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悬索桥的初步分析
作者：Gregor P. Wollmann 美国土木工程师协会成员
摘要
本文综述了基于挠度理论的悬索桥分析基本方程的推导过程。针对这些方程在商业可用性数学分析程序以及电子表格数据程序较简单的分析案例中的运用提供了一种实际可行的解决方法。该方法利用悬梁和受拉力作用梁的类比，对适用于悬索桥分析的荷载工况提供了一张带有关于受拉力作用梁的相关问题的分析解决方案的表格。本文所提方法的前期展示，已扩展到了解决桥塔刚度效应以及刚性梁的连续性效应之中。
引言
在美国，悬索桥当下正在经历一定程度上的复兴时期。加利福利亚州在建的卡奇尼兹大桥，正在进行最终设计的东湾大桥，华盛顿一座平行于塔科马大桥的桥梁方案设计也已经基本成型，在其他州，一些正在进行的桥型研究中，悬索桥也正被纳入设计的考虑范畴；此外，美国悬索桥的老化问题以及其在用途上的变化已经使悬索桥的改型和修缮显得很有必要。
现代悬索桥通常是在带有基于有限元公式的非线性分析功能的电脑程序下进行分析的。这样的分析模型可能会含有成千上万个自由度。比如，一个带有9780个自由度的全桥有限元模型被设计发展为了横跨丹麦大贝尔特海峡的东大桥的最终设计。显然，我们需要更为简单的模型来帮助设计者理解结构在一种非有限元分析提供方式下的行为，这些模型对于初步设计以及更为复杂的模型的独立检查是有益的。
本文对基于挠度理论的悬索桥分析基本方程的推导过程进行了回顾，一个实际有效的解决方法在其中也有所呈现。这个方法虽不适合于手算，在数学分析程序或计算机电子表格数据程序较简单的分析案例中却能够得以轻松运用。本文中的推导过程采取了Petersen (1993)，Rubin 和 Vogel (1982)等人的分析演示。然而，该方法已经被扩展到能够覆盖需要考虑弯曲桥塔刚度的情况。该方法不同于美国传统文献(Steinman 1929,1934; Timoshenko and Young 1965)中所展示的方法，同时充分利用了悬梁和受拉力作用梁的类比。本文也包含了一张带有关于受拉力作用梁的相关问题的分析解决方案的表格。最后，本文也呈现了一个成型的案例来解释这个方法。
加劲梁的基本方程
下述假设是为了推导出描述悬索加劲梁的微分方程所提出的：
1.恒载（包括自重和叠加恒载）是均匀分布的，并且只由悬索桥的主缆承担。
2.恒载作用下主缆的线型为抛物线形。
3.吊索是沿着主梁连续分布并且不能伸展的。
4.吊索最初是竖直向下的，并且在负荷状态下也是保持竖直向下的。
5.主梁的刚度对每一跨而言都是连续的。
根据假设2，借助于图1中展示的符号，主缆的几何图形在恒载作用下可由式(1a)–(1c)描述；
其中，y是主缆在恒载作用下的纵向位移；是主缆在恒载作用下的曲线各点的斜率；是主缆在恒载作用下的曲线的曲率；根据假设1和式（1c），主缆在恒载作用下的基本关系式为：
其中，是均布恒荷载，包括主缆的自重；是主缆的水平分力。图2中展示的是分别在恒载和活载作用下，作用在加劲梁和主缆上的荷载。从一个微小缆索单元的平衡条件可知，图二中描述负荷状态下悬索桥主缆的方程可表述如下：
其中是由活载和温度所引起的作用在缆索上的水平分力；p代表活载；s代表
由活载所引起的作用在竖直吊杆上的分布力；w代表活载作用下缆索的挠度，按照假设3可知其等于主梁的挠度；代表活在作用下加劲梁的曲率；重新整理式（4）可得如下关于吊索上的作用力表达式：
根据图2（b）中显示的荷载，按照假设5，描述加劲梁刚度的带有连续梁刚度值EI的微分方程可表述为：
其中，是主梁挠度的四阶导数；将式（2）和（5）带入式（6）并重新整理可得悬索桥加劲梁的基本方程如下：
等式（7）类似于描述梁在横向荷载作用下沿轴线受拉的情况，这个推论在图3中解释如下：
其中，N是轴向拉力；q代表横向荷载。 根据给定的边界条件，式（8）可以解出挠度w，随后可求出斜率，弯矩,剪力；图4列举出了在悬索桥分析过程中，简支梁在轴向拉力作用下以及其他荷载情况下的各解，这张表格改编自Petersen (1993)，Rubin 和Vogel(1982)。这些解是根据无穷小量坐标值以及所解出的。加劲梁的变形情况特点是由参数反映，该参数由下式给出：
主缆的变形协调方程
为了对图4中的公式进行估算，主缆作用力必须已知。确定该力的一个条件是由变形协调条件所提供的，即：由活载和温度引起的在主缆长度方向变化量的水平分量，等于主缆两端点在水平方向上的距离变化量。
其中，du为主缆长度方向变化量的水平分量的主缆微分单元，和为主缆两端点水平位移。关于du的表达式可以由主缆长度单元ds进一步推出，该单元的拉伸量为ε与ds的乘积，其相对于原位置转过的角度为Psi;，根据图1中所示的几何关系可得：
由于，式（11）可被简化为：
由于Psi;与dy/dx的乘积远远小于1，式12b可以通过消掉与的项进一步简化。式12a中Psi;与dy/dx有相同的大小量级等于，因此的相关项不能直接消掉。然而，图7结合theta;和特征值ε、Psi;描绘出了du/dx所示，精确结果和近似表达式之间几乎没有区别。因此，可以表示为：
从式13a和13b中消掉Psi;可得：
由活载和温度所引起的主缆伸长量由下式给出：
其中，为主缆刚度，T为温度沿悬索主缆的变化，热膨胀系数，结合（10），（14）和（15），以及、、，可得：
式（16）中被积函数的第一项可由下式近似计算：
将y用式子（1b）来代换，算出主缆变形协调方程的综合屈服效应：
其中,
基本方程的解
上文中所推导的基本方程的解和其运用将会如图8所示系统地进行演示。主塔的弯曲刚度由劲度系数为的塔尖水平弹簧所表示。同样地，锚块的刚度由劲度系数为的水平弹簧所表示，忽略锚块和主塔的竖向挠度。
由于主塔刚度的存在，由活载和温度所引起的主缆的水平荷载对每一跨而言都是不同的。恒载单独作用下的主缆水平荷载被假定为连续的。这是一种典型的情况，且能在合适的主缆几何形状选择以及在施工过程中释放主塔承担的作用力之下得以保证。在活载和温度变化作用下从点a到d的水平位移与主缆水平分力有关，通过下式建立关系：
对每一跨而言，将式（19）带入到（18a）后得到下述的关于未知力， 和的三个非线性方程组。需要注意的是，在这些方程之中，挠度w是一个未知主缆作用力引起的作用效应，因此不能代表一个额外独立的未知数。
如果忽略主塔刚度，则：
在这种情况下，变形协调方程（18a）必须写作所有从锚到另一端锚的主缆单元的总和，得出一个关于未知的水平主缆分力的独立方程：
注意，通过将（20a）-（20c）相加也能得到同样的结果，同时分母上带有的待定项在运算过程中消掉了。积分最好由数字进行表示的，比如，基于辛普森规则。由于图4中的函数是就无穷小量坐标来表示的，该积分需写成：
方程（20）和（22）是非线性的同时需用迭代法解出,用牛顿-拉富生迭代法得到式（22）的解的过程列举如下：
1假设一个的初始值，同时基于期望精度要求下的解选定的尺寸；
2.按照图4中列举的的方程，根据给定的值计算挠度，荷载工况的考虑包括应用活载和由式子给出的竖直向上的均布荷载
3.按照式（23）运用辛普森积分法计算积分；
4.运用式（24）和（22）对计算一个新的改进值。
其中，为的当前值；为的新值。
5.重复步骤2-4，直至的值在期望的精度之下趋于零。
然而，充分利用内嵌的商业可用性数学分析程序的算法优势，会使计算简单得多。例如，在主塔刚度可忽略的情况下，式（22）对整个系统的迭代解在商业可用性数学分析电子表格程序中是容易求得（比如，通过使用微软Excel的目标搜索功能）。方程组（20）的解法可以运用数学辅助设计软件Mathcad中的“运算块”得到。Mathcad也包含了一个可以替代式（23）中所示的辛普森积分法的数值积分工具。
在主塔处连续的加劲梁的处理可以简易地包含到求解算法之中。尽管悬梁是高度非线性而且总的来说叠加原则是不可用的，但意识到以下这一点是非常重要的：如果相同的索力适用于所有的荷载工况，叠加每个单一的工况作用的结果是允许的。因此，标准的方法对于确定未知且连续的主塔力矩是可用的。加劲梁被视为铰接于主塔上的的，力偶X1和X2用于消除图9中由于外力作用下
去除铰引起的角度。 这就产生了如下方程组，该方程组对于给定值而言是线性的。
其中和为不确定连续性矩，是点b到点c之间的夹角，分别归于应用荷载,分别等于1。
工程实例
上述方法将在图10所示的工程实例中解疑解释说明。加劲梁在桥塔上是连续的，分析中也包括了主塔刚度的影响。端部的锚被假定为是刚性的，荷载包括一个沿桥梁全长的均布荷载和一个沿中跨左半部分的均布活载。而不是通过迭代解，这个实例是对是对以前计算机在未知主缆力已经被确定下运行的检查。这个工程实例实在Pentium III 550-MHz PC上使用Mathcad数学程序解出的，运行时间长达70秒。带有铰接刚性梁时运行时间为10秒。在Hg为常数的情况下，主缆的几何形状由下式定义：
主缆的弦角是：
从式18b可以推算出主缆参数为：
在式31中，假设水平主缆力分量在锚固长度和相邻边跨上是恒定的，则 中包含了短锚固长度和的影响。实际上，对于大多数悬索桥来说，总缆索的力在末端支座处是恒定的值。因此，水平索力分量对锚固长度和侧向跨径的影响是不同的。然而，由于锚固长度太短，上述简化所带来的误差非常小。在上一节讨论的迭代过程中，得到活载下的主缆力如下所示：
注意，由于分析了非对称荷载工况，两侧边跨的主缆力是不相等的。由式9可得加劲梁参数为：
在式7右手边由于水平索力分量的荷载项是：
为了确定连续支撑力矩，必须首先计算由于外部荷载以及力偶和导致的铰接系统的角度变化。铰接系统的末端旋转角在表2中列出。它们已经运用图4中带有斜率的公式求解出来了。求解线性方程组25的连续性支撑力矩如下：
表1分别列出了1/10 点处单个荷载工况下的主梁挠度值。这些挠度值是用图4中的公式进行估算的，也显示了这些荷载工况的叠加以及基于式23的数值积分。对式20的评估证实了式32中值是正确的。
图11和12显示了在活载作用下的加劲梁的变形形状和弯矩图（弯矩画在受拉一侧）。注意，由于假设1用于加劲梁的基本方程的推导，由于恒载的作用，这里没有弯矩。然而，弯曲力矩必须考虑到离散的吊杆空间，而不是在偏转理论推导过程中所假定的连续吊杆。吊杆的间距为15.33m，吊杆之间的附加弯矩如下所示：
结论
此文提出了一种基于偏转理论的悬索桥初步分析的实用方法，同时考虑了主塔和墩台刚度对加劲梁连续性的影响。由于系统的几何非线性和必要的迭代解，虽然仍然需要计算机来完成，但该方法已经可以相对容易地用数学分析程序或计算机电子表格程序执行求解。因此，对于提供更为复杂的有限元分析结果和初步设计的独立检查是非常有用的。该方法基于悬梁和受拉力作用梁的类比，该类比可以帮助设计者定性地看待结果。
参考文献
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