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第4章 扭转振子和纵向振子

4.1 引言

从历史上看, 往复式发动机的扭转振动是机械动力学的首要问题之一。它们最早发生在船用发动机中, 早在1902年就由O. FRAHM计算和测量。由于对飞艇和飞机轻量化设计的需求, 使得这类研究得到了极大的推动。特别是, 对发动机损坏原因的审查加快了开发工作。1908年8月5日在斯图加特附近，因发动机损坏致使紧急降落后的LZ4号齐柏林飞艇发生的坠机事故，其造成了巨大的损失。

1918年，E. MEISSNER对电力机车发动机振动的论述可以看作是机械动力学中参数激发振动领域的首批著作之一。BIEZENO和GRAMMEL认为，前计算机时代往复式发动机动力学的概述应载于 '工程动力学'。

往复式发动机仍然很突出, 尽管它现在不仅要研究发动机本身, 还要研究整个驱动系统。这将导致其具有大量自由度的计算模型。其他机械类型的驱动系统中的扭转振动正日益受到人们的关注。例如, 对更高印刷质量的要求不断增加, 因此不可避免地要对印刷机进行动态建模。不断增长的生产率需求要求在许多加工设备中尽可能准确地捕捉驱动系统的动态。人们通常可以说, 几乎所有有旋转运动的机械类型都必须考虑扭转振动。它们的数学处理并不取决于有关机器是机床、水泥磨机、船用发动机还是摩托车发动机。

本节特别讨论驱动系统中的扭转振动。纵向和扭转振子是第6章讨论的一般线性振子的特殊情况 (包括阻尼的影响)。纵向和扭转振子在数学处理方面表现出相似性。有许多驱动系统可以简化为扭转振动模型。表4.1 显示了无约束扭转模型的各种基本形式。

在对机器进行动态分析之前，必须回答的最重要的问题是将模型类型问题分类为刚性机械或振动系统,。该问题请参见第1章。固有频率必须是已知的, 并与激励频率进行比较。由于机器的阻尼通常很弱, 因此可以计算出忽略阻尼的固有频率。计算还得出了振型, 从中可以得出关于对固有频率的影响的重要结论。振型还用于估计系统在预定初始条件下的强制振动和行为。例如, 在离合器动作过程中发生的振动。

驱动系统动态载荷最简单的计算模型是刚性机器模型 (刚体系统), 它提供了动静态载荷。它适用于 '慢' 载荷（参见 (1.1) 或 (1.2)），并形成计算静态内力的中间步骤。扭转力矩被发现是随时间变化的 (没有振动), 且取决于惯性沿传动系统的分布。

由刚体系统模型得到的动静态力矩提供了动载荷的平均值。由于弹性系统的振动 ('振动力矩'), 它们叠加在力矩上, 可以大得多, 例如, 请参见 (4.41) 和 (4.42)。

表4.1 无约束扭转模型的基本形式

	直轴。例如, 此模型适用于不考虑辅助驱动器的内联往复式发动机。
	变速轴。此模型适用于没有扭矩分裂发生时。
	具有扭矩分离的驱动器。只要发生任意数量的扭矩分离, 且分离部分没有重新组合 ，此模型就适用。例如, 具有前后驱动负载分配机制的车辆驱动, 或具有多个驱动轴的船用发动机。
	网状驱动器。此模型适用于扭矩第一次分离, 然后在一个轴上重新组合。这方面的例子可以在印刷机设计、齿轮测试的预加载机构和负荷分配机制中找到。

首先, 考虑在处由输入扭矩移动的杆, 见图4.1 a。当转动惯量为时，扭转杆以

加速。其中表示极区转动惯量。因此, 杆在交替方向上扭曲, 且它内部的动静态扭转力矩

由于惯性, 在点处发展。

b)

c)

a)扭转杆，b)扭转杆中的弯矩分布，c)齿轮机构

图4.1 动静态力矩

弯矩分布如图 4.1 b 所示。点后旋转质量的转动惯量使杆产生动静态力矩。如果扭杆在点处被劈开, 其中转动惯量在左侧为, 右侧为, 则界面处的扭转力矩为

另一个解释动静态力矩的例子是图 4.1 c 中的齿轮机构。输入扭矩会引起角加速度, 可以使用 式(2.199) (见 2.213) 的减去转动惯量来计算角加速度。

因此角加速度为

齿轮机构的两轴承受不同的扭矩值。这些值是通过应用一个自由体图找到的:

根据看到的是左边还是右边，齿轮上的切向力F为:

无论看的是左边还是右边，这两个结果是相同的。

表4.2给出了将振子链简化为带有计算自由振动方程的无分支标准模型的例子。这些例子可以代表以下系统:a)弹性耦合车辆，b)锻锤基础，c)配重电梯，d)齿轮传动比驱动系统，e)悬架负载起重机，f)悬架负载旋转起重机。这种减化只能在假设e)和f)的摆动角度很小的情况下进行。

表4.2简化为扭转振荡链的例子

表4.2 a中扭转振子的运动方程为

表4.2中系统b)到f)的运动方程结构完全相同，只有坐标和参数具有表4.2给出的名称。下面是适用于所有这六个系统的固有频率和振型方程:

参考圆频率:

固有圆频率，也见表4.4，情况1:

振型可以以不同的方式进行归一化，例如使用

或

振子链可以表示为所谓的图像轴。图像轴是一种机械上类似的振动系统，其中所有相关的参数作为惯性矩和扭转弹簧常数引用到同一轴(如表4.2所示)，并按比例绘制。转动惯量与半径成正比，扭转弹簧的柔度(即扭转刚度的倒数)与圆盘之间各截面的长度成正比，见第1.3节和表1.5。该简化方法使原始系统的动能和势能与图像轴匹配。

用图像轴来表示振子链，常用于描述振子的刚度和质量分布。这种说明性的方法(以前经常使用)已经失去了意义，因此在这里不再详细描述。然而，一个例子就足够了。图4.2a为两级齿轮机构的计算模型，图4.2b为相关联的图像轴。参数值如下:

通过执行以下转换(利用角度的线性转换以及扭转弹簧常数和惯性矩的平方传动比的转换)，我们可以证明这两个系统是动态等效的:

比例表示法表明，第一轴比第二轴硬得多。为了进行粗略的计算，齿轮机构可以看作是左边的两个圆盘是刚性连接的，在较低的频率范围内它的行为像一个双质量系统。

a)齿轮机构的原始模型，b)图像轴

图4.2图像轴实例

4.2扭转振子的自由振动

4.2.1具有两个自由度的模型

4.2.1.1两自由度线性扭转振子

扭转振子分为有约束振子和无约束振子。如果至少有一个弹簧是固定的且刚体系统不能自由旋转，或者如果至少有一个弹簧连接到已知的旋转质量上，则使用约束振子。因此，考虑具有角运动激励的扭转振子的约束模型(如纵向振子的运动激励)，见第4.3.2.3节。在制动过程中，如果一个圆盘被固定(夹紧)，则无约束模型变为约束模型，如图4.3所示。

约束： 自由：

a)

b)

c)

a)系统原理图，b)第一振型，c)第二振型

图4.3两自由度扭转振子

约束模型的运动方程为式(4.9)和(4.10):

式（4.21）可与锻锤基础的运动方程(3.83)进行比较。由于它们的结构相似，因此可以在这里应用第3章的结果。因此，根据(3.94)，解为:

其中振型的振幅比由(4.13)或(4.14)和固有圆频率得出。未知数和可以利用初始条件确定，例如，请参见解决方案S4.2或S4.3。无约束模型的运动方程是(4.8)和(4.9)的特例，可以写成:

假设一个解决方案的形式,代入后，它遵循():

每个方程的解提供振幅比

频率方程是由右边的两个分量得到的:

它的根为：

算作第一固有圆频率,不仅是规范的,而且同样具有物理原因。(4.23)的解与(4.22)不同，

和是常数,可以确定初始条件。振幅比的结果是把（4.27）得到的和代入（4.25）这个表达式得到并使用归一化:

如图4.3b所示,第一振型的刚体旋转振荡周期是。第二振型有一个节点，节点的位置取决于的比值。

扭转振子在各自旋转质量处的角偏转以垂直于旋转轴的直线表示，如图4.3、4.7、4.9、4.14、4.20等。所有无约束系统的第一固有频率为零，参见(4.87)和(4.103)。这就是为什么在测量结果中，出现机械驱动在制动后的基频会比前一运动状态下要低的显著现象的原因。

4.2.1.2带间隙的传动系统

在启动和制动过程中，由于间隙(如联轴器或齿轮机构)，驱动系统会发生碰撞。以这种方式产生的动力，特别是当驱动改变它的旋转方向时(例如，当起重机的回转齿轮或挖掘机铲的驱动的输入方向相反时)，往往比动静态载荷大得多。如果设计人员在计算中没有考虑齿轮间隙的影响，可能会发生超载和损坏。

齿轮机构的转隙大小在驱动前后运动时经常可以感觉到，在大齿轮比的驱动中，发动机轴的转隙减小几十度是很常见的。经验表明，由于磨损(如齿轮或联轴器的磨损)随时间的增加而增加，因此，随着使用时间的延长，齿隙也会增加。当压配合松动时，情况尤其危险。特别是传动慢速轴上的部件，需要对其进行极端冲击载荷分析，因为在极端冲击载荷下，间隙的影响最为显著。

与无间隙的传动相比，由于受驱动的旋转质量在通过间隙时达到了较高的角速度，从而对反侧间隙产生了冲击，从而产生了较高的动载荷。计算间隙影响的最小模型如图4.4所示。除了扭转振子模型外，纵振子模型的运动方程与扭转振子模型的运动方程吻合，由表4.2类比所示。通过间隙的两个阶段可以更好地被说明(旋转间隙对应轴向间隙)。

初始状态

阶段一

阶段二

、

a)带参数的系统原理图，b)带间隙的特性

图4.4齿轮间隙传动的最小模型

首先假设输入扭矩在开始时立即跳到值的极端情况。在4.3.3.1中，研究了无间隙驱动的多弯矩跳跃序列。运动方程为:

扭转力矩在扭转弹簧中发展，考虑间隙，可得:

若(4.30)除以，(4.31)除以,则根据角加速度的差值，再乘以，考虑(4.32)，得到角范围内扭转力矩的微分方程为:

固有圆频率的平方由(4.27)可知。在第一阶段，发动机()被恒定输入扭矩加速，使整个间隙通过，如图4.4所示。旋转质量仍然静止在这一阶段,且适用。初始条件是

它们表达了这样一个事实，即左质量(旋转质量)依赖于前一个运动的左止点(如果在间隙中间开始运动，则必须制定其他初始条件)。在这个阶段根据(4.32),因此这解决微分方程(4.30):

当回转质量通过间隙时，第一阶段在时刻完成

通过间隙的时间由第一个方程得出

第一阶段的结束条件同时也是第二阶段的初始条件。两个质量(旋转质量)现在由弹簧连接起来。在角范围内，由(4.30)到(4.32)得到以下结果:

这里要计算的不是角度的时间函数，而是扭转力矩的时间函数。利用由式(4.36)得到力矩的初始条件:

式(4.33)的解在这一阶段产生轴内力矩的变化：

可以看出，除间隙外，惯性矩比是影响轴向载荷的另一个主要参数。由式(4.3)可以看出，将自由振动的“振动荷载”叠加到动静态力矩的平均值上。由(4.40)得到的最大弯矩:

由此可知，弹性系统的固有频率越低，弹性系统的背隙对动荷载大小的影响越小。因此，“刚性”联轴器的动态载荷比“柔性”联轴器的高。若使用角速度替换式（4.41）中的联立(4.36)表达最大力矩,为以下形式:

由极限过程得到的的加载情况“耦合冲击”的最大力矩为

式(4.41) ~(4.43)适用于计算最大弯矩。它们也可以应用于模态振子，见第6.3.3节。

图4.5由驱动间隙引起的最大力矩

图4.5说明了(4.41)的关系，即最大弯矩与间隙的关系。它与动静态力矩的关系是沿着纵坐标绘制的。没有间隙时，它已经有初始值2，但在驱动器中，有间隙时，其可以达到更高的值，如这些曲线所示。

人们有时错误地认为，动态载荷仅达到动静态载荷的两倍。图4.5显示这是错误的。这种低估会导致错误的的负载假设、意外超载和相当大的损害。在比率为的驱动器中会产生特别大的力。对于不需要传递大静力矩的传动装置，如起重机或挖掘机的回转齿轮传动装置，通常是这样。与动态力相比，必须传输较大静力的驱动器中的比率主要是，因此，对驱动器中的负载的反作

资料编号：[4865]