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摘要
将二次正交旋转回归设计、二次规划和线性规划相结合，提出了以最小年成本(或年投资)为目标函数的优化循环水管网的新方法。首先，通过二次正交旋转回归设计，确定了流量分配方案。通过线性规划确定各流量分配方案的年成本，建立了年成本与管段流量的二次多元回归方程。二是利用二次规划的目标函数确定二次回归方程的最优流量分配方案。最后，以最优流量分配方案为基础，采用线性规划方法确定环网的最优设计。该程序可用于优化具有泵站和重力条件的单资源环网。
关键词：循环水分配网络；优化设计；二次正交绕旋回归设计；二次编程线性规划
1.简介
环形配水管网系统在城市中广泛使用；他们的投资和运营成本都比较高。优化设计的目标是寻求最经济的管道网络设计。管网的系统优化问题可以分为管网的优化布局和优化设计。由于网络布局和设计的共同考虑非常复杂，因此本文仅讨论后者。管网的优化设计包括确定布局下管网的最佳流量分布的问题。选择每个管段的最佳尺寸和泵站的扬程，以使年度成本降至最低。
已经开发了大量方法来优化管网。典型的方法包括线性规划梯度（LPG）算法[1-4]，全局优化方法[5-7]，遗传算法[8-11]等。这些方法具有它们的优点，但是仍然存在一些缺点，例如LP算法难以获得最佳解决方案。全局优化方法优于LPG算法，但其计算过程相对复杂。将标准管道直径用作决策变量的遗传算法不如前两种算法。因此，不考虑管网的最佳流量分配。已经开发了大量方法来优化管网。典型的方法包括线性规划梯度（LPG）算法[1-4]，全局优化方法[5-7]，遗传算法[8-11]等。这些方法具有它们的优点，但是仍然存在一些缺点，例如LP算法难以获得最佳解决方案。全局优化方法优于LPG算法，但其计算过程相对复杂。将标准管道直径用作决策变量的遗传算法不如前两种算法。因此，不考虑管网的最佳流量分配。
在本文中，提出了一种新的程序来优化环状水分配网络，它结合了二次正交旋转回归设计，二次规划和线性规划。
2.流量分配下循环分配管网优化设计的LP模型
2.1重力循环分配管网的LP模型优化设计
2.1.1水头高度和所需的水头高度
在管网的任何节点上，实际水头和地面标高的总和称为水头标高。实际的水头高度和地面高度之和称为所需的水头高度。
2.1.2可用直径尺寸
通常在设计中选择标准（商业）直径。每对节点之间的每个管段均由2个长度组成，长度等于或大于标准直径。因此，标准直径的尺寸很多，计算工作量很大。为了减少计算量，对于每个管段，都可以通过流速限制直径范围。流速不应超过3m/s，以免被水锤损坏。流速应大于0.6m/s，以防止沉淀。基于以上所述，可以选择标准直径尺寸；如果这种标准直径尺寸为M（i），则在i个管段中可用的管道直径尺寸由M（i）标准直径组成[12]。
2.1.3对象功能
基于选定的可用管道直径大小，将重力回路管网的最小投资用作目标函数。
其中P是重力环管网的投资（元）；N为管段总数；是单位长度管道的成本（元/米）；是管道长度（米）。
2.1.4约束条件
（1）管段长度限制
管段长度必须等于不同直径的可用管径长度的总和。
其中是管段长度（m）。
（2）基本循环约束
环形分配网络由一系列基本回路组成。在图1中，环状分配网络包括四个基本回路。
根据能量守恒定律，每个基本回路的闭合差等于零。
其中s是基本循环的序数；S是基本环的总数；R（s）是基本回路s中的管道段数；是流向函数；是水力梯度。
（3）水头压力限制每个节点的水头高度不应低于所需的水头高度。
其中k是节点的序数；K是节点总数；I（k）是从水源到节点k的管段数；是水面高度（m）；是节点k（m）中所需的头部高度。
（4）非负约束
0
图1.环形分配管网
2.2抽水式循环分配管网的LP模型优化设计
2.2.1对象功能
根据所选的可用管径尺寸，将抽水式循环分配网络的最低年度成本用作目标函数。
其中W是抽水式循环配水网的年度费用（元/a）；t是组织资本回收期（年）；年度利率（％）;p是平均年度大修成本率（％）;QP是泵站的流量（m3/s）；H是泵站的升程（m）；b是供水能量的不均匀因素；sigma;是电费（元/kw·h）；eta;是泵站效率（％）。
2.2.2约束条件
管道长度和基本回路的约束条件与公式（2），（3）和（4）相同。
（1）水头限制
（2）非负约束
3基于二次正交圆周旋转回归设计的最优流量分配模型
正交回归实验设计[13-14]是一种将线性回归分析与正交实验设计相结合的方法。根据正交实验设计的特点，将实验设计合理安排在正交表上，根据实验目的和计划，寻求最佳因子水平组合。在整个给定区域，根据实验获得的数据建立因子与指标之间的回归方程。该方法实验量少，计算简单，回归方程精度高。除了一般正交回归设计的特征外，二次正交圆旋转回归设计的显着优点是，s维球面中的预测方差相等，从而消除了预测方差的方向性。
3.1基本管段流量
可以预先为管网中的每个基本回路确定管段流量，因为管网具有基本回路，所以具有这样的管段流量。根据管段流量，从节点的流量平衡方程中获得其他管段流量。s管段称为基本管段，其流量称为基本管段流量。
图1中有四个基本回路，q1，q2，q3和q4被确定为基本管段流量。然后可以从节点的流量平衡方程获得q5，q6，q7，q8，q9，q10，q11和q12。
3.2流量分布和回归方程
选择基本管段流量zj（j=1，2，...，s）作为实验设计因子，将每个流量分配的网络年成本作为指标。流量分配方案的数量如下：
其中m0是2s模型的全部或部分实验编号；s是基本管段的编号。
因子级编码的公式如下：
如果建立了因子级别的代码，则将的索引y的r回归分析更改为的索引y的r回归分析，回归方程如下：
是年度成本；，，和是回归系数。
根据基于循环网络最优设计线性规划模型的流量分配方案的年成本yt，使用回归计算建立多元回归方程。
4最优流量分配的二次规划模型
4.1异议功能
将式（13）代入式（14），去掉常数项，得到目标函数：
其中Z是目标函数；，和是系数。
4.2约束条件
4.2.1基本管流量的约束上下限
4.2.2节段最小流量的约束
根据最小直径和流速下限（0.6m/s），可以获得最大的管段流速。
Pumpstation泵站;Nodedischarge节点放电；Pipesegmentlength管段长度
图2.带有泵站的管网
表1.年度成本系数F
除基本管段外，其余的管段流量约束如下：
其中是剩余管段流量（m3/s），它是通过计算节点流量平衡方程在基本管段流量的基础上获得的；k是其余管段的序列号；P是管段总和。
在上述优化数学模型中，目标函数是二次多项式，约束条件是线性的，因此这是二次规划优化模型。
5应用
管网如图2所示，基本数据来自文献实例[15]，年成本按以下公式确定。
供水区地势平坦，各节点地面高程为零，井水面高程为零。所需的节点头为20m。根据等式（19），确定每个标准直径的年度成本系数（表1）。
5.1流量分配
在管网（图2）中，选择q1（z1）和q2（z2）作为基本段流量，并确定其上限和下限（表2）。从等式（11），（12）和（13）获得因子水平代码。
根据表2，确定每个基本管段流量分配表，其余管段流量从节点流量平衡方程获得。流量分布的表如表3所示。在表3中，一些流量为负值，表明流量与原始假设方向相反。
表2.因子级别代码
表3.流量分配规律
表4.每种规律的年度成本
表5.最佳流量分配
表6.最佳设计结果和可用的管径尺寸
|
i |
可用管径 |
最佳设计结果 |
|
|
尺寸（米） |
直径（米） |
长度（米） |
|
|
1 |
0.45,0.4,0.35,0.3 |
0.4/0.35 |
1190/10 |
|
2 |
0.45,0.4,0.35,0.3,0.25 |
0.35/0.3 |
440/360 |
|
3 |
0.1 |
0.1 |
1000 |
|
4 |
0.2,0.15,0.1 |
0.1 |
1200 |
|
5 |
0.3,0.25,0.2,0.15 |
0.15 |
800 |
5.2回归方程
根据流量分配的规律，每种分配的年度成本是使用抽水式循环分配网络的LP模型确定的（表4）。
根据表4，可以获得回归系数。回归方程如式（20）所示，其中回归系数为0.9832，表明相关性非常高。
5.3最佳流量分配
异议函数是根据等式（15），（20）和表2（减去常数项）建立的。
基本管段流量的上下限限制如下：
根据等式（17），管段最小流量为0.005m3/s，其余管段最小流量约束如下：
根据式（22）和（23），
可以通过采用MATLAB[16]获得上述二次规划模型的解，即=0.1729m3/s，=0.1221m3/s。最佳流量分配方案如表5所示。
5.4给水管网优化设计
根据水的最佳流量分布规律（表6），确定可用的管道直径尺寸（表6）。配水网优化设计的LP模型可以得到配水网的优化设计，其中包括21个决策变量（20个管长变量和1个抽水升程变量）和10个约束条件（5个管长）的约束，3个头部压力约束和2个基本回路约束。最佳设计结果如表6所示。抽水扬程28.564m，网络年费用为9.38万元。
主要实例的年度成本为10.16万元。在此示例中，年度成本节省了7.7％。
6.结论
提出了一种新的优化设计的环状分配网络方法，该方法综合考虑了流量分配，管道尺寸，抽水量等。很好的地解决了最佳设计得问题。
在确定流量分布时，提出了基本管段和基本管段流量的概念，同时，利用二次正交旋转回归设计获得了流量分布的规律，计算简单，相关性高。年成本与流量分布之间的关系最好在已建立的回归方程中反映出来。也就是说，网络中基本管段流量的二次函数为最优分配流量二次规划模型的建立奠定了基础。
在环形分配网优化设计的LP模型中，可通过可用的管径尺寸来减少
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