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列车和曲线铁路桥梁之间相互作用的三维动态分析研究
摘要：本文提出了一种新的列车与曲线桥之间的的车桥相互作用动态分析方案。其特征在于三维车辆动力学的公式以及车桥相互作用动力学方程的矩阵表达，使得方案具有通用性。分析结果表明，曲桥的径向和扭转的相互作用，往往是直桥所忽略的。具体地说，研究表明了当曲率和速度至少有一个量较大时，因为弯曲路径产生的离心力和偏向力控制着车桥系统的侧向动力。
关键词：车桥相互作用 高速铁路桥 曲线桥 混凝土桥梁
- 引言
为了满足日益增长的高标准运输需求，铁路网络正在全球扩张，特别是在中国。经过十年的新高铁建设和现有常规铁路线的改造，中国现在拥有了世界上最长的高速铁路（HSR）（图1[1]）。出于安全、舒适和减轻噪声污染的考虑，高铁的桥梁比例比传统铁路线要高[2]。 例如，北京至上海高铁线长1318公里，其中1059.4公里（全线的80.5％[3]）主要在高架桥上。此外，中国高铁列车的运营速度从350公里/小时（2011年）限制到300公里/小时（2013年）[4]。在铁路桥梁不断增加的情况下，列车运行的空前的速度提供了重新审视其动态交互作用的动力，以确保旅行期间的安全和舒适。
车桥相互作用的动态在近一个世纪的时间里吸引了研究人员的注意力[5]。随着该领域的成熟，标准车桥相互作用模型从移动力模型[6-10]转移到移动质量模型[11-14]，然后转移到簧上质量模型[15-18]。Auetal[16]比较了5种不同车型在斜拉桥上的影响，并指出移动力和移动质量模型往往低估了影响效应。在过去的几十年中，个性化、高计算的力量的出现满足了对桥梁和车辆的更复杂模型的考量。最近的研究，例如[3，19-32]，将车辆模拟为与弹簧连接的刚体（车身，转向架和轮组），以及代表悬架系统性能的缓冲罐。出于数值车桥相互作用分析的目的，必须用在整个几何模型的时域积分[10,23,33-36]或模态叠加方法捕捉到桥梁的响应[9,21,37-42]。或者，可以使用所谓的车桥相互作用元件，其（动态地）凝聚车辆和桥梁子系统（杨和林[33]）。杨和Yau[34]在考虑到车辆纵摇效应的基础上对车桥相互作用单元方法进行了改进，娄和曾[36]提出了一种考虑四轴10自由度车辆模型和双层悬架系统的类似单元。最近，Neves等人[43]提出了一种用于分析沿垂直方向的非线性车桥相互作用的直接方法。
大多数车桥相互作用研究仅在垂直方向上检查问题。因此，尽管有大量的车桥相互作用研究，但是作者们很少研究弯曲计划桥梁车桥相互作用 (如图2 [44])。特别是，杨等[45]对于单跨，简支，水平弯曲的梁承受成对的垂直和水平（离心）载荷的移动情况提出封闭解决方案。夏等研究了在弯曲的铁路线上运行的3D列车模型直梁的横向车桥相互作用动态.该研究采用与本文提出的不同方法，得出的结论是，在弯曲桥梁中，甚至在轮对的摆动运动的影响下，离心力主导横向动力[41]。该研究进一步认为，在弯曲桥梁的侧向车桥相互作用中没有观察到共振[41]，并将其数值结果与现场实验进行比较。
这项研究的主要目的是：（i）全球范围内不断扩大的传统和高铁网络，（ii）包含当代高铁线路的桥梁比例不断增加，（iii）列车运行空前的速度，以及（iv）缺乏已发表的对弯曲平面桥梁动态车桥相互作用的研究。 目前的研究部署了一个原始的和多功能的框架，用于模拟火车与弯曲的，平面内的铁路桥梁之间的相互作用动力学（图2）。
- 提出方法
为了避免对车桥相互作用问题进行临时处理，所提出的方法部署了一个矩阵公式，并产生了一组运动方程（方程（23）），这些方程是简洁且容易重现的。对于不同的桥梁和/或不同的车辆模型或车辆数量，人们只需要知道相同的矩阵方程，这将在后面的方程（23）中给出。
被检查的动力系统由车辆子系统和桥梁子系统组成。两个子系统通过车轮和导轨之间的接触力而联接。该研究模拟直线或弯曲的平面内（水平线），桥梁和有限元法（FEM），并将车辆模拟为多体装配。全局方程的解决方案同时提供桥梁和车辆的响应。全球（耦合车桥）系统的质量矩阵，刚度矩阵，阻尼矩阵和载荷向量随时间变化。本文考虑了自激励，如高程和轨道线的不平顺性，轮对的摆动运动，以及由于车轮的锥度导致的后续滚动旋转。该研究还考虑了相对于甲板截面剪切中心的轨道偏心率（偏移量）以及斜角的影响。假定所有变形保持较小并且线弹性理论适用。在数值上，所提出的框架是用MATLAB[46]实现的。
图1 2020年中国计划中的高速铁路网蓝图。预计2020年的总长度为5万公里。（来自Alancrh的图片CC [1]）
图2 中国兰乌线一条连续弯曲的规划中铁路桥（图片来自CRCC [44]）
2.1车辆模型
列车车辆被模拟为由多个组件组成的多体组件（图3（a））：（i）一个车身，（ii）两个转向架和（iii）每个车辆的四个轮对，它们都被认为是刚体。图3（a）给出了本研究中使用的典型27自由度（DOF），3D车辆模型[45]。车身，前后转向架分别配有五个自由度：纵向和横向位移，偏航，滚动和俯仰旋转（图3（b））。对于每个轮组，只设定三个自由度：纵向和横向位移以及滚动回转。
图3 （a）所采用的车辆模型和所考虑的接触力lambda;N，lambda;T，（b）车辆的符号惯例，（c）与车轮接触的梁元件和（d）弯曲梁的局部和全局坐标系
在[47]之后，该研究采用三个参考系统来制定车辆的运动方程：惯性（空间固定）系统O-XYZ，移动轨迹系统Oacute;-XtiYtiZti和体外固定系统Oir-XirYirZir（图4）。
移动轨迹系统Oacute;-XtiYtiZti的定义只需要一个时间相关的坐标，弧长si（图4）。然后用三个欧拉角分别定义轨迹系统的方向：psi;ti（摇头），phi;ti（侧滚）和theta;ti（点头）分别围绕三个轴Yti，Xti和Zti（图4 [47]）。所有三个欧拉角都是弧长si的已知函数。轨迹系统Oacute;Xti的纵向方向与其原点O0处的曲线相切（图4）。
刚体系统Oir-XirYirZir沿着与轨迹系统的轨迹运动的纵向切线，其起点固定在身体的质心上。刚体在轨迹坐标系中的运动用五个时间相关坐标来描述：两个平移yir（沉浮）和zir（横移），以及分别围绕三个轴Yti，Xti和Zti旋转的psi;ti（摇头），phi;ti（侧滚）和theta;ti（点头）（图4）
牛顿 - 欧拉运动方程可以用广义轨迹坐标来描述车辆的运动[47]：
(1)
其中上标（）V表示车辆子系统，并且是轨迹系统中的广义加速度矢量。在本文中，上点表示时间导数。具有27个自由度的单个车辆的分布矢量是：
（2）
上标c，t，w分别表示车体转向架和轮组。y和z表示垂直和侧向位移; psi;，phi;和theta;是摇头，侧滚和点头旋转（图3（b））。是质量矩阵; 是外部力量的载体; 是离心力和科里奥利力的矢量--方程（3）中的第一项和第二项。为了说明方程（1）的细节，下式考虑了车辆的特定刚性部件，例如车身（用上标c表示）[47]：
（3）
图4 使用的三个坐标系，改编自[47]。
在整篇文章中，上标T表示矩阵的转置，上标符号表示特定数量是在人体固定系统中定义的。是角速度矢量，m是质量，是围绕每个刚体的主轴的惯性张量（在人体固定系统中定义的）。对于车身我们有：
（4）
L和是速度变换矩阵，对应[47]中的平移和旋转自由度。在曲线桥梁的情况下，L和都随时间变化。FG是重力矢量; FK是弹性力的矢量; FD是阻尼力的矢量。和是包含在绝对线速度和绝对角速度矢量的时间微分过程中产生的二次速度项在内的附加向量。
车辆，转向架和轮对的其余部件的方程与方程（3）类似。将所有刚体部件（车体，转向架和轮对）的方程组聚合在一起，并用它们的矩阵表达式从方程式3中取代弹性力矢量和阻尼力矢量。车辆子系统的运动方程（图3（a））可以写成：
（5）
KV和CV是[45]中给出的车辆的刚度和阻尼矩阵（图3（a））。是（2）中给出的车辆的位移矢量，FV是力矢量：
（6）
和分别是法向和切向接触力矢量（在2.3节讨论），和是相应接触力的方向矩阵：
(7)
整篇文章中，下标N和T分别表示接触的法向和切线方向。矩阵和中的唯一非零入口对应于车辆的车轮（上标）。对于车辆的上部，即车体和转向架，（上标），相关的子矩阵和为零。对于单辆车（如图3（a）中的车辆）,其中术语表示是具有12行和4列的实数矩阵。
对于单个轮对，子矩阵和在式（7）中为：
（8）
i = 1-4对应于四个轮副，la是半轨距，rw为轮半径
2.2车辆模型
该桥采用（3D）Euler-Bernoulli梁单元建模，使用线性和立方（Hermitian）形函数[49]。每个节点考虑六个自由度：X，Y和Z轴的三个轴和相对于X，Y和Z轴的三个旋转轴。
组装并转换成全局系统后，可获得整个桥的质量矩阵和刚度矩阵,是Rayleigh阻尼矩阵，假设前两种模式的阻尼比为0.02[50]。该桥的运动方程可写为：
(9)
其中是桥位移矢量，是作用在桥上的荷载矢量。和是桥梁子系统接触力的方向矩阵。它们包含轴向和扭转自由度的线性形状函数和弯曲自由度的立方（埃尔米特）形状函数（参见方程（17））。 同样和矩阵中唯一非零的入口对应于与车轮接触的桥接元件（即轨道的相应部分）的自由度（图3（c））。
2.3车桥相互作用
耦合车桥系统的运动方程可写为：
(10)
其中全局质量矩阵M，全局刚度矩阵K和全局阻尼矩阵C是通过收集两个单独子系统的相关矩阵而创建的：
(11)
整个系统的方向矩阵和，位移矢量u和力矢量F是以类似的方式构建的：
(12)
该方案适通过调整方程（12）中的相关矩阵，可用于不同的桥梁和车辆模型，或车辆的数量。例如：
●对于具有nV DOF（例如nV = 27）和8个车轮的单个车辆以及具有nB DOF的单个车辆：
(13)
例如，表示矩阵是
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