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分形维数在石灰软化过程中形成的絮体结构研究中的应用
Arman Vahedi, Beata Gorczyca
曼尼托巴大学土木工程系，地址：加拿大密歇根州温尼伯市吉尔森街15号，EITC，E1-368。
文章信息
文章时间线：
2010年4月16日收到
收到修订后的文章
2010年8月19日
2010年9月14日接受
2010年9月22日在线提供
关键词：石灰软化絮体、分形维数、沉降速度
摘要
利用分形维数研究了石灰软化过程中絮体的内部结构和沉降。通过絮体图像和絮体的沉降速度直接测量絮体的分形维数。在二维和三维空间中，利用电动台阶光学显微镜直接测量石灰软化絮体的分形维数。直接测定的石灰软化絮体分形维数为絮体边界1.11-1.25，横截面积1.82-1.99，絮体体积2.6-2.99。直接由絮体沉降速率确定的分形维数为1.87，与直接由絮体图像确定的三维分形维数不同。这种差异是由于以下不正确的根据絮体沉降率确定的分形维数的假设所导致的：方形沉降速度和絮体尺寸之间的线性关系（斯托克斯定律）、絮体尺寸与体积、恒定的分形维数和描述整个絮体的一个主要粒径之间的欧氏关系。采用变絮体分形维数和变初始粒径的絮体沉降模型，较好地描述了大型（gt;50 micro;m）石灰软化絮体的沉降速度。较小絮体（lt;50 micro;m）的沉降速度仍然可以用斯托克斯定律很好地预测。研究表明，石灰絮体的分形维数随絮体大小的变化存在两种机制：小絮体的团簇聚集（lt;50 micro;m）和大絮体的扩散限制聚集（gt;50 micro;m）。因此，絮体分形维数与絮体大小的关系似乎是由絮体形成机制决定的。
1.介绍
通过混凝/絮凝工艺去除污染物的成功取决于固液分离的成功。在混凝过程中，悬浮和溶解的杂质聚集成絮状物，随后通过沉淀从水中去除。絮状物的特性决定了污泥的沉降；这在低污泥浓度（I型沉降）和极高污泥浓度（IV型沉降）下尤为明显。在I型沉淀中，絮状物以单个聚集物的形式沉降；在IV型沉淀中，絮状物呈块状沉降。I型沉降的效果取决于单个絮体的沉降速度，而IV型沉降主要取决于絮体的脱水特性。污泥沉降过程通常采用泥沙通量理论进行建模。在这个理论中，絮体的所有性质都被简化为一个参数，即固体浓度。将通量理论扩展到包括低和高污泥浓度范围的尝试并未包含关于离散絮体沉降和脱水行为的信息（Ekama等人，1997）。过滤过程中在膜上形成的污泥层基本上是一块压缩的絮状物。单个絮体的性质，如流动性或压缩性，也可能决定滤饼的性质和膜过滤的效果（Li和Ganczarkzyk，1992）。
已经进行了许多模拟单个絮体沉降速度的尝试（Winterwerp，1998；Bushell等人，2002；Khelifa和Hill，2006）。这些模型主要是对等式（1）所示斯托克斯定律的修正（Lee等人，1996；Bushell等人，2002；Gorczyca和Ganczarczyk，2001）：
（1）
式中Vs为沉降速度，rho;p为颗粒密度，rho;w为水的密度，g是重力加速度，CD是阻力系数，Omega;是多孔颗粒的修正系数，d是粒径。有很多证据表明斯托克斯定律不能充分描述絮体沉降。
速度（Logan，1999）。原始斯托克斯定律的修正系数由于其局限性而没有得到广泛的应用（Namer和Ganczarczyk，1993；Brown和Lawler，2003年；Khelifa和Hill，2006年）。
实验还模拟了絮体（即污泥）浓缩悬浮液的沉降。式（2）表示了将污泥区沉降速度与污泥浓度联系起来的许多数学表达式之一（Ekama等人，1997）：
（2）
式中vzs是污泥沉降速度，c是污泥浓度，k和n是与特定污泥特性相关的常数。k和n的物理意义尚不清楚，但有人认为这些参数可能代表了絮体的一些性质，如絮体的沉降速度和排水量（Gorczyca和Ganczarczyk，2002年）。
絮体结构中絮体内部颗粒的内部排列决定了絮体的几乎所有性质，如沉降速率、作用于絮体的阻力、质量、多孔性、密度和脱水。通过分形模型（Li和Ganczarczyk，1989年；Logan，1999年；Kim等人，2001年；Gorczyca和Ganczarczyk，2001年、2002年；Chung和Lee，2003年；Maggi，2005年）可以很好地描述絮体的内部结构。
分形维数测量几何物体的弯曲或不规则程度（Gomes和Selman，1999年）。絮体的分形维数可以表示一种特殊的结构模型，此模型可以用来模拟絮体的水动力行为，如重力沉降和絮体渗透性。絮体的分形维数与其沉降速度之间的关系有很好的记录（Ganczarczyk，1995；Lee et al.，1996；Gorczyca and Ganczarczyk，1996，2000；Logan，1999；Bushell et al.，2002；Tang et al.，2002；Chu et al.，2004；Jarvis et al.，2005；Khelifa and Hill，2006；Bugni，2007；Chakraborti et al.，2007）。然而，分形维数的测量方法尚未建立。
2.絮体分形维数
已提出了多种确定絮体分形维数的多种方法。这些方法可分为直接法和间接法。
2.1盒计数法：一种直接确定分形维数的方法
盒计数法可以通过覆盖R尺寸的nr元素（像素）来直接确定分形维数（kaye，1993）：
（3）
本文中盒数分形维数对絮体边界、横截面积和体积分别标注为DB、DS和DV。DV是三维分形维数的一个示例，它提供了集料结构的直接信息，可直接用于模拟絮体的水动力行为，如重力沉降和通过絮体的流动。
絮体的投影面积有时用于确定基于周长的分形维数dp（式（4））。
（4）
式中A和P分别为絮体投影面积和絮体周长。请注意，投影面积可能不同于横截面积；絮体横截面积是絮体与三维平面的交叉点，但絮体的投影面积只是任何方向的二维投影；投影面积通常是整个絮体成像所捕获的，但横截面积成像需要絮状部分显示絮状内部孔隙。尽管在以前的一些研究中，基于周长的分形维数与边界分形维数可以互换使用，但可以证明，只有当A~d2时，DP才等于边界分形维数（DB）。对于分形，这一假设是不正确的（IMRE，2006）。
有一些研究人员利用方程3和4直接在这些絮体的投影图像上测量化学混凝和活性污泥絮体的边界、横截面积和基于边界的分形维数（Li和Ganczarczyk，1989；Thill等人，1998；Kim等人，2001；Gorczyca和Ganczarczyk，2001；Maggi和Winterwerp，2004）。
在以上讨论的所有分形维数中，只有三维分形维数（DV）在模拟絮体的沉降和其他水动力特性方面有实际应用。不幸的是，这种特殊的尺寸非常难以直接测量，因为它需要对絮体结构进行三维重建。共聚焦显微镜已用于生物聚集体的三维成像（Snidaro等人，1997；Thill等人，1998；Schmid等人，2003；Chu和Lee 2004）。Chu和Lee（2004）通过叠加二维横截面图像直接计算了活性污泥絮体的DV。然而，在使用共焦显微镜进行絮状体成像时存在一些局限性。荧光染色过程可以相当精细，改变絮体的含水量，从而改变絮体的脆弱结构。此外，染色剂只附着在絮状物的有机部分，使无机部分看不见。这对于主要是无机物的化学凝聚絮体的分析尤其有问题。因此，化学凝聚絮体的DV还不能够直接测量。
一些研究者尝试从边界（DB）、周长（DP）和横截面积分形维数（DS）间接估算絮体的三维体积分形维数（DV）。
Thill等人（1998）使用等式（5）估算活性污泥絮体的体积分形维数。在推导式（5）时，假设DS为共焦显微镜和式（3）测定的横截面表面积的分形维数。
（5）
Maggi和Winterwerp（2004）用基于周长的分形维数（dp）通过以下关系估算体积分形维数：
for （6）
式中，是无量纲絮体尺寸，d是絮体尺寸，r是絮体二维投影中的像素尺寸，a（l）和b（l）由以下方程计算得出：
， （7）
其中
，
2.2自由沉降试验：一种间接测定三维分形维数的方法
用填充元素的质量代替体积填充元素的数量，可以直接由式（3）导出三维质量分形维数。如果假定絮体的主要颗粒（填充元素）密度为常数，则絮体质量和体积呈线性相关，且三维质量分形维数和体积分形维数必须相同。
许多研究人员试图用下面解释的方法，从絮体的沉降速度间接确定絮体的分形维数。式（3）表明，根据分形几何原理，絮体体积（V）随絮体大小而变化：
（8）
假设主要粒子的密度不变，则质量分形维数也可写成类似的幂定律：
（9）
其中M和DM分别为絮体质量和絮体分形维数。让我们把v0和m0当作为基本粒子（覆盖元素）的恒定体积和质量。由于集料的质量与集料中元素的数量有着M=Nm0的关系，因此存在以下幂定律：
（10）
对于由质量为m0且体积为v0的N元素制成的絮体，固体分数定义为：
（11）
其中ε是絮体孔隙。
在这一点上，出现了先前审查过的推导中使用的第一个关键假设。假设絮体的沉降速度遵循斯托克斯定律。根据斯托克斯定律（式（1）），存在以下关系：
（12）
假设絮体由等密度rho;0固体和水组成，通过简单的质量平衡可以得到以下关系式：
（13）
结合式（11）—（13）得出以下关系式：
（14）
假定作用在沉淀絮体上的阻力系数与不透水球体的阻力系数相同：
（Relaquo;1） （15）
式中，是粒子雷诺数，其中V是水的运动粘度。因此，可以得出以下关系：
（16）
结合式（14）和（16）可得出以下关系：
（17）
式（10）和式（17）同时推导出以下关系：
（18）
根据等式（19），第二个关键假设是，絮体的体积和大小是相关的：
（19）
因此，
（20）
许多研究人员根据公式（20）间接地从集料沉降率估算了集料的体积分形维数（Li和Ganczarc
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