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基于近场动力学预测裂纹扩展:一个对比研究

Abigail Agwai · Ibrahim Guven · Erdogan Madenci

摘要 通过比较研究调查了预测断裂的动力学理论的准确度。通过对各种实验观察结果比较，近场动力学预测了裂隙传播路径和速度。此外，这些预测与以前的扩展有限元（XFEM）和粘聚区 模型（CZM）的预测进行了比较。三种不同的裂纹实验使用近场动力学进行建模：两个实验基准动态断裂问题和一个实验裂纹扩展研究，涉及到刚体对复合材料板的冲击。在所有情况下都能发现，近场动力学模拟捕获裂纹路径，包括分叉和微裂纹与实验观察结果一致。根据近场动力学模拟计算出的裂纹速度与XFEM和CZM模拟的相同。我们可以得出结论，近场动力学理论是一种适用于涉及复杂分叉模式的多裂纹动态断裂问题的分析方法。

关键词 近场动力学理论·动态断裂·微支化·裂纹分叉

缩略语 XFEM扩展有限元

CZM粘聚区模型

1介绍

宏观上，当惯性效应变得显著时，通常认为动态断裂发生。但是，正如Cox等人所述（2005年），所有的断裂在某种程度上都是动态的;因此，动态断裂实际上是断裂领域最根本的问题。尽管在动态断裂领域进行了大量的实验、分析和数值研究，然而动态断裂的某些机制和方面还没有被完全理解，并且仍在讨论之中。高能负荷，断裂表面粗糙化，裂纹分叉和断裂是与宏观水平动态断裂相关的现象（Ravi-Chandar 1998）。动态断裂开始后，裂纹增长的速度取决于所施加载荷和材料属性（Ravi-Chandar and Knauss 1984a）。理论上讲，瑞利波速度是裂纹扩展的极限速度。然而，实验工作，如Ravi-Chandar和Knauss（1984b）的实验工作，确定最大裂纹速度约为瑞利波速的一半，这表明理论和实验结果之间存在差异。另一方面，Sharon和Fineberg（1999）的实验研究证实了理论极限裂纹速度的有效性。 这些作者指出，超过临界速度（约为瑞利波速的百分之四十）时，会出现导致微支化的固有不稳定性。 微型分叉可以瞬间被认为是瞬间达到理论预测速度的单个裂纹。

在动态断裂过程中，分叉是一种既可以作为单个裂纹进入两个或更多分叉，也可以作为微型分叉的现象。 从实验中可以明显看出，微尺度过程在动态分裂过程中起着至关重要的作用。 事实上，某些研究人员（Ravi-Chandar and Knauss 1984c）指出，裂纹分叉从分裂过程的微裂纹演变而来，他们将这些微尺度过程确定为支配裂纹分叉的机制。然而，其他研究人员 （Sharon等1995; Sharon和Fineberg 1996）认为，当裂纹达到临界速度时，它会改变放出能量的模式。 裂纹通过分叉来释放能量以创造更多新的表面。

已经进行的许多研究对模拟动态分裂取得了不同程度的成功。能够正确捕获动态断裂现象的数值模型的发展，能让我们更好地理解各种管理机制并提高预测和设计能力。一个合理的数学模型应该能够准确地捕捉裂纹速度并预测裂纹路径，包括裂纹分叉类型和微裂纹。粘聚区法，扩展有限元法和近场动力学法都是用来模拟动态断裂现象的技术。 Baren-blatt（1959）介绍的粘聚区方法通过粘性定律/模型描述了断裂过程。用于模拟断裂的内聚强度和分离工作被纳入材料的描述;因此，断裂过程可以作为解决经典固体力学方程的一部分而不需要外部标准。粘聚区模型已被纳入有限元公式以解决各种裂纹问题。材料和材料界面通过牵引分离法（当开启位移（分离）达到临界值时，牵引分离法则牵引力为零）来建模。描述断裂过程的参数是峰值应力，断裂强度和牵引分离曲线的面积，这是分离的工作。 Chandra等人（2002）已经证明了这一点，他们认为牵引分离曲线的形状对精确模拟材料界面和模拟宏观力学行为也很重要。

粘聚区单元通常是沿着块状单元边界放置的表面单元。因此，仅在存在粘性单元的块状单元之间发生裂纹增长，导致网格依赖性。裂纹路径对网格纹理和对齐非常敏感（Klein et al.2001）。此外，当裂纹路径事先不知道时，需要重新网格化。单元之间粘性表面的存在也会导致模型大小的显着增加。例如，具有四面体单元的网格中的节点数量增加了12个或更多单元的因子。 Xu和Needleman（1994）模拟了采用粘聚区单元的动态断裂。整个网格用不同的网格细化填充表面粘性单元。他们检查了裂纹速度，并能够捕捉裂纹分叉。最初用表面粘性单元填充整个网格确实减轻了当裂纹路径不是先验已知时不知道在何处放置粘性区单元的问题。然而，它引入了其他问题。系统的弹性性能取决于表面和体积单元，即使系统处于未变形状态时也会导致弹性属性的扭曲（Klein et al。2001）。弹性属性与网格有关，当网格尺寸减小并且基于网格取向引入各向异性时，材料软化。

鉴于将表面粘性单元置于所有单元边界处的问题，Camacho和Ortiz（1996）介绍了粘性表面单元的自适应插入。然而，外部标准对于粘性单元的自适应插入是必需的，这使得内聚模型不再有标准。因此，预测的断裂路径将取决于自适应插入标准。

扩展有限元（XFEM）的概念被引入作为一种技术来模拟裂纹增长而不用重新网格化（Belytschko和Black，1999; Moes等，1999）。 XFEM是基于统一属性的分割。 标准有限元近似中包含了具有附加自由度的局部富集函数，XFEM需要外部标准来预测裂纹扩展。 Moes等人 （1999）将Heaviside函数引入不连续位移富集，以捕获裂纹上的位移不连续性以及近裂纹尖端渐近位移富集。 采用应力强度因子的概念来确定何时发生裂纹增长，并使用最大周向应力标准来确定裂纹扩展的方向。 后来，用一个粘性定律来模拟XFEM中的裂纹扩展。 裂纹表面上的牵引力受牵引分离定律的控制（Moes and Belytschko 2002）。

动态断裂也使用XFEM进行建模。 Belytschko等人（2003）应用XFEM研究动态裂纹扩展。在他们的研究中，裂纹萌生和增长是基于双曲性准则的失效。 XFEM通过水平集方法以连续的方式跟踪裂纹。该方法能够捕获单个不连续现象;但是，它无法自然捕捉分叉。因此，使用水平集很难预测复杂的裂纹形态。因此，描述复杂裂纹路径的方法(cracking node method )被引入到XFEM的框架中以捕获复杂的裂纹模式（Song和Belytschko 2009）。这种方法是一种跟踪拟合方法，它将裂纹表示为离散的不连续点。这些不连续点被插入节点并跨越连接到该节点的两个单元。该方法需要一个外部标准来确定离散裂纹的方向。 Song和Belytschko（2009）选择用最大主张应变标准在最大主拉伸面的方向插入离散“裂纹”。然而，在节点处插入离散的不连续点以表示连续介质会引起裂纹路径预测的一些不确定性。

使用基于有限元的技术来预测断裂的主要困难在于经典连续体理论的数学公式，该理论假定物体在变形时保持连续。 然而，一旦断裂开始并在变形体内传播，物体保持连续的假设就被推翻了。 在数学上，经典理论使用空间偏微分方程来表达，而这些空间导数在不连续处是不确定的。 这给经典理论带来了固有的局限性，因为根据定义，控制方程中的空间导数由于存在裂纹而失去其意义。

近场动力学理论是一种非局部连续体理论，它不是基于经典连续理论，并且不假定变形过程中物体保持连续。 Silling（2000）提出，它试图将连续体和非连续体的数学模型统一在一个框架中。这是通过替换空间导数来实现的，这些导数在不连续性处失去其意义，而不考虑是否存在不连续性，这些积分是有效的。因此，近场动力学控制方程式适用于裂纹，此外材料损伤明确地包含在近场动力学材料模型中。这些特征允许裂纹开始和传播发生在多个地点，具有任意路径，而不依靠特殊的裂纹增长标准。此外，不同材料之间的界面具有其自身的特性。在许多问题中，近场动力学理论已被用于动态断裂预测。 Silling（2003）使用近场动力学对Kalthoff-Winkler实验进行建模，在该实验中，具有两个平行切口的平板被撞击器击中。后来，Silling和Askari（2005）使用震动理论预测了冲击损伤。 Ha和Bobaru（2010,2011）的近场动力学理论模拟了一个矩形板的动态断裂，该板有一个延伸至板的宽度的一半的边缘缺口。他们的研究主要集中在杜兰 50玻璃和钠钙玻璃两种不同材料的网格和动态近场作用范围的收敛性研究上。

本研究的目的是研究各种断裂问题，以确定近场动力学在预测断裂时的准确度。使用近场动力学模拟断裂实验，与实验观察结果进行比较，并与领先的有限元断裂技术XFEM和CZM进行比较。这项调查由两个实验基准动态断裂问题和一个冲击断裂问题组成。 Song等人（2008）比较了各种有限元方法捕捉基准动态断裂实验中观察到的动态断裂。这些作者使用XFEM模拟玻璃和PMMA中的裂纹扩展，采用水平集方法和CZM。后来，Song和Belytschko（2009）使用XFEM，利用裂纹节点法来模拟玻璃中相同的裂纹扩展问题。在本研究中，Song等人（2008）建模的玻璃和PMMA中的裂纹扩展问题相同， 采用近场动力学进行建模，并根据实验观测结果与XFEM和CZM预测进行裂纹路径和速度的比较。 Kitey和Tippur（2008）进行了实验，以研究环氧板中动态生长裂纹与硬夹杂物之间的相互作用。除了初始裂纹包含偏心之外，还检查了环氧树脂和夹杂物之间的粘合强度对裂纹路径的影响。在目前的工作中，Kitey和Tippur的实验中考虑的不同样本使用近场动力学进行建模，并将裂纹路径预测与实验结果进行比较。本调查中考虑的三个问题将在下一节中介绍。近场动力学理论在第三部分进行了评论，简要解释了模拟采用的近场动力学公式和数值技术。第四部分是对三个考虑问题的近场动力学模拟结果。对于前两个问题，将近场动力学预测与XFEM和CZM的实验结果和预测进行比较，对于第三个问题，将近场动力学预测的裂纹路径与实验中观察到的裂纹路径进行比较。

2问题描述

本节给出了使用近场动力学建模的三个问题的几何尺寸，加载强度和材料属性。

2.1问题1：预切口玻璃板中的裂纹生长

这个问题涉及一个长100mm，高40mm的矩形玻璃板，缺口长度为50mm，从板的左侧垂直边缘开始，位于板的水平中线处，详见Song等（2008），见图1。玻璃板的材料性质为弹性模量E = 32 GPa，质量密度rho;= 2450 kg / m³，泊松比nu;= 0.2（ Song等2008）。 该板受到向外均匀的压力沿两个水平边界sigma;_y= 1MPa。 负载作为阶梯函数。

图1在应力载荷下的预切口玻璃板 图2 在应力下边缘开裂的PMMA板

2.2问题2：PMMA快速裂纹增长

考虑长度为380mm，高度为440mm的矩形PMMA板。在沿板的水平中线的左边缘存在长度为4mm的初始边缘裂纹（图2）。 PMMA的特性选择与Song等人（2008）的特性相同：E = 3.24GPa的弹性模量和rho;= 1,190kg / m ³的质量密度。 Fineberg等人（1992年，另见Sharon和Fineberg，1999年）进行了实验研究。在实验中，最初的裂纹是用刀片刀刃或加热的黄铜垫片产生的，并且在断裂起始所需临界值的大约一半处施加应力。然后，每10-20s施加约1times;10^-4的应变。这种非常缓慢的加载速度消除了由加载引起的弹性波。正如Song等人（2008年）指出的那样，由于禁止性计算负荷，采用显式时间积分的数值方法对缓慢加载条件的瞬态模拟并不是最佳的;必须使用足够小的时间步长来获得稳定的解决方案。因此，在近场动力学模型中，初始拉应变为0.0033，均匀地施加到该区域。此后，沿着顶部和底部边界（水平边缘）施加图2中所示的0.05m / s的向外速度负载。

2.3问题3：经过一个硬夹杂物的动态裂纹增长

Kitey和Tippur（2008）进行了动态裂纹扩展实验。在实验中，以5.3m / s的速度冲击具有嵌入的硬玻璃夹杂物的环氧板（图3）。 位于板中心的圆柱形玻璃夹杂物的直径d为4mm。 每个试样都包含一个距夹杂物中心距离为e的初始裂纹，其中e被称为裂纹夹杂偏心率。 测试三个偏心关系，e = 0，d / 2和3d / 4。 此外，试样制备时有两种不同的粘合强度：弱粘合界面和强粘合界面。 因此，共检查了六个测试案例。 环氧树脂的材料性能（Kitey et al。2006）为：弹性模量E = 3.2 GPa，质量密度rho;= 1000 kg / m³，而玻璃的弹性模量E = 70 GPa，质量密度 rho;= 2450kg / m³。

图3 通过夹杂物进行动

态裂纹扩展实验的示意图

3近场动力学理论概述

从本质上讲，近场动力学理论是对固体力学中运动方程的重新表述，它更适合于模拟具有不连续性（如裂纹）的物体。近场动力学是一种非局部积分形式，包括损伤作为材料响应的一部分。近场动力学理论与有限元方法的主要区别在于，前者是用积分方程来表达的，而不是位移分量的导数。在近场动力学公式中使用空间积分，允许将近场动力学控制方程应用于裂纹而不会使方程变得不明确。

在近场动力学理论中，连续的物体被认为是由以非局部方式相互作用的物质点组成。换句话说，

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