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有不确定参数的风敏感结构的概率评估
摘要
Davenport等学者的研究为评估风致结构响应的简单阵风因子方法提供了基础。该方法基于可以由其相应的平均最大响应表示的最大响应。但是，风的不确定性以及材料和几何形状变量的不确定性不仅会影响平均最大响应，而且会影响其可变性。通过考虑这些不确定性，可以从最大响应的无条件概率分布中获得最大响应的统计估计。可替代地，它们可以基于一定条件下的平均最大响应直接从不确定性传播分析中获得。前者是准确的，而后者是一个近似值。这种近似的充分性及其对结构可靠性的影响已经被研究过了。
这项研究报告的结果看起来证明了使用条件最大响应等于平均最大响应足以进行不确定性传播分析是可行的。由可靠性分析的结果还表明，对具有不确定性的结构参数（例如振动的基本周期和阻尼比）的考虑对于正常使用极限状态非常重要，而对于承载力极限状态，因为该结构的响应呈线性，这些不确定性可以忽略不计。
关键词：不确定性的影响；可靠性；点状结构；线状结构
- 背景与简介
结构对风荷载的响应通常表示为均值和波动分量的叠加。后者包括背景响应和共振响应。Davenport [1-4]给出了风荷载对于结构响应的研究。这些研究为使用简单而可靠的方法（即阵风因子法）评估风致结构响应提供了基础。Davenport [3]给出的结论之一是，对于许多问题，假设最大响应等于平均最大响应并忽略其可变性可能就已经足够了。这是因为对于给定的速度压力，振动的基本频率（或周期）和阻尼比而言，最大瞬时响应的概率密度函数非常小。基于阵风因子方法，Solari [5]针对“点状”和“线状”结构开发了适于实际使用的基于经验的封闭形式的简单解决方案。封闭形式解决方案在使用中简化了具有不确定参数结构的风致响应的概率分析。
评估概率响应和结构安全性的常用概率方法包括泰勒级数展开法[6]，点估计法 [7,8]，一阶第二矩法（FOSM），模拟技术和进阶可靠性方法，例如一阶可靠性方法（FORM），二阶可靠性方法（SORM）[9]和渐近法[10]。在[11,12]中基本可以找到这些方法在风敏感结构中的应用。除了点估计方法和模拟技术外，这些方法还需要评估响应函数或极限状态函数对于随机变量的导数。当仅了解关于随机变量（例如均值和标准差）的不完整信息时，进阶可靠性方法和模拟技术将不适用，因为这些方法需要随机变量的概率分布。如果可以获得有关概率分布的信息，则使用泰勒级数展开法和基于前几个时间点的估计方法可提供响应统计信息的近似估计。
Solari [13]评估了振动基频和阻尼比的不确定性对最大响应概率分布的影响。对于不确定性的影响的分析，可以使用泰勒级数展开法和简单的模拟技术。他的结果表明，和的不确定性可能会扩展和移动最大响应的概率密度函数，并且忽略和的不确定性导致的变化而获得的最大响应可能不再能代表结构的响应。而且如果风压已知，这可能非常重要。但是，影响结构响应和结构可靠性的最重要的随机变量之一是风压或剪切速度，因此通过将剪切速度的不确定性包括在内来完善这项研究。此外，还需要研究这些不确定参数对结构可靠性的影响及其在规范化设计中的意义。本研究中将考虑这些问题。对于不确定性影响的分析，将使用简单的模拟技术。而可靠性分析将使用FORM进行。
- 风致响应
风致最大响应
令表示结构对风荷载的响应，例如挠度，弯矩或应力。的平均值和标准差分别由和表示。令表示在周期上的最大响应。根据Davenport [1-4]，的概率分布函数可表示为：
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（1） |
其中表示预期的超越0的概率由下式给出
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（2） |
是的时间导数的标准差。该概率分布可以通过Gumbel分布近似得出：
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（3） |
的相应平均值和标准差分别由和表示为：
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（4） |
和
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（5） |
其中，是的变异系数（cov），然后是，，称为峰值因子。的概率密度函数通过微分关于 的公式（3）得到。
对平均风响应或时间平均响应的评估，，则比较简单。较早定义的标准差和，取决于风波动的特征（换句话说，即风波动的频谱表示）和结构参数，比如基频（或周期）和阻尼比。可以在[1,2,4,5,14–17]中找到用于评估风致响应的公式。
为了使本研究集中于具有不确定结构参数的风敏感结构的不确定性影响分析和可靠性分析，接下来将仅考虑顺风响应。此外，在[5]中给出了易于使用的方程式以用于估计点状和线状结构的顺风响应。附录中给出了这些方程式，以方便参考。
参数不确定时的风致最大响应
如前一节所述，，，的最大响应可以基于其平均值和标准差来表示。和均取决于随机变量的向量值，该变量除其他变量外还包括剪切速度，压力系数，基本振动周期，（或振动频率）和阻尼比。给定的值，可以根据公式（4），（5）估算，更具体的在表5可见。根据等式由于它们受的影响，因此它们表示的条件均值和标准差。在下面，表示公式（4）中的符号（或在表5中表示位移，表示加速度）这是为了强调它取决于的值。类似地，将表示公式（5）中的符号（或在表5中表示位移，表示加速度）。
Davenport [3]指出，以为条件的的概率密度函数（有关相应的概率分布函数， 请参见公式（3））非常狭窄，建议假定最大响应等于平均最大响应可能就足够了，而可变性可以忽略。这意味着可以使用通过不确定影响分析直接获得的统计量。Solari [13]指出，和中的不确定性可能会放大并改变最大响应的概率分布，并且使用来表示结构响应可能会变得不可行。但是，如果考虑剪切速度和（或）压力系数的不确定性，使用是否足以进行不确定性影响分析和可靠性评估还不清楚。这将在下面讨论。
首先，考虑的最大响应，表示为，其概率分布函数取决于公式（3）给出的。由于的不确定性影响的分布参数，因此的无条件概率分布可以表示为：
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（6） |
其中表示由公式（3）给出的分布函数，用来表示值对其有影响。的概率密度函数由下式给出：
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（7） |
其中表示概率密度函数对应概率分布函数。
让表示数学期望。由于的均值等于，等于公式（4）给出的，因此，可以由下式得出：
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（8） |
还可以得到的标准差，由下式给出：
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（9） |
现在，考虑到的最大响应可以由公式（4）给出的平均最大响应近似。令表示该近似响应。我们有：
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（10） |
通过考虑的不确定性，的平均值和的标准差可以表示为：
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（11） |
以及
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（12） |
比较公式（8）和（11）可以发现和是相同的。如公式（9）和（12）所示，和的方差不同。相差的大小等于。换句话说，通过假设最大响应的平均值可以近似等于平均最大响应而忽略可变性，而减少的幅度取决于。
公式（8），（9）和（12）表示n维积分，其中n是随机变量中的数字，没有简单的方程可用于评估。数值积分方法和模拟技术可用于其评估。或者，可以使用泰勒级数展开法或点估计法[7,8,18]近似评估它们。出于准确性的目的，本研究将考虑使用简单的模拟技术进行数值分析。
值得注意的是，如果考虑诸如建模误差的随机变量，则它也可以包括在中，并且上述公式仍然适用。
可靠性分析
为了简单同时不失一般性，考虑将最大风荷载效应L表示为最大响应乘以确定性变换因子。还应考虑除以结构的总承载能力（或允许极限）的结果可以用独立于的单个随机变量R表示。基于这些考虑，极限状态函数g可以表示为。由于为非负数，因此使用此极限状态可靠性分析的功能等同于正常使用极限状态的功能。因此，失效概率可以表示为：
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（13） |
特别的，如果风致响应由表示，则将公式（7）代入公式（13）得出：
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（14） |
表示的域。通过引入一个辅助标准正态变量z，其概率密度函数由[19] 表示。则公式（14）可以重写为：
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（15） |
其中，是正常分配函数的反函数。该积分方程是一种可以使用FORM进行评估的形式。在这种情况下，其中称为从FORM确定的可靠性指标。
如果风响应由表示，则公式（13）可以写成：
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（16） |
在这种情况下，
。
同样，可以使用FORM来评估此等式中所示的积分。
值得注意的是，如果R与结构的抗力有关，则极限状态函数代表承载力极限状态函数。如果R与不可抗位移或加速度极限有关，则极限状态函数表示正常使用极限状态函数，并且上述公式仍然适用，只是消除了R范围内的积分。此外，请注意，尽管有人可能有兴趣评估的概率分布参数中不确定性的影响但这不在本文的研究范围之内，不过多级嵌套可靠性研究方法可以使用[18]。
分析结果
对于不确定性影响的分析，将极端风速（即剪切速度）作为随机变量引入。振动的基本周期和阻尼比被视为不确定参数。不考虑这些随机变量的分布参数和(或)概率分布类型的不确定性。
本文使用了几种概率分布类型和极值分析方法来研究极值风速。关于它们的可行性的讨论可以在[例如20–26]中找到。由于在代码校准分析中通常假定年最大风速为 Gumbel分布[20,21]，因此采用了这种分布类型。年度最大风速的cov值因位置而异，文献调查表明，这些值的范围大概是0.05到0.4。在[27-29]中对结构的基本振动周期和阻尼比进行了不确定性分析。哈维兰 [27]提出，可以将测得的数据与自然振动周期的预测之比建模为对数正态分布或伽玛变量，其cov值约为0.2至0.4。研究还表明，测得的阻尼与预测的阻尼比之比也可以建模为对数正态分布或伽玛变量，cov值在0.5到0.8之间。应该注意的是，阻尼比可能随振动幅度而变化[28,29]。但是，这方面的考虑超出了本研究的范围。
对于下面给出的数值分析，将考虑上述随机变量的cov值范围。应该强调的是，对于位于特定位置的特定结构，，和的cov值被认为是在上述范围内的固定值。实际的或将被认为等于其相应的预测值，并忽略可能的测量误差。假定振动的基本周期和阻尼比为对数正态分布。剪切速度被认为是符合Gumbel分布的。两种结构，一种是点状结构，另一种是线状结构，其参数见表1并源自[5]，并对这两种结构进行灵敏度分析。对于这些结构的分析方法与[5]中采用的分析方法是一致的。
响应的均值和变异系数
考虑点状结构。如果的不确定性（由，和形成）被忽略，最大位移和加速度直接由表5中的公式获得，则得出的结果分别为1.0067（m）和6.1907（）。
令表示通过考虑的不确定性而获得的平均最大响应与忽略了的不确定性的平均最大响应。也就是说，标准化响应由下式给出：
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（17） |
其中表示的平均值。如果考虑位移响应，则用表示；如果考虑加速度响应，则用表示。
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表格一 |
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风和结构变量[5] |
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