上，因此它具有较低的动能；并且由于较大的减速比（总减速比z在100和150之间），因此可以忽略电动机和连杆之间的惯性耦合的影响，以便可以使用被减少的模型，如（14）所述。否则，必须使用更通用的模型（15）。此外，我们必须考虑到电动机不在接头上，而是安装在连杆上并且建模。
- 追踪控制的逆模型
5.1模型
对于高度（但却有限的）刚性关节Ke，我们可以使用奇摄动模型（10）。它由一个缓慢的子系统组成，由链路动力学方程给出并描述弹性的高速子系统。它可以作为复合控制方案的基础。然而，这种仿生机械手的刚性太低了。相反逆模型是用于控制规律的【3】
计算给定轨迹qd（t）的方法用于弹性关节的计算是更加难的。这是因为理想的运动轨迹theta;d（t）是未知的。根据理想的连杆轨迹我们可以从弹性关节方程（9）计算连杆的平衡位置：
应用刚性连接动力学方程（10），并利用（2）变换电机平衡位置，从而产生理想的联合轨迹qd（t）：
然后，通过方程（11）计算所需的电机扭计tau;m，d：
然而，这需要（13）的二阶导数。【3】给出了线性关节弹性方案的前馈规律。这种方法要求对方程（6）进行线性化，这是不准确的。因此，所期望的电机轨迹是用于控制而非理想的电机扭矩。
5.2控制
所需的链路轨迹d和所需的点击轨迹d（13）可以用于控制器上，如图7所示。每个弹性关节可以用一个四阶的常微分方程，完整状态向量的长度来描述。仿生机器人手臂传感器系统测量了电机theta;i、关节qi的位置，以便选择一下状态变量：（q q theta; theta;）.这种表示方法具有只需给定一阶导数的优点，而一阶导数又是可以通过数值方法得到的。
当仅使用（13）中的稳态转矩时，可以获得简化的控制结构：
该控制器结构采用全局非线性计算的电机设定点，假设有一个足够准确的模型，假定每个节点围绕当前的理想位置。每个关节点后可以由线性控制器控制所有状态，以后的阻尼和精确的稳态行为。除了控制器之外，我们还利用了一个稳定状态中的重力补偿近似值g（q）。我们假设一个电动机具有被控制的转矩输出（3）。
图7
- 模拟实验
为了评估所提出的控制器，我们建立了一个由前几章中提出的模型组成的仿真模型。利用真正的硬件设施通过对其的测量获得了模型的参数值。刚性关节的范围为4到20Nm rad，电动机则被限制为10Nm。
用于评估控制器的轨迹被定向为典型的应用程序，其中也包括笛卡尔空间中的线性运动线段。理想的联合轨迹qd是由逆运动学计算的关节轨迹的三次插值生成的分段。图8表明了两个恒定时间时的滤光器性能提高。可以看出，关键轨迹点是平滑的（t=2s）,而静止点保持不变（t=3s）。
图8
图9显示了如何使用关节传感器信息来阻止关节弹性引起的振荡。如图9（a）所示，即使精确的稳态模型，也可以获得良好的稳态精确度。
图9
为了评估控制器设计对建模误差和外部干扰鲁棒性，我们改变了应用于仿真机器人手臂模型的模型参数（图11（a））和外力（图11（b））。在末端感
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