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调谐质量阻尼器及阻尼结构

摘要：无阻尼结构上的调谐质量阻尼器的经典设计基于Den Hartog引入的“定点”理论。由于阻尼结构的动态放大缺乏固定点，本研究对先前的方法进行了概括总结，用于确定阻尼器的最佳参数。通过分析复杂的固有频率来识别最佳频率。如果阻尼器的阻尼比小于临界值，则产生的频率导致复频率轨迹中的影响点和两个振动模式的模态阻尼比相等。该临界值可以在实践中用作阻尼比值的上限，其可以有效地限制阻尼器的相对运动。通过确保动态放大的参考频率达到极值来确定最佳阻尼比。已经证明，所产生的阻尼比解释了主结构的运动的减小和阻尼器的相对运动。此外，提出了一种改进的设计程序来确定阻尼器的最佳参数，用于具有多个自由度的阻尼结构。几个数值实验表明了所提出的参数和设计过程的效率。

关键词：阻尼结构，频率分析，模态阻尼，最佳阻尼比，最佳频率比，调谐质量阻尼器

1 介绍

调谐质量阻尼器（TMD）通常被引入结构和机械中以抑制或减少不必要的振动。 第一个安装TMD以减少风振的结构是澳大利亚悉尼的中心点塔。 从那时起，陆续出现了大量成功的TMD结构实施案例，例如安装在约翰汉考克大厦，游乐场桥塔，CN塔和伦敦千禧桥等等。

通过调谐质量控制大共振幅度的想法归功于Frahm，他提出使用没有阻尼器的弹簧质量系统。结构-阻尼系统的振幅分析由Ormondroyd和Den Hartog进行，他们证明了额外的阻尼器不仅可以消散振动能量，还可以增加设备有效工作的频率间隔。总的来说，这导致了TMD的经典设计程序的制定。这些经典理论还导致了调谐液体质量，半主动质量阻尼器和主动质量阻尼器的发展。

在过去的几十年中，TMD的优化设计引起了越来越多的关注。经典设计方法基于无定结构的“定点”理论。通过在两个固定点处均衡动态放大来获得经典调谐频率。选择经典的最佳阻尼比作为两种情况的算术平均值，其中所应用的阻尼值在两个固定点产生局部动态放大最大值。当阻尼引入结构系统时，两个固定点即在无阻尼结构系统中构成一个非常有用的特征是丢失的。因此，在阻尼结构系统的情况下，很难找到TMD最优参数的闭合解。大多数最佳参数的设计方法都是用数值方法评估的，或者是基于近似等效模型。Ghosh和Basu通过假设存在两个固定点，给出了TMD最优参数的近似闭合解。Ioi和Ikeda通过最小化轻微阻尼结构的加速度响应引入了经验表达式。Hoang和Warnitchai使用数值优化器设计TMD，以最大限度地减少结构的过度振动。另一方面，也广泛讨论了TMD实际应用的可行性。Casciati和Giuliano讨论了TMD在降低悬索桥塔内阵风响应方面的有效性。Adam基于一组40个记录的地面运动研究了TMD的抗震性能。

对于具有无阻尼结构的经典系统，Krenk采用频率分析方法来识别TMD的最佳参数，并发现经典调谐频率导致频率轨迹中的模态阻尼和汇流点相等。此外，Krenk 提出了一种最佳阻尼比，使得动态放大在两个“定点”频率和锁定频率下变得相等。产生的阻尼比的特征在于减小了主结构的运动并将阻尼器的相对运动保持在可接受的范围内。

受这些启发，本研究应用频率和扩增分析来确定阻尼结构系统的TMD的最佳参数。使用Krenk提出的频率分析方法，将最佳频率估计为导致汇合点出现的值。产生的调谐频率不仅与TMD的应用阻尼有关，而且与主结构的阻尼有关。此外，证明了当阻尼比低于临界值时，该调谐频率还导致阻尼结构系统中的模态阻尼相等。通过确保动态放大在参考频率处达到极值，以闭合形式导出最佳阻尼比。由此产生的阻尼比也解决了主结构的运动和阻尼器的相对运动的减小。事实上，当初级结构的阻尼可以忽略不计时， Krenk针对无阻尼结构提出的最佳阻尼表达式。

在具有多个自由度的结构中，TMD通过为特定目标模式提供阻尼来设计。 因此，该系统通常被简化为等效的两自由度模型。 在阻尼效率概念的基础上，利用等效模型和提出的最优参数，在本研究中开发了一种改进的近似程序。 还进行了若干数值实验以证明本文提出的用于阻尼结构的优化参数导致良好的性能。

2 TMD阻尼结构的基本模型

结构-阻尼系统的基本模型如图1所示。主结构的质量，刚度和阻尼分别由，和表示。TMD包括通过弹簧和阻尼器连接到主结构的质量。 主结构的位移和TMD相对于主结构的相对位移分别由和表示。给定外部激励f(t),耦合系统的运动方程：

图1 调谐质量阻尼器及其阻尼结构

(1)

另外，TMD的运动方程由下列方程控制：

(2)

2.1 频域响应

可以使用傅里叶变换将等式1和2在频域中转换为以下形式：

(3)

(4)

其中omega;代表外部激励的频率。,初级结构的特征在于其频率，阻尼比和质量，而TMD的特征在于其频率，阻尼比和质量。 如果引入以下标准化参数,可以简化为：

(5)

将等式(5)定义的归一化参数代入等式(3)和(4)，动态放大因子用于主结构的运动，动态放大因子用于相对运动，则TMD为：

(6)

(7)

其中，和分别代表位移和静态结构位移的两个复振幅。当给出结构阻尼并选择质量比时，结构-阻尼系统的特征在于阻尼比和频率比。 因此，设计问题可归因于这两个参数的优化。

2.2 动态放大系数的特征

在无阻尼结构系统的情况下（即，= 0），当阻尼比低时，在动态放大因子曲线中出现两个共振峰值。 相反，当阻尼比高时，阻尼器的相对运动受到限制，导致动态放大系数曲线中的单个共振峰值。 值得注意的是，有两个固定点，位移响应与施加的阻尼无关，如图2a所示。

图2：和的动态放大：（

2.3 无阻尼结构的经典优化方案

Den Hartog和Brock提出的经典调谐频率是通过均衡两个固定点的动态放大得到的:

(8)

获得经典的最佳阻尼比作为两种情形的算术平均值，使得所施加的阻尼的值在两个固定点处产生局部动态放大最大值，由下式表示：

. (9)

在实际设计中，应限制主结构的运动，而阻尼器的运动应保持在可接受的范围内。 然而，经典阻尼比仅将结构运动限制到最大可能程度，如图3所示。为此，Krenk提出了一种新的替代阻尼比，使得动态放大在两个“定点”频率处变得相等 锁定频率。所产生的阻尼比略高于经典的调谐频率值，但改善了阻尼器运动的特性，如图3所示。它由下式给出：

(10)

并且锁定频率对应于结构和阻尼质量的锁定，其采用该形式:

. (11)

图3动态放大，，：（a）结构运动; （b）相对阻尼器运动

令人感兴趣的是，该锁定频率也等于经典调谐频率的平方根，如等式（8）所示。

Krenk还给出了无阻尼主结构的阻尼上限，它与形式上的最大模态阻尼相对应:

(12)

然而，这些用于获得最佳参数的方法都基于“定点”理论，并且包括在初级结构中缺乏阻尼的假设。因此，这些方法不能应用于阻尼结构，并且由于倾斜的动态放大系数曲线，这些优化参数直接应用于阻尼系统也是不可取的，如图4所示。

总之，寻找阻尼结构系统的新最优参数具有实际意义。第3节介绍了阻尼系统的最佳调谐频率，从而实现更好的平衡频率响应。阻尼系统的最佳阻尼比在第4节中得出，它考虑了主要结构的运动和阻尼器的相对运动。此外，值得一提的是，Krenk提出的许多概念在以下分析中起着相当大的作用，例如锁定频率和最大模态阻尼。

3 阻尼结构上TMD的最优调频频率

结构 - 阻尼系统的振动特性很大程度上取决于自由振动的固有频率。 对于一次结构和给定质量比的确定阻尼比，固有频率取决于调谐频率alpha;和施加阻尼xi;2，由于系统的自由振动，可以通过特征方程求解。 根据等式（6）的分母，特征方程的相应归一化形式可以由下式给出:

. (13)

因为等式（13）有些复杂，所以可以仅使用数值方法获得自由振动频率。 Krenk详细分析了调谐频率和外加阻尼对无阻尼结构固有频率的影响，如图5所示。当调谐频率小于经典值时（例如，），右分支形成在实轴开始和结束的局部曲线，而左分支具有非局部特征。

图4动态放大，，：（a）结构运动; （b）相对阻尼器运动

图5对于和，的固有频率的位置：（a）; （b）

当频率比略大于经典值（例如，）时，两个分支的特性互换。 出于拓扑原因，这两种情况之间存在过渡。在图7a中绘制了这种情况，其中频率轨迹的两个分支在汇合点处相遇。有趣的是，这个调谐频率等于经典值。

调谐频率和施加的阻尼对阻尼结构的影响如图6所示。在这种情况下，频率轨迹的特性趋向于与无阻尼结构相同。因此，当调谐频率等于特定值时，可以推测频率轨迹的汇合点也可能出现在阻尼结构系统中，如图7b中部分验证的那样。该调谐频率可以作为阻尼结构系统的最佳调谐频率。

3.2 频率调谐

根据前一部分的分析，当调谐频率等于阻尼结构系统的最佳调谐频率时，频率轨迹的两个分支可以在汇合点处相遇。在这种情况下，特征方程的完整解包含两对根; 也就是说，一个表示为x *并且位于第一象限中，另一个是-x *并且对称地位于第二象限中。另外，这意味着可以通过给出四次特征方程：

(14)

上面的等式可以用类似于等式（13）的形式表示：

(15)

对于图7b中绘制的汇合条件，等式13和15是等价的。 相应的调谐频率可以通过比较这两个方程的常数，线性和立方来获得，从而得到:

图6 和的固有频率的位置：（a）; （b）

图7的固有频率的位置：（a）且; （b）且

(16)

(17)

(18)

将等式(16)和(18)代入等式（17）产生对应于等式的最佳调谐频率汇合点的存在：

(19)

该调谐频率的性能如图8所示，曲线更加对称，两个峰值几乎相等，这比直接应用于阻尼系统的经典调谐频率的情况更好，如图所示。在图4.1中，将证明该调谐频率还导致阻尼结构系统的模态阻尼相等。此外，等模态阻尼特性通常用作选择频率参数的标准。因此，该结果可用作阻尼结构系统的最佳频率比。 对于的情况，等式（19）被减少到经典值，如等式（8）所定义。

图8 ，，和的动态放大

4 阻尼结构上TMD的最佳阻尼比

通常选择阻尼比以产生或多或少的平稳平台，用于两个固定点之间的动态放大响应。对于阻尼结构系统的情况，这可以通过选择所施加阻尼的值来实现。当采用最佳调谐频率时，动态放大在参考频率处达到极值。Krenk提出的锁定频率是无阻尼系统中参考频率的合适选择。此处，阻尼系统的参考频率定义为最佳频率比的平方根，参考方程（11）的形式：

(20)

实际上，实际参考频率，即，是结构频率和最佳阻尼频率的几何平均值。当主结构的阻尼为0时，该频率等于锁定频率。动态放大系数的导数是繁琐且极其复杂的，但通过以下等效方法可以简化问题：

(21)

在上述等效方程中替换参考频率后得到:

(22)

其中,通过将等式（22为0，可以将其简化为:

(23)

将等式（20）定义的参考频率代入等式（23）,得到：

(24)

最后，对应于动态放大的极值的最佳阻尼比如下：

(25)

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资料编号：[3855]</p