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在进行数值求解随机激励下的系统响应时，第一步是需要产生随机激励的多条样本，本小节的主要目的是用谱表现法模拟一维的单变量平稳高斯随机过程。采用这种方法，利用余弦级数公式可以高效地生成随机过程的样本函数。当余弦级数的项数N较大时，这些样本函数能够准确反映随机过程的概率特性。随着样本量的增加，平均功率谱密度或自相关函数会逼近相应的目标函数。此外，生成的样本函数具有遍历特性，即当在余弦级数的基本周期上进行平均时，时间平均的均值和自相关函数与相应的目标相同。模拟随机过程最重要的性质是，当时，它是近似为高斯随机过程的；另一个重要的特点是，利用快速傅立叶变换可以有效地对余弦级数公式进行数值计算。该方法的主要应用领域是工程力学和结构工程中随机问题的蒙特卡罗模拟求解。具体来说，该方法已应用于涉及随机载荷（随机振动理论）、随机材料和几何特性（由于系统随机性引起的响应变化）的问题。

在过去三十年左右的时间里，将随机过程理论应用于工程力学和结构工程的一般领域中，可以在更高的可靠性水平上保证结构的整体安全，目前已经取得了相当大的进展。该理论最初被应用于涉及随机荷载(随机振动理论)的问题，而在过去十年中被应用于涉及随机材料和几何特性(由于系统随机性导致的响应变化)的问题。随机振动理论的典型问题有很多，例如，海浪引起的船舶运动的分析，飞机阵风和机动载荷的响应分析，离岸结构物对潮汐力和风力的响应分析，随机不平路面引起的车辆振动研究以及结构在地震动或大气湍流作用下的响应分析。由系统随机特性引起的响应变异性评估包括对材料特性(如弹性模量)或几何特性(如结构构件尺寸)或两者兼有的结构系统进行响应分析。求解随机振动问题最常用的方法是频域分析，而求解系统随机性问题最常用的方法是摄动法。

虽然很多研究人员都集中于频域分析和摄动技术等解析方法的使用，但蒙特卡罗模拟方法在解决随机振动相关问题上同样占有很重要的位置。Shinozuka等^[112-126]研究人员发展并提倡使用蒙特卡罗模拟方法来解决随机振动和系统随机性问题。可以看出，蒙特卡罗模拟的主要优点是，对于任何已知确定性解（解析解或数值解）的问题，都能得到精确解。蒙特卡罗模拟的唯一缺点是它通常是比较耗时的。然而，随着数字计算机的进一步发展，蒙特卡罗模拟方法在工程力学和结构工程中的实用性将不断增强。总之，蒙特卡罗模拟是解决大量非线性、系统随机性、随机稳定性、参数激励等随机问题的唯一方法。

蒙特卡罗模拟方法中最重要的部分是随机过程、随机场或随机波的样本函数的生成。生成的样本函数必须准确描述相应的随机过程、随机场或随机波的概率特性，这些随机过程、随机场或随机波可以是平稳的或非平稳的、齐次的或非齐次的、一维的或多维的、一元的或多元的、高斯的或非高斯的。产生这种样本函数最合适的方法是“谱表现法”，尽管该方法的概念存在一段时间^[127]，但是Shinozuka^{[122, 128]}首先将其用于模拟包括多维、多变量和非平稳的情况。Yang^{[129, 130]}证明了快速傅里叶变换(FFT)技术可以显著提高算法的计算效率，并提出了一个模拟随机包络过程的公式。而Shinozuka^[131]将FFT技术的应用扩展到多维情况。接着，Deodatis和Shinozuka^[116]将谱表现方法扩展到模拟随机波。Yamazaki和Shinozuka^[126]提出了一种迭代方法来模拟非高斯随机场。Yamazaki和Shinozuka^[132]引入了统计预处理来减少样本量。最后，Shinozuka^[133]和Shinozuka和Deodatis ^[134]分别撰写了两篇关于谱表现法的综述论文。

本文利用谱表示法模拟一维的单变量平稳高斯随机过程，根据过去论文中关于该方法的描述，对其进行详细的进行详细的回顾。可以发现，有很多问题在过去的论文中没有明确给出，例如，模拟随机过程的渐近高斯性、Rice^[127]提出的替代谱表现的非遍历特性、模拟随机过程周期性产生的混叠，等等。下面，将对这些问题进行严格的推导和阐述。

平稳随机过程的谱表现

设一维的单变量平稳随机过程，其均值为0，自相关函数为，双边功率谱密度函数为。那么，以下关系成立:

其中，最后两个方程构成了著名的维纳-辛钦变换对。

以下定理是一维的单变量平稳随机过程的理论基础^{[135, 136]}，其均值为零。

对于每一个一维单变量的实值平稳随机过程，其均值为0，双侧功率谱密度函数，可以将分别具有正交增量和的两个相互正交的实数过程和赋值为：

当时，和以及相应的增量和满足以下要求:

其中，假设与一个可微功率谱分布函数相关，其导数为功率谱密度函数，则

功率谱分布函数在极限为是有限的，即

由式和式可得

式中的不等式意味着频率区间与是不相交的，所以可以将将式改写为：

其中

当足够小但有限时，使得式代替式。如果将和定义为:

如果和是独立的随机变量，且均值为0，标准差为，那么很容易看出，对于和，满足式-式中的所有要求。将式和式代入到式，得到:

另一方面，如果定义和为^[122]

其中

是相互独立的随机相位角，均匀分布在范围内，很容易证明在式-式中同样是满足的。式可以写为下面的形式:

其中为随机相位角的概率密度函数，可写为下面的形式:

所以，此时式可以写为

用完全相同的方法可以证明。

式可以表示为:

同样也可以证明。

式可以表示为：

式中的最后一个等式是有效的，因为时和是独立的随机相位角。最终，式可以表示为：

用同样的方法可以得出，当时，也成立。

最后，式中可以表示为:

当时，因为和是独立的随机相位角，等式最后一项中出现的期望值可以写成如下形式：

当时，则上式可写为

所以，联合式-式可以看出，不论还是，均有。

因此，式和式中定义的和满足式-式 。把式和式代入到式，得到：

如上所示，式和式的级数表示和式中的表示的谱表示定理均是一致的。在后面的小结分别采用式和式来产生样本函数，发现：由式产生的样本函数并不是遍历的；而由式模拟会产生遍历样本函数，表明在余弦级数的基本周期内求平均值时，每个样本函数的时间均值和自相关函数均与相应目标相同。这就是下文中专门使用式和式的原因。

式(和呈正态分布)和式 中给出的表达式在Rice^[127]的一篇著名论文中被提到。

随机过程的模拟

1. 模拟公式

考虑均值为0的一维单变量平稳随机过程，其自相关函数为，双边功率谱密度函数为。下面将对随机过程和它的模拟过程进行区分。

由式所示的无穷级数可知，当级数时，可以将随机过程可以由下面的级数模拟

其中

且

在式中，表示上限截止频率，若超过该频率，则可以假设功率谱密度函数。因此，是一个固定值。当时，，。通常用下式来估算的值：

其中，。

注意，如果考虑一个线性随机振动问题，则下式作为估算值的标准：

其中为所涉及系统的频响函数。然后，然后利用式中的功率谱密度函数来模拟出响应的功率谱密度函数。

式中的是相互独立的随机相位角，均匀分布在范围内。在式的条件下，很容易看出式给出的模拟随机过程具有周期性，周期为：

由式可知，在给定的上限截止频率值下，越小，则越大，模拟随机过程的周期越长。

另一个非常重要的观点是，由于多变量的中心极限定理，当时，模拟随机过程是渐近高斯性的。之后将讨论随机过程在时的高斯性，之后检验了随机变量作为的函数对高斯性的收敛速度，其中为任意特定时刻。

模拟随机过程的样本函数可以通过将随机相位角序列分别替换为其第次的随机相位角序列：

为了保证任意样本函数的时间均值和时间自相关函数都分别与对应的目标和相同，式中设置的条件是必要的。此时需要注意的是，在根据式生成模拟随机过程的样本函数时，时间步长必须满足以下条件:

根据采样定理^[138]，为了避免混叠，需要在中设置的条件。另一个方面，根据式，生成的值有界，如下所示:

后面将证明对于功率谱密度函数的一种特定形式，上述边界对于所有实际应用都足够大，甚至对于相对较小的N值也是如此。很明显，这个界限可以很容易地计算任何形式的功率谱密度函数。

模拟随机过程的期望值和自相关函数都分别与对应的目标一致，分别为和。

首先证明：

利用数学期望与求和运算可以交换的性质，模拟随机过程的期望值可以写成：

式中定义了，通过式可知，期望值为0，具体如下:

联合式和式，可得

接下来证明：

再次利用数学期望与求和运算可以交换的性质，模拟随机过程的自相关函数可表示为:

由于随机变量相互独立，若，则式中的期望值为:

除了式，式中还剩下的情况。因此，模拟随机过程的自相关函数可表示为

在推导式时，使用了如下三角恒等式:

将式代入式，取极限为时，，为常熟数，且当时，，得到：

在推导式时，利用了双边功率谱密度函数是频率的实偶函数。比较式和式，考虑到随机过程按式在时间区间内进行了正弦化处理，显然：

显然，式中出现的值可以小于或等于式中定义的周期。此外，如果且始终与推导式所考虑的极限条件相同：

1. 自相关函数的收敛速度

通过上文中的研究结果表明，样本的自相关函数等于目标自相关函数。但是，这个等式在极限的情况下成立，这一点从等式获得等式的过程中很容易看到。因此，为了检验对的收敛率，有必要估计以下误差：

其中

根据Conte和de Boor<su

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