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脆性材料裂纹萌生与扩展数值模拟耦合准则的有限元实现
摘要：本文所提出的模拟脆性材料二维断裂过程的数值模型是基于有限断裂力学一般框架下的耦合准则（CC）所建立的。本文指出要预测固体断裂中裂纹的产生，既要满足能量条件，又要满足应力条件。在正确绘制潜在裂纹路径和最小化所有预测裂纹路径的势能方面，发展了特殊的数值方法。这项工作的创新之处在于能够描述一个或多个裂纹的萌生和扩展过程，而且可以解释缺陷的统计分布。通过几个数值算例验证了所提方法的有效性和精确度，这些算例的解在文献中是众所周知的或研究得很好的。
1.引言
固体断裂的数值预测是力学和计算科学中一个经典的挑战。在过去的二十年里，开发高效和精确的数值模型来模拟断裂运行得到了广泛的研究。尽管在预测裂纹扩展方面已有大量的理论和数值研究，但预测裂纹萌生和扩展的数值模型却很少。
在这些模型之中，目前最受欢迎且最高效的是粘聚区模型（CZM）[1,2]，已经用这个框架对各种各样的现象进行了分析。对于涉及CZM的问题，以有限元法为例的数值格式已经成为主要的解决方法。裂纹扩展-裂纹成核可以通过引入考虑剪切和拉伸脱粘的粘聚面[3,4]来模拟。这种方式的一个优点是，它不再需要长度和方向难以确定的初始裂纹，因此可以很容易地分析裂纹成核。一般来说，粘聚单元可以插入到所有的本体单元之间，这样粘聚模型就可以自动地选择裂纹路径。但是，如果重新划分有限元网格，并且在所有单元之间不断添加粘聚面时，不能期望它总是收敛的，同时还会产生巨大的计算量。实际上，粘结单元只在预定义的裂纹路径处插入，以避免这种数值复杂性。这些观点在文献[5,6]中都有很好的记载。
除了CZM之外，所谓的相场模型为预测裂纹的萌生和扩展提供了另一种可能性。Francfort和Marigo[7]提出了一个所谓的损伤梯度模型，在该模型中，当规定的长度参数趋于零时，损伤区会聚为裂纹。这为解决复杂的开裂问题提供了有效的算法[8,9]。近年来，相场模型在模拟脆性裂纹的萌生和扩展方面得到了广泛的应用。然而，人们也提出了担忧。结果表明，荷载-位移曲线在很大程度上取决于决定分布断裂区宽度的内部长度尺寸l和引入的退化函数[10,11]。一旦参数，即临界能量释放率和l根据所考虑的材料指定，并且给定网格密度，就没有指定临界应力[12]的空间了。在研究尖锐V形缺口根部裂纹的过程中，Leguillon[13]注意到了单一常规断裂准则即Griffith能量判据或应力判据是不适用的，经常出现自相矛盾的预测。由此得出的结论是，当断裂发生时，这两个判据是同时发生的，即使其中一条常常隐藏另一条。这两个条件都是必要条件，它们共同构成了一个充分条件。将此耦合准则（CC）应用于V型缺口根部裂纹扩展的预测，与实验结果十分吻合。此后，CC在脆性或准脆性材料的断裂预测中得到越来越广泛的应用。大量的断裂案例都用到了这个准则[14-19]进行研究。
如果要通过大量的实际结构分析来验证该准则的精度和有效性，那么这些研究通常是通过特定的分解技术（如渐进分析或局部有限元建模）进行的。因此，我们认为将该准则转化为数值程序是有用且必要的，以便于能够处理更复杂的断裂问题，这是当前工作的主要动力。
在此，我们为开发能自动预测裂纹成核位置和下一条路径的算法做了各种数值努力。通过这些努力，CC被成功地应用到有限元程序中，利用该程序可以很容易地模拟脆性材料的二维断裂。此外，为了评估所提出的数值模型的有效性，我们对几个典型的断裂问题进行了研究，并将数值结果与文献中的一些知名解进行了对比，结果令人十分满意。
2.裂缝数值模型的描述
2.1耦合准则
耦合标准(CC)在文献中被广泛提出(参见Weissgraeber等人的综述论文[20])。在这里，我们只做一个简要的概述。CC基于有限断裂力学（FFM），其中Griffith准则是以增量形式编写的。
（1）
其中 是势能的变化，是新产生的裂纹面（在2D框架内，t是被考虑物体的厚度，是裂纹增量长度），是所谓的增量能量释放率，是代表材料断裂韧性的临界值。这个判据是不充分的，因为它依赖于新创建的表面(到目前为止是未知的)。为了弥补这一缺点，必须增加应力条件。对于脆性材料，最大主应力标准是一个合适的候选标准：
（2）
其中和分别是材料的最大主应力和极限应力。在平面弹性框架内，Leguillon[13]指出，当且仅当满足了应力和能量条件时，才会产生新的裂纹，即沿新产生的裂纹路径的所有点，换言之在整个上，都满足应力准则，并且相应的裂纹路径满足Griffith准则。
CC的主要优点之一是能够同时预测裂纹的萌生和扩展，实际上，Leguillon[13]的渐进展开分析表明，裂纹萌生时的外加应力可以表示为：
（3）
其中（lt;1）是应力集中的奇异性指数（例如在V型切口的情况下），（，）是比例系数。很明显，这个公式在有裂纹（=0.5）的情况下符合Griffith准则，并且与加强边（=1）的强度准则是一致的。
CC在抽象上是清晰的，在具象上是有说服力的。它应用于不同的学术或工程断裂问题时，显示出显著的高效性和准确性。然而，这些数据并不总是适用于复杂结构。因此，在该准则的数值实施中的第一个任务是确定裂纹产生的轨迹。为此，我们采用了一些简单但在物理上合理的假设。在下文中，我们将该准则实施过程中的数值细节用一个有限元程序来表示。模拟中采用了三结点的线性三角形单元，有几个原因促使我们使用这样一个简单的单元。首先，所采用的用单元消元法表示裂纹扩展的过程需要很强的网格单元，这样便于使用最简单但计算量大的有限元消元。其次，恒应力有限元的使用可以简单地实现第2.4节中提出的裂纹路径预测过程。最后，由于解的不光滑性，在弹性奇点附近增加插值次数是无用的。
2.2一般计算注意事项
在所提出的数值模型中，外部载荷以增量的方式施加。根据CC，断裂的必要条件之一是应力准则必须沿着假定的裂纹路径全部满足。因此，我们应该首先找出的所有区域，每个区域包含且仅包含的一个局部极大值。我们进一步假设在每个这样的区域中只有一个裂纹产生。如果没有检测到这样的区域，则施加的载荷将递增。
裂纹可能从第一主应力局部最大的点开始，并沿着垂直于第一主应力方向的方向扩展。在所有这些潜在的裂纹中，真正的裂纹是使增量能量释放率最大的组合。这个假设是断裂力学中不考虑应力准则下的经典假设[21]。此外，在FFM的框架下，Mantic[22]将这一假设数学地表述为最小化问题。所有这些假设都允许建立一个稳健的计算算法来评估裂纹的萌生和进一步扩展。
2.3潜在新裂缝产生的位置
根据上述一般考虑，第一个任务是找出的区域，每个区域包含给定规定负载下的局部最大值。为此，我们反转的符号，使局部最大值变为局部最小值。然后，我们使用所谓的分水岭漫灌技术技术来寻找这些地带。其基本思想在于将应力分布视为一个地形表面，并在其起伏的每个局部最小值中放置一个水源。接下来，从源头逐渐淹没整个地貌，并在不同水源汇合的地方设置水坝。图1显示了一维曲面的漫灌过程，算法是根据该过程建立的[23]。给定最小值周围区域中的所有元素都构成与该最小值相关联的集水流域。流域是分隔相邻集水区的区域。水到达的第一个点是处于最大应力值的部位，即最小点，然后所有部位逐渐达到的应力水平。
图1.分水岭漫灌过程(a)：将水源放置在最小值的点上，增加水位可以找到相邻元素，然后创建第一个集水池；(b)通过增加水位，找到另一个可区分的局部最小值，从中创建第二个集水池；(c)当第一个和第二个集水池相遇时，放置一座大坝；(d)继续这个过程，直到允许找到包含每个集水池的局部最小值的不同集水区盆地。
集水区使用整数值进行标记。每个集水盆地包含一个局部最大值，从该局部最大值可以产生潜在的裂缝。
通常情况下，经典的分流技术往往会导致过度分割的现象，即由于嘈杂的数值结果而出现过多的汇流流域。文献中存在许多去噪技术来减少这种过度分割[24]。在这项工作中，我们只是使用简单的中值滤波技术对地形表面进行预处理。中值滤波的主要思想是逐个单元遍布应力分布图，用相邻单元的中值代替单元的值。在应力评估足够精确的情况下，这种简单的技术足以有效地减少过分割现象。
该算法允许提取N个区域Sn，每个区域都包含第一主应力的局部最大值，就像一个“山峰”。
2.4绘制潜在的裂纹路径
在每个区域Sn中都可能产生潜在的裂纹。根据最大主应力准则，新产生的裂纹方向与第一主应力方向垂直。这一准则允许从每个“山峰”绘制主应力轨迹。以下算法用于确定裂缝路径：
1.从Sn中“山峰”对应的点（，）开始，先画出预测裂纹路径的右支。为此，我们计算坐标，其中是第一主应力轨迹在点（，）处的夹角。如有必要，使点（，）位于相邻元素中；
2.如果点（，）不在Sn内，则转到步骤5。否则从该点起，根据第一主应力轨迹在该点的角度，计算，和，，如有必要，加减使得点（，）和点（，）位于相邻元素中；
3.如果，令，否则令；
4.令然后进入第二步直到（，）不再位于Sn之中；
5.从点（，）出发，按照上述算法绘制预测裂纹路径的左分支。
对于每个区Sn，绘制了一个潜在的裂纹路径。同时，通过累计可以得到裂纹路径的长度。
2.5利用最大能量释放率生成裂纹
显然，即使通过使用上述算法可以绘制所有预测的裂纹路径，它们也可能不会全部被
激活成为真正的裂纹。它们中哪些成为真正的裂纹取决于能量准则。
为了找到最大能量释放率，应该考虑裂缝扩展组合的所有可能性。如果我们预测了N个潜在的裂纹路径，并且每个路径都可能变成实际的裂纹，那么个组合就有可能成为真正的裂纹。因此，必须得到个有限元解：一个用于裂纹扩展之前的结构，-1个用于具有所有可能的裂纹扩展组合的结构。使产生最大值且通过Griffith准则的将成为真正的裂纹。
对于新裂纹的产生，在有限元框架内有不同的方法。我们认为，上面提出的算法允许以下技巧：
1.移除沿预测裂纹路径的元素[25]；
2.通过创造一个新的裂纹来消除预测裂纹附近的元素[26]；
3.沿预测裂纹路径引入不连续性[27]。
显然，在所有这些方法中，第一种方法是最简单的。正因为如此，在本工作中使用了它。在实际应用中，我们用预测的裂纹路径找出所有的截取单元，然后将它们从有限元模型中移除。反过来，这显然需要一个足够精细的网格来尽可能接近真实的裂缝。
2.6整体算法
为了避免复杂的回跳分析，并保证解的存在性，在考虑结构的边界上施加位移，直到达到一定的水平，以递增的方式施加外部荷载。通过使用上述技术，我们可以构造如下整体算法：
1.在每个加载步骤，进行第一次有限元计算，以确定结构中的应力分布和总势能 ；
2.根据得到的应力分布，通过使用分水岭漫灌过程，我们首先找到了N个区域Sn，在这些区域Sn中，并包含每个区域的局部最大值；
3.如果N=0，则增加外部负载并转到步骤1；
4.否则，在每个这样的区域Sn中，按照主应力轨迹绘制潜在的裂纹路径；
5.通过激活或不激活每条潜在裂纹路径，对所有可能的组合进行次有限元计算，得到相应的总势能和裂纹长度增量，对于每种组合，我们计算增量能量释放率
；
6.考虑具有最大增量能量释放率的裂纹路径。如果标准能量最大值完全实现，则通过消除沿预测裂缝路径的所有元素来创建相应的新裂缝。转到步骤1；
7.转到步骤1时不增加外部荷载。
3.验证和数值算例
为了验证所提出的数值断裂模型，我们对文献中已知或研究过的一些特殊结构进行了数值模拟。通过这些实例，讨论了模型的效率和精度，特别是网格无关性和多重开裂过程的建模能力。
3.1板上孔洞的裂纹萌生
早期的一项实验工作[28]表明，钻孔板与孔的大小密切相关。结果证明，这种尺寸效应可以通过耦合准则来捕捉。在这项工作中，我们将使用目前的数值工具评估试件断裂时的远程荷载，并将其与理论预测进行比较。理论预测是从孔边界产生理想裂纹，并根据CC计算其精确的应力强度因子。由于实验中使用的材料聚甲基丙烯酸甲酯(PMMA)是一种非常脆的材料，裂纹的萌生会立即导致试件的结构破坏。因此，裂纹起始处的远距离荷载被认为是钻孔板的强度。该材料的力学性能为：杨氏模量E=3000 MPa，泊松比v=0.36，极限拉应力=72 MPa，临界能量释放率=290J/msup2;，试件截面积为10~30mmsup2;。利用本文的数值方法，对含不同尺寸孔洞的板的强度进行了计算。为了评估网格尺寸对裂纹起始预测的影响，模拟中采用了3种不同的孔边单元尺寸，即d=
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