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悬索桥的初步分析
By Gregor P. Wollmann,1 Member, ASCE
摘要: 本文综述了基于挠度理论的悬索桥分析基本方程的推导过程，并提出了一种实用的解方程方法，可用于商业上运用数学分析程序或电子表格程序中比较简单的情况。该方法将悬梁与受拉梁之间进行类比，给出了适用于悬索桥分析的荷载工况下梁欠张问题的解析表。在此基础上，本文进一步讨论了塔架刚度和加劲梁连续性的影响。
绪论
悬索桥目前在美国正在经历某种程度上的复兴。在加利福尼亚州，卡基内兹大桥正在建设当中(“第一个”2000年)，东湾大桥也正在进行最终设计。在华盛顿，设计师们已经制定了塔科马大桥的平行方案。在其他州，包括悬索桥在内的大量桥型研究正在进行中。此外，美国悬索桥的老化以及悬索桥使用方式的改变，使得对悬索桥进行改造(Spyrakos 1999)变得十分必要。
现代悬索桥的分析通常使用基于有限元公式且具有非线性分析能力的计算机程序。通过这种程序建立的模型可能有成千上万个自由度。例如在丹麦(East 1998)，为了建立跨越大贝尔特海峡的大桥，设计师们最终设计开发了一个具有9,780个自由度的全球有限元模型。显然，设计师们需要更简单的模型来用有限元分析所不能提供的方式，取理解结构的行为。这些模型对初步设计和对较复杂模型的独立检查都很有用。
本文综合叙述了基于挠度理论的悬索桥分析基本方程的推导，并提出了一种实用的求解方法。这种方法虽然不适合手动计算，但可以很容易地在数学分析程序中运用，或者用于计算机电子表格程序中这种简单的情况。
本文的推导方法来源于Pe-tersen(1993)和Rubin和Vogel(1982)的成果。然而，该方法已经优化到可以计算考虑桥塔弯曲刚度在内的案例。这种方法不同于在美国期刊中展示的方法(Steinman1929年、1934年;Timoshenko and Young 1965年)，而是利用了悬梁和受拉梁之间的类比。本文给出了欠张力梁问题的解析解表。最后，本文给出了一个实例来说明该方法。
加劲梁基本公式
对描述悬索桥加劲梁的微分方程的推导前做如下假设:
1. 静载(自重和附加静载)是均匀的，由悬索单独承担；
2. 在恒载作用下，主缆呈抛物线形；
3.吊杆沿梁连续分布，不可伸长；
4. 吊架最初是垂直的，在装载时仍然是垂直的；
5. 梁的刚度对于每个跨度都是恒定的。
由假设2，利用图1所示符号，恒载下的主缆几何形状由(1a) - (1c)表示
式中y为静载下主缆纵坐标;是自重作用下主缆斜度;y0静载荷作用下的主缆曲率。在假设1和(1c)下，恒载条件下主缆的基本关系为：
式中g 包括索中在内的恒载纵梁；Hg为静载水平索力分量。
图2分别为静载和活载作用于加劲梁和悬索上的荷载。由索单元的平衡条件可知，图2(a)所示为悬索在荷载作用下的平衡方程为：
式中Hp 为活载和温度作用下的主缆拉力的水平分量；p为活载；s为活荷载作用下垂直挂索的分布力；w为活荷载作用下索的挠度，等于按假设3计算的梁的挠度；w0 为加筋梁在活荷载作用下的曲率。重新排列(4)得到吊架力表达式如下:
图1 主缆几何形状
a）主缆上的荷载
b）主梁上的荷载
对于图2(b)所示的荷载，按假设5所述，加劲梁梁刚度为EI且不变，微分方程为：
式中N 为式中为加劲梁的挠度。
将式（2）和（5）代入式（6）得到悬索桥加劲梁基本方程
式7用来描述横向荷载作用下梁的轴向拉力。分析数据会在图3中详细说明。
式中N为轴向拉力(N = Hg Hp)；q =横向荷载()。
在给定边界条件下，式(8)可以求解出挠度w，进而可以求解斜率，弯矩，剪力。图4给出了简支梁轴向受拉和悬索桥分析中普遍荷载情况下的解。该表改编自Petersen(1993)和Rubin和Vogel(1982)编写。解由无量纲坐标和表示。加劲梁的行为特征值ε表示,特征值由下式计算：
图4 梁的轴向受力方程[来源于Petersen(1993）、Rubin和Vogel（1982）的研究结果]
主缆兼容方程
要求解图4中的公式，主缆受力Hp必须已知。确定该力的条件是根据协调条件，由活载和温度引起的主缆长度变化的水平投影等于主缆端点之间水平距离的变化(图5)。
式中du为差分主缆元件主缆长度变化的水平投影；为主缆端点水平位移。
du的表达式可以由考虑主缆长度ds的元素推导出来,根据相对于原始位置的一个拉伸量εds和转角来扩展得到（图6)。图中显示的几何关系如下：
当时，式(12b)可以通过消除含有的项来进一步简化。在式(12a)与的数量级相同，因此不能立即确定可以消去含有项。然而,如图7所示的du / dx与的特征值ε和,结果的精度和近似表达式几乎相同。因此一个可以写为：
在式（13 a）和式（13 b）消除，可得
由活载和温度变化引起的主缆伸长由下式得到：
式中Ec Ac 为主缆刚度；T 为主缆温度变化值； 为热膨胀系数。
联立式(10)、(14)、(15)和得到：
式(16)被积函数的第一项可以近似为
将式(1b)代入，进行积分得到主缆的相容性方程
式中
基本方程解
在图8所示的系统上来展示上述基本方程的应用和求解过程。桥塔的抗弯刚度由桥塔顶部刚度分别为kb和kc弹簧表示。同样地，锚块的刚度由刚度分别为ka和kd的水平弹簧表示。忽略锚块和塔的垂直挠度。
由于塔的刚度，活载和温度引起的每跨水平索力Hp各不相同。恒载单独作用下水平索力Hg为常数。通常情况下，Hg可以通过在恒载下适当选择主缆几何形状和在施工过程中释放塔鞍来确定。在活载和温度变化作用下，a点到d点的水平位移与水平索力分量的关系为：
将式(19)代入式(18a)，得到包含三个未知力Hp1、Hp2、Hp3的非线性方程组。需注意的是，在这些方程中，挠度w是未知索力的函数，因此不代表一个额外的独立未知数。
图5 主缆变形协调条件
图6 索单元变形图
图7 du / dx的近似值
如果塔的刚度可以忽略，则有：
在这种情况下，协调方程[(18a)]必须写成从锚块到锚块的所有索段之和，得到未知水平索力分量Hp的单个方程：
值得注意的是，通过添加(20a) - (20c)可以得到相同的结果，并且分母中含有kb和kc不确定项在此过程中被抵消了。
例如，积分在基于辛普森法则时数据拟合程度最好。由于图4中的函数是用无量纲坐标表示的，所以积分必须写成：
方程式(20)和(22)是非线性的，必须迭代求解。(22)的求解步骤如下:
1. 假设Hp的初始值，并根据解决方案的期望精度选择每级索力值。
2. 根据图4所示的方程计算给定Hp下的挠度w。需要考虑的荷载情况包括施加的活荷载以及直接给出的向上的均匀荷载[(8)]。
3.按照（23）使用辛普森法则计算积分。
4. 使用(24)和(22)计算新的Hp修改值
式中，为的当前值;新值。
5. 重复步骤2 - 4，直到f (Hp)在期望的精度内接近0。
图8 理想化的悬索桥
然而，利用商业上可用的数学分析程序的内置求解算法要简单得多。例如，式(22)对于具有可忽略塔刚度的系统的迭代求解方案被许多商用计算机电子表格程序(例如，使用Microsoft Excel中的“目标搜索”实用程序)在使用。可以使用Mathcad (Mathcad 1998)中的“Solve块”求出式(20)的解。Mathad还包括一个数值积分工具，可以替代(23)中出现的辛普森积分。
在求解过程中，可以很容易地将塔架上连续加劲梁的处理方法纳入求解算法。重要的是，我们要意识到即使悬索桥的加劲梁的行为是高度非线性的，悬索桥的规律不是普遍有效的，,如果相同的主缆Hg Hp适用于所有负载情况，是允许添加个别负载情况下的结果的。因此，可以用标准方法来确定桥塔上的未知连续矩。加劲梁被认为是铰接在桥塔上的。
采用耦合X1和X2来消除铰链在外力作用下的转角(图9)。这产生了以下方程组，对于给定的值，该方程组是线性的
其中X1和X2为不确定的连续性矩;，b点和c点处的转角。
图9 连续加劲梁
问题案例
上述方法将以图10所示的例题为例进行说明。在分析过程中考虑塔架的刚度对结构的影响。假定端锚是刚性的。荷载包括全桥长度上的均匀静荷载和中心跨左半段上的均匀活荷载。这个例子没有经过迭代计算，而是作为对先前计算机计算位置主缆力的运行的检查。示例问题是在奔腾III 550-MHz PC上使用Mathcad程序(Mathcad 1998)解决的，运行时间为70秒。采用铰接加劲梁，运行时间为10秒。
图10 实例问题
为常数时，主缆几何形状定义为：
悬索的弦角为：
由式(18b)计算的主缆参数代入下式：
在(31a)中，Lc1和Lc3的项中包含了短锚固长度l0和l4的影响，假设索力水平分量在锚固长度和相邻侧跨上是恒定的。实际上，对于大多数悬索桥来说，在端部的鞍座上，它的主缆索力是恒定的；因此，锚固长度和侧跨对水平索力的影响是不同的。然而，当锚的长度很短时，上述简化所带来的误差非常小。
利用上一节讨论的迭代过程，得到了活荷载作用下的索力：
值得注意的是，由于分析的非对称荷载情况，侧跨的索力是不相等的。式(9)中加筋梁参数为：
由式(7)右边计算的水平索力分量得到的荷载项如下：
为了确定连续支承力矩，必须先计算铰接系统中由于外部载荷和由于X1 = 1和X2 = 1耦合而产生的转角。铰链系统的端部旋转和转角列于表2中。利用图4中的公式计算了时的斜率。求解线性方程组[(25)]，得到连续支撑力矩为：
表1列出了在的单独荷载作用下，梁在1/10处的挠度。这些挠度是通过图4中的公式计算的。图4还显示了这些负载情况的叠加和基于(23)的积分结果。对(20)的评估证实了(32)中Hp的值是正确的
表1 梁挠度和积分值
图11和图12为活荷载作用下加劲梁的挠度形状和弯矩图(弯矩画在受拉侧)。需注意的是，由于对加劲梁基本方程的推导采用假设1，所以不存在因静载而产生的弯矩。然而，在推导挠度理论时必须调整弯矩，以考虑锁夹间距的离散性，而不是将锁夹视为连续的。吊杆间距为15.33 m时，吊架间附加弯矩为：
结论
本文提出了一种基于挠度理论的悬索桥初步分析的实用方法，该方法考虑了桥塔、桥台刚度和加劲梁连续性的影响。然而由于系统的几何非线性和必要的迭代求解仍然需要使用计算机，该方法可以相对容易地在数学分析程序或计算机电子表格程序实现。因此，对较为复杂的有限元分析结果进行独立的校核，对常规设计具有一定的参考价值。该方法是建立在梁与受拉梁的类比基础上的。这种类比方法可以帮助设计者定性地将结果可视化。
参考文献
[1]East bridge. (1998). A/S Storebaelig;ltsforbindelsen, Storebaelig;lt Publications, Copenhagen.
[2] “First big U.S. suspension span in decades awarded to venture.”(2000). ENR, 244(4), 24.
[3] Mathcad 8 userrsquo;s guide. (1998). Mathsoft, Inc., Cambridge, Mass. Petersen, C. (1993). Stahlbau, 3rd Ed., Vieweg Verlag, Braunschweig, Germany (in German).
[4] Rubin, H., and Vogel, U. (1982). lsquo;lsquo;Baustatik ebener Stabwerke.rsquo;rsquo; Stahlbau Handbuch, Stahlbau-Verlags-GmbH, Cologne, Germany
资料编号：[5231]
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